教
案
教学基本信息
课题
方差
学科
数学
学段：
第三学段
年级
初二
教材
书名：数学（八年级下）
出版社：北京出版社
出版日期：2015
年1月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.掌握极差和方差的计算方法，并会运用极差和方差解决简单的实际问题；
2.经历方差概念的形成过程，理解方差的统计含义；
3.能根据实际问题的需要，选择合适的统计量刻画数据，发展数据分析观念.
教学重点：
1.掌握极差和方差的计算方法，并会运用极差和方差解决简单的实际问题.
2.经历方差概念的形成过程，理解方差的统计含义；
教学难点：
1.经历方差概念的形成过程，理解方差的统计含义；
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习引入
复习引入
处理方式：同学们，大家好.今天我们学习方差.在前面，我们已经学习了平均数、众数和中位数，这些统计量都描述了数据的集中趋势.但是在实际生活中，我们还关心数据的波动大小，数据是否稳定.今天我们就来学习描述数据离散程度的两个统计量：极差和方差.
平均数：
1.算术平均数
把一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫做这组数据的算术平均数，简称平均数.
一组数据的平均数的计算公式如下：
设n个数据分别为它们的平均数为，
则.
2.加权平均数
加权平均数的计算公式为：
若数据出现次，出现次，出现次
……出现次，这组数据的平均数为，
则
其中().
注：数据重复出现的次数f叫做这个数据的权数，简称为这个数据的权.
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
中位数：将一组数据按大小依次排列，处于中间位置的那个数（或中间两数的平均数），叫做这组数据的中位数.
求一组数据中位数的方法：
（1）将一组数据按大小依次排列；
（2）若一组数据的个数为奇数，则中位数为处于中间位置的那个数；若一组数据的个数为偶数，则中位数是中间两数的平均数.
处理方式：首先我们先来复习一下描述数据集中趋势的三个统计量的相关知识.
复习前面学习过的描述数据集中趋势的统计量：平均数、
众数和中位数.根据实际需要，生活中还需要描述数据的波动性和稳定性，从而引出今天学习的内容，描述数据离散程度的两个统计量——极差和方差.
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
新知探究
问题：小明、小华两位同学在某次射击选拔比赛中，各射击10次.下表是他们10次射击的成绩.
你会选择谁去参加比赛呢？为什么？
处理方式：下面我们来看这样一个问题.有的同学说，我们可以通过比较他们的最高成绩，但是通过观察我们发现，他们两个人的最高成绩都是10环.所以，我们无法根据最高成绩来进行选择.
还有的同学说可以计算他们成绩的中位数，选择成绩中位数大的人去参加比赛，按照求数据中位数的方法先将数据按大小依次排列，我们发现两组数据的个数都是偶数，中位数为中间两数的平均数，通过计算得到，两个人成绩的中位数都是7.5环.这种方法也不可行.
我们还可以计算他们成绩的平均数，让成绩平均数大的人去参加比赛，成绩的平均数大说明这位同学的平均水平高.利用算术平均数的计算方法，我们计算出他们两个人的平均成绩都是7.5环.利用平均数也解决不了问题.
那么我们还可以从哪些方面进行分析，从而判断选派哪位同学参赛合适呢？
从两个人10次射击成绩变化范围的大小考虑.
处理方式：我们不妨比较一下两位同学成绩的波动情况.首先来看两个人10次射击成绩变化范围的大小.
小明的成绩变化范围是：
最高成绩－最低成绩=10－4=6（环）.
小华的成绩变化范围是：
最高成绩－最低成绩=10－5=5（环）.
∵6＞5
这说明，小华的成绩变化范围比较小，如果只从成绩的变化范围看，选派小华参加比赛较合适.
极差的定义：通常，我们称一组数据中的最大值减去最小值所得的差为极差.
极差的计算公式：极差=数据中的最大值－数据中的最小值.
小明成绩的极差是：10－4=6.
小华成绩的极差是：10－5=5.
极差的统计含义：极差表示了一组数据变化范围的大小，它粗略地反映了一组数据的离散程度.
但由于只考虑了它的两个极端数据的变化，因此用它来表示一组数据的波动还比较粗略.
为了更合理地确定派谁参加比赛，我们还要全面深入地分析他们的成绩.
处理方式：为了更合理地确定派谁参加比赛，我们还要全面深入地分析他们的成绩.全面是指我们要分析每组数据中每个数据波动的大小.如何衡量一组数据波动的大小呢？我们接着探究.
因为两位同学的的平均成绩相等，所以我们可以通过比较他们每次成绩偏离平均成绩的情况来考察他们成绩波动的大小.
我们分别画出两个人10次射击成绩的折线图，再做一条表示平均数（7.5）的水平直线.观察折线图，你能发现两个人射击成绩波动的差异吗？谁的成绩中偏离平均数较大的次数较少？
不难看出，在10次射击中，小明的成绩中偏离平均数较大的次数较少，更多的成绩接近于平均数.
下面我们通过计算，将他们每次成绩与平均成绩的差累加起来，进而判断他们成绩的稳定性.
处理方式：我们发现小明和小华的每次成绩与平均成绩的差累加之后都得0，显然采取直接相减再相加的办法，无法比较.这是为什么呢？
我们再次观察数据，由于每个数据与平均数的差有正有负，这些差中正数的和的绝对值与负数的和的绝对值恰好相等，我们如何避免这样的情况产生呢？
处理方式：我们不妨分别计算两个人的成绩偏离平均数的平均距离，比较成绩波动的大小.因为距离是非负数，要用绝对值表示，所以，我们计算每个数据与平均数的差的绝对值的平均数，于是得到：
小明：；
小华：.
由于1.1＜1.7，说明小明的成绩偏离平均数的平均距离较小，波动较小，成绩更稳定.
偏离平均数的平均距离比极差更全面的反映了一组数据波动的大小，但是在计算时要取绝对值，使用不便.
因此，我们还可以利用平方的非负性先取每个数据与平均数的差的平方数，再求平均值.从而有：
小明：；
小华：.
由于2.25＜3.45，说明小明的成绩偏离平均数的平均距离波动较小，成绩更稳定.
虽然小华的10次成绩变化范围较小，但是从成绩波动情况看，小明的成绩波动较小，更稳定，如果选派“稳定型”选手参加比赛，选派小明参加比赛更为合适.如果选择成绩变化范围小的选手参加比赛，选择小华参加比赛比较合适.
通过上述分析，如果用表示一组数据，用表示这组数据的平均数，用表示每个数据与平均数的差的平方数的平均值.你能写出的计算公式吗？
处理方式：
方差的定义及计算公式：的计算公式是：
我们把叫做这组数据的方差.
方差的统计含义：
（1）方差描述了一组数据波动的大小；
（2）方差越小，数据波动越小，越整齐.
因此，常用方差来比较平均数相同或相近的两组数据波动的大小，也用它来描述数据的离散程度.
例1：
某地区某年12月中旬前、后5天的最高气温记录如下（单位：℃）
比较哪5天中最高气温的变化范围较小，哪5天中最高气温的波动较小.
分析：要比较最高气温变化范围的大小，只需要计算并比较它们的极差.
解：前5天：极差1=5－0=5
后5天：极差2=5－（－1）=6
因为极差1＜极差2，所以前5天中最高气温的变化范围小.
分析：要比较最高气温波动的大小，只需要计算并比较它们的方差.
解：计算方差的步骤如下：
（1）先求这两组数据的平均数；
再把数据代入方差计算公式计算.
前5天：
后5天：
因为，所以后5天中最高气温的波动较小，比较稳定.
小结：
1.极差的定义及计算方法：通常，我们称一组数据中的最大值减去最小值所得的差为极差.极差=数据中的最大值-数据中的最小值.
2.计算一组数据方差的步骤：（1）先求这组数据的平均数；（2）再把数据代入方差计算公式计算.
3.极差和方差的统计含义
极差描述了一组数据变化范围的大小.
方差描述了一组数据波动的大小.极差粗略的反映了一组数据的离散程度，方差全面地平均地表示了一组数据的离散程度.
4.方差越小，数据波动越小，越整齐；方差越大，数据波动越大，越离散.
例2：种子研究基地计划为某地选择合适的水稻种子.选择种子时，水稻的产量和产量的稳定性是种子研究基地所关心的问题.为了解甲、乙两种水稻种子的相关情况，各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示：
根据这些数据估计，种子研究基地应该选择哪种水稻种子呢？
分析：
从题目中能够得到，水稻的产量和产量的稳定性是种子研究基地所关心的问题.
解决本题的关键是，计算出样本的平均数和方差，利用样本估计总体的方法，解决问题.
解：上面两组数据的平均数分别是：，
说明在试验田中，甲、乙两种水稻的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种水稻，他们的平均产量相差不大.
注：用样本估计总体.
下面我们利用方差来分析甲，乙两种水稻产量的波动程度：
由于，所以乙种玉米产量的波动较小.
由此可知，在试验田中，乙种水稻的产量比较稳定，正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.
因此可以推测，在这个地区种植乙种水稻的产量比甲种的稳定.
综合考虑甲，乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植于乙种水稻.
小结：
1.当平均数相差很小、近似相等时，也可以用方差来比较两组数据的离散程度.
2.方差的应用主要有以下两方面：
（1）直接用方程的大小比较两个总体特征的差异；
（2）用两个样本的方差的大小估计相应两个总体特征的差异.
例3：某校要从李勇、张浩两名学生中挑选一人参加区级跳远比赛，在跳远专项测试及之后的6次跳远选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下表所示：
（1）求张浩同学7次测试成绩的平均数，李勇同学7次测试成绩的方差;
分析：要求平均数和方差，只要代入相应的公式即可.
解：张浩成绩的平均数是603；李勇成绩的方差是49.
（2）请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点；
分析：平均数描述一组数据的集中趋势；方差描述一组数据的离散程度.
解：从成绩的平均数来看，张浩成绩的平均水平比李勇的高;从成绩的方差来看，李勇的成绩比张浩的稳定.
（3）经查阅往年资料，成绩若达到600cm，就很有可能得冠军，你认为应选谁去参加比赛夺冠比较有把握？说明理由；
分析：选谁参加比赛夺冠比较有把握，只需要比较两名同学超过600cm的次数.
解：在专项测试和6次跳远选拔赛中，李勇有5次成绩超过600cm，而张浩只有两次成绩超过600cm，所以选李勇参加比赛夺冠有把握.
（4）以往该项成绩的纪录是615cm，若想打破纪录，你认为应选谁去参赛？
分析：若想打破纪录，需要比较他们成绩超过615cm的次数.
解：张浩有两次成绩超过615cm，而李勇没有一次达到615cm，所以选张浩去参赛.
小结：
不同的统计量使用的范围不同，要根据实际问题的需要，选择合适的统计量来刻画数据.
联系生活实际，激发学生的学习兴趣，学生在试着用平均数，中位数等解决问题的过程中，复习平均数及中位数的计算方法.通过计算发现最高成绩、平均数和中位数相同后，引发学生进一步思考，让学生感受研究数据波动性的必要性，为方差的引入作铺垫.
在教师的引导下，学生从两个人成绩的变化范围大小进行考虑，从而引出极差的定义及计算方法.
然后，对极差的统计含义进行分析，指出利用极差分析数据波动情况的利弊.进一步为方差的引入作行铺垫.
通过折线图进行直观比较.通过观察，直观看出两位同学成绩偏离平均数的情况，但还需进一步分析.
通过计算他们每次成绩与平均成绩的差累加起来的和，发现这种方法行不通，并解释这种方法的弊端.
接着进行探究，利用距离的非负性，引导学生利用每个数据与平均数的差的绝对值的平均数进行问题的解决.除了可以利用绝对值的非负性，引导学生还可以利用平方的非负性解决问题，并指出绝对值在实际使用中的不便.
通过分析，经历一系列的探究过程后，引出方差的定义，计算公式和统计含义.并指出方差的应用.
对极差和方差计算公式进行巩固，进一步理解极差和方差的使用范围和统计含义，归纳总结出利用方差公式计算的一般步骤.
方差的应用主要有两个方面，一方面是直接用方差的大小比较两个总体特征的差异，如例1；另一方面就是用两个样本的方差的大小估计相应两个总体特征的差异，如例2.
学习统计量一个很重要的方面就是要明确各种统计量的不同适用范围，并能根据实际问题的需要，选择合适的统计量来刻画数据.这也是发展学生数据分析观念非常重要的一个方面.
课堂小结
1.极差和方差的定义及计算公式
（1）极差的定义及计算公式
通常，我们称一组数据中的最大值减去最小值所得的差为极差.
极差=数据中的最大值－数据中的最小值.
（2）方差的定义及计算公式
的计算公式是：
我们把叫做这组数据的方差.
2.方差的计算步骤
（1）先求这组数据的平均数；
（2）再把数据代入方差计算公式计算.
3.极差和方差的统计含义
（1）极差和方差都反映了一组数据的波动大小，离散程度，我们常用方差来比较平均数相同或近似相等的两组数据的离散程度.
（2）方差越小，数据的波动越小；
方差越大，数据的波动越大.
4.对于同样的数据可以有多种分析角度和方法，明确各统计量的不同适用范围，并能根据实际问题的需要，选择恰当的统计量来刻画数据是我们学习统计量的核心.
处理方式：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？老师希望通过学习你能够掌握……到目前为止，我们已经系统的学习了表示数据的集中趋势和表示数据的离散程度的统计量……
对本节课的知识进行总结回顾，帮助学生建构良好的认知体系.
课后作业
A组：
比较下列两组数据的变化范围大小，哪组数据的波动较小、比较整齐.
B组：
小华在一次运动员集训前、后的各5次百米跑中，测试成绩如下表（单位：s）.
请你用数据说明，这次集训对小华的百米跑成绩的提高是否有效果，如果有效果，效果表现在哪些方面.
巩固本节课学习内容，分层作业，满足不同学生的需求.(共91张PPT)
初二年级
数学
方
差
数据的分析
平均数
中位数
众
数
极
差
方
差
集中趋势
离散程度
复习引入
平均数：
1.算术平均数
把一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫做这组数据的算术平均数，简称平均数.
平均数：
一组数据的平均数的计算公式如下：
设n个数据分别为
，
，
它们的平均数为
，则
平均数：
2.加权平均数
加权平均数的计算公式为：
若数据
出现
次，
出现
次，
出现
次
??????
出现
次，这组数据的平均数为
，
平均数：
加权平均数的计算公式为：
（其中
）
2.加权平均数
数据重复出现的次数
f
叫做这个数据的权数，简称为这个数据的权.
请你计算出下列数据的平均数.
3，3，2，4，2.
练一练：
方法一：
方法二：
一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
众数：
中位数：
将一组数据按大小依次排列，处于中间位置的那个数（或中间两数的平均数），叫做这组数据的中位数.
中位数：
求一组数据中位数的方法：
（1）将一组数据按大小依次排列；
（2）若一组数据的个数为奇数，则中位数为处于中间位置的那个数；若一组数据的个数为偶数，则中位数是中间两数的平均数.
新知探究：
小明、小华两位同学在某次射击选拔比赛中，各射击10次.下表是他们10次射击的成绩.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小明
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
小华
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
顺序
环数
参赛人员
你会选择谁去参加比赛呢？为什么？
新知探究：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小明
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
小华
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
顺序
环数
参赛人员
通过观察，我们发现，他们两个人的最高成绩都是10环.
新知探究：
小明、小华两位同学在某次射击选拔比赛中，各射击10次.下表是他们10次射击的成绩.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小明
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
小华
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
顺序
环数
参赛人员
你会选择谁去参加比赛呢？为什么？
新知探究：
小明：4，7，
7，7，7，8，8，8，9，
10
；
小华：5，5，
6，6，7，8，9，9，10，10
.
小明成绩的中位数：
（环），
小华成绩的中位数：
（环）.
新知探究：
小明、小华两位同学在某次射击选拔比赛中，各射击10次.下表是他们10次射击的成绩.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小明
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
小华
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
顺序
环数
参赛人员
你会选择谁去参加比赛呢？为什么？
新知探究：
小明成绩的平均数：
小华成绩的平均数：
（环）
（环）
新知探究：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小明
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
小华
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
顺序
环数
参赛人员
从两个人10次射击成绩变化范围的大小考虑.
新知探究：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小明
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
小华
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
顺序
环数
参赛人员
从两个人10次射击成绩变化范围的大小考虑.
新知探究：
小明的成绩变化范围是：
最高成绩-最低成绩=10-4=6（环）
小华的成绩变化范围是：
最高成绩-最低成绩=10-5=5（环）
新知探究：
∵
6＞5
∴
小华的成绩变化范围比较小，如果只从成绩的变化范围看，选派小华参加比赛较合适.
通常，我们称一组数据中的最大值减去最小值所得的差为极差.
极差的定义：
极差=数据中的最大值-数据中的最小值.
新知探究：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小明
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
小华
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
顺序
环数
参赛人员
小明成绩的极差是：10-4=6
小华成绩的极差是：10-5=5
极差表示了一组数据变化范围的大小，它粗略地反映了一组数据的离散程度.
极差的统计含义：
新知探究：
为了更合理地确定派谁参加比赛，我们还要全面深入地分析他们的成绩.
分析每组数据波动的大小.
新知探究：
7.5
7.5
平均数
次
数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
求
和
小
明
7.5
每次成绩
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
75
与平均数的差
小
华
7.5
每次成绩
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
75
与平均数的差
平均数
次
数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
求
和
小
明
7.5
每次成绩
7
4
9
8
10
7
8
7
8
7
75
与平均数的差
-0.5
-3.5
1.5
0.5
2.5
-0.5
0.5
-0.5
0.5
-0.5
0
小
华
7.5
每次成绩
7
6
10
5
9
8
10
9
5
6
75
与平均数的差
-0.5
-1.5
2.5
-2.5
1.5
0.5
2.5
1.5
-2.5
-1.5
0
新知探究：
下面我们分别计算两个人的成绩偏离平均数的平均距离，来比较成绩波动的大小.
求每个数据与平均数的差的绝对值，再求平均值.
新知探究：
小明：
小华：
由于1.1＜1.7，说明小明的成绩偏离平均数的平均距离较小，波动较小，成绩更稳定.
新知探究：
偏离平均数的平均距离比极差更全面的反映了一组数据波动的大小，但是在计算时要取绝对值，使用不便.因此，我们通常先取每个数据与平均数的差的平方数，再求平均值.
新知探究：
小明：
小华：
由于2.25＜3.45，说明小明的成绩偏离平均数的平均距离波动较小，成绩更稳定.
新知探究：
虽然小华的10次成绩变化范围较小，但是从成绩波动情况看，小明的成绩波动较小，更稳定，如果选派“稳定型”选手参加比赛，选派小明参加比赛更加合适.
新知探究：
如果用
，
，
，
，
表示一组数据，用
表示这组数据的平均数，用
表示每个数据与平均数的差的平方数的平均值.
你能写出
的计算公式吗？
…
的计算公式是：
我们把
叫做这组数据
，
，
，
，
的方差.
方差的定义：
…
（1）方差描述了一组数据波动的大小.
（2）方差越小，数据波动越小，越整齐.
方差的统计含义：
例1：
某地区某年12月中旬前、后5天的最高气温记录如下（单位：℃）：
前5天
5
5
0
0
0
后5天
-1
2
2
2
5
比较哪5天中最高气温的变化范围较小，哪5天中最高气温的波动较小.
分析：要比较最高气温变化范围的大小，只需要计算并比较它们的极差.
前5天
5
5
0
0
0
后5天
-1
2
2
2
5
例1：
分析：要比较最高气温变化范围的大小，只需要计算并比较它们的极差.
前5天
5
5
0
0
0
后5天
-1
2
2
2
5
例1：
分析：要比较最高气温变化范围的大小，只需要计算并比较它们的极差.
前5天
5
5
0
0
0
后5天
-1
2
2
2
5
例1：
前5天：极差1=5-0=5
分析：要比较最高气温变化范围的大小，只需要计算并比较它们的极差.
前5天
5
5
0
0
0
后5天
-1
2
2
2
5
例1：
分析：要比较最高气温变化范围的大小，只需要计算并比较它们的极差.
前5天
5
5
0
0
0
后5天
-1
2
2
2
5
例1：
后5天：极差2=5-(-1)=6
因为极差1＜极差2，所以前5天中最高气温的变化范围小.
后5天：极差2=5-(-1）=6.
前5天：极差1=5-0=5；
例1：
分析：要比较最高气温波动的大小，只需要计算并比较它们的方差.
前5天
5
5
0
0
0
后5天
-1
2
2
2
5
例1：
计算方差的步骤如下：
（1）先求这两组数据的平均数.
例1：
（2）再把数据代入方差计算公式计算.
前5天：
后5天：
例1：
因为
，所以后5天中最高气温的波动较小，比较稳定.
小结：
1.
极差的定义及计算方法：
通常，我们称一组数据中的最大值减去最小值所得的差为极差.
极差=数据中的最大值－数据中的最小值.
小结：
2.
计算一组数据方差的步骤：
（1）先求这组数据的平均数；
（2）再把数据代入方差计算公式计算.
小结：
3.极差和方差的统计含义
极差描述了一组数据变化范围的大小;方差描述了一组数据波动的大小.
极差粗略地反映了一组数据的离散程度，方差全面地平均地反映了一组数据的离散程度.
小结：
4.
方差越小，数据波动越小，越整齐；
方差越大，数据波动越大，越离散.
例2：
种子研究基地计划为某地选择合适的水稻种子.选择种子时，水稻的产量和产量的稳定性是种子研究基地所关心的问题.为了解甲、乙两种水稻种子的相关情况，各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）
例2：
如下表所示：
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
根据这些数据估计，种子研究基地应该选择哪种水稻种子呢？
例2：
分析：
通过审题可知，水稻的产量和产量的稳定性是种子研究基地所关心的问题.
解决本题的关键是，计算出样本的平均数和方差，利用样本估计总体的方法，解决问题.
例2：
上面两组数据的平均数分别是：
说明在试验田中，甲、乙两种水稻的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种水稻，它们的平均产量相差不大.
用样本估计总体.
例2：
下面我们利用方差来分析甲，乙两种水稻产量波动的大小.
例2：
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
例2：
上面两组数据的方差分别是：
由于
，所以乙种水稻产量的波动较小.
例2：
综合考虑甲，乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种水稻.
小结：
1.当两组数据的平均数相等或近似相等时，可以用方差来比较两组数据的离散程度.
小结：
2.方差的应用主要有以下两方面：
（1）直接用方差的大小比较两个总体特征的
差异；
（2）用两个样本的方差的大小估计相应两个
总体特征的差异.
例3：
某校要从李勇、张浩两名学生中挑选一人参加区级跳远比赛，在跳远专项测试及之后的6次跳远选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下表所示：
例3：
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
张浩
597
580
597
630
590
631
596
333
李勇、张浩专项测试和6次跳远选拔赛成绩如下表：
例3：
（1）求张浩同学7次测试成绩的平均数，李勇同学7次测试成绩的方差；（所得的结果取整）
（2）请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点；
例3：
（3）历届比赛成绩表明，成绩若达到600cm就很有可能得冠军，你认为应选谁去参加比赛夺冠比较有把握？说明理由；
例3：
（4）以往该项成绩的纪录是615cm，若想打
破纪录，你认为应选谁去参赛？
例3：
（1）求张浩同学7次测试成绩的平均数，李勇同学7次测试成绩的方差；（所得的结果取整）
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
张浩
597
580
597
630
590
631
596
333
例3：
分析：要求平均数和方差，只要代入相应的公式计算即可.
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
张浩
597
580
597
630
590
631
596
333
例3：
分析：要求平均数和方差，只要代入相应的公式计算即可.
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
49
张浩
597
580
597
630
590
631
596
603
333
例3：
（2）请你分别从平均数和方差的角度分析两人成绩的特点；
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
49
张浩
597
580
597
630
590
631
596
603
333
例3：
分析：平均数描述一组数据的集中趋势；方差描述一组数据的离散程度.
例3：
平均数/cm
方差/cm2
李勇
602
49
张浩
603
333
解：从成绩的平均数来
看，张浩成绩的平均水平比
李勇的高;从成绩的方差来看，李勇的成绩比张浩的稳定.
例3：
（3）历届比赛成绩表明，成绩若达到600cm就很有可能得冠军，你认为应选谁去参加比赛夺冠比较有把握？说明理由；
例3：
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
49
张浩
597
580
597
630
590
631
596
603
333
分析：选谁参加比赛夺冠比较有把握，只需要比较两名同学超过600cm的次数.
例3：
分析：选谁参加比赛夺冠比较有把握，只需要比较两名同学超过600cm的次数.
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
49
张浩
597
580
597
630
590
631
596
603
333
例3：
解：在专项测试和6次跳远选拔赛中，李勇有5次成绩超过600cm，而张浩只有两次成绩超过600cm，所以选李勇参加比赛夺冠有把握.
例3：
（4）以往该项成绩的纪录是615cm，若想打破纪录，你认为应选谁去参赛？
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
49
张浩
597
580
597
630
590
631
596
603
333
例3：
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
49
张浩
597
580
597
630
590
631
596
603
333
分析：若想打破纪录，需要比较他们成绩超过615
cm的次数.
例3：
解：张浩有两次成绩超过615cm，而李勇没有一次达到615cm，所以选张浩去参赛.
专项测试和6次跳远选拔赛成绩
/cm
平均数/cm
方差/cm2
李勇
603
589
602
596
604
612
608
602
49
张浩
597
580
597
630
590
631
596
603
333
小结：
不同的统计量使用的范围不同，要根据实际问题的需要，选择合适的统计量来刻画数据.
课堂小结：
1.极差和方差的定义及计算公式
（1）极差的定义及计算公式
通常，我们称一组数据中的最大值减去最小值所得的差为极差.极差=数据中的最大值－数据中的最小值.
课堂小结：
1.极差和方差的定义及计算公式
（2）方差的定义及计算公式
我们把
叫做这组数据
，
，
，
，
的方差.
…
课堂小结：
（1）先求这组数据的平均数；
（2）再把数据代入方差计算公式计算.
2.方差的计算步骤
课堂小结：
（1）极差和方差都反映了一组数据的波动大小，
离散程度，我们常用方差来比较平均数相等或近
似相等的两组数据的离散程度.
3.极差和方差的统计含义
课堂小结：
（2）方差越小，数据的波动越小；
方差越大，数据的波动越大.
3.极差和方差的统计含义
课堂小结：
数据的集中趋势
数据的离散程度
平均数
中位数
众
数
极
差
方
差
用
样
本
估
计
总
体
用样本平均数估计总体平均数
用样本方差估计总体方差
课后作业：
A组：
比较下列两组数据，哪组数据的变化范围较小，哪组数据的波动较小、比较整齐.
甲
组
1
3
5
7
9
乙
组
-1
2
9
10
－
课后作业：
B组：
小华在一次运动员集训前、后的各5次百米跑中，测验成绩如下表（单位：s）.
集训前
11.3
11.2
11.4
11.5
11.7
集训后
11.6
11.3
11.4
11.2
11.3
课后作业：
B组：
请你用数据说明，这次集训对小华的百米跑成绩的提高是否有效果，如果有效果，效果表现在哪些方面.
练一练
在一次外语测验中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：
班级
平均分
中位数
方差
甲班
82.5
85.5
40.25
乙班
82.5
80.5
35.06
练一练
一位同学对此做出如下评估：
?
这次外语测验成绩甲、乙两个班的平均水平相同；
?
甲班学生中成绩优秀（85分及以上）的多；
?
乙班学生的成绩比较整齐，分化较小.
上述评估，正确的是
（填序号）.
练一练
在一次外语测验中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：
班级
平均分
中位数
方差
甲班
82.5
85.5
40.25
乙班
82.5
80.5
35.06
练一练
一位同学对此做出了如下评估：
?
这次外语测验成绩甲、乙两个班的平均水平相同；
?
甲班学生中成绩优秀（85分及以上）的多；
?
乙班学生的成绩比较整齐，分化较小.
上述评估，正确的是
???
（填序号）.《方差》学习任务单
【学习目标】
1．掌握极差和方差的计算方法，并会运用极差和方差解决简单的实际问题；
2．经历方差概念的形成过程，理解方差的统计含义；
3．能根据实际问题的需要，选择合适的统计量刻画数据，发展数据分析观念.
【课上任务】
1．你学过哪些用来描述数据集中趋势的统计量？
2．除了利用平均数、众数、中位数分析数据的集中趋势，还可以从哪些方面分析数据？
3．极差的定义，计算公式和统计含义分别是什么？
4．利用每个数据与平均数的差来分析两个人成绩的波动差异可以吗？为什么？
5．利用偏离平均数的平均距离分析数据可以吗？为什么？
6．方差的定义，计算公式和统计含义分别是什么？
7．利用极差和方差可以解决哪些简单的实际问题？
8．统计量有好有坏吗？学习统计量的目的是什么？
【学习疑问】
9．哪段文字没看明白？
10．哪个环节没弄清楚？
11．有什么困惑？
12．您想向同伴提出什么问题？
13．您想向老师提出什么问题？
【课后作业】
作业
A组：
比较下列两组数据的变化范围大小，哪组数据的波动较小、比较整齐.
B组：
小华在一次运动员集训前、后的各5次百米跑中，测试成绩如下表（单位：s）.
请你用数据说明，这次集训对小华的百米跑成绩的提高是否有效果，如果有效果，效果表现在哪些方面.
【课后作业参考答案】
A组：
甲的极差是8，乙的极差是11.，.，.
甲组数据变化范围较小、波动也较小，比较整齐.
B组：
因为，但，且，所以，这次集训对成绩的提高有效果，表现在百米跑平均时间缩短了0.06秒，成绩比训练前更稳定.（注：还可从其他角度进行分析.）
