教
案
教学基本信息
课题
运用完全平方公式因式分解
学科
数学
学段：初中
年级
七年级
教材
书名：义务教科书（数学）出版社：北京出版社
出版日期：2013
年
12月
教学目标及教学重点、难点
本节课主要内容是运用完全平方公式分解因式，在课程中主要发展学生的运算能力，共设计两道例题。通过整式乘法的完全平方公式的逆向运用得出因式分解的完全平方公式的过程，发展观察能力和逆向思维能力，进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
任务一：探索因式分解的方法
由于因式分解和整式乘法是相反方向的变形，前面我们把整式乘法的平方差公式反过来得到因式分解的平方差公式。
那么在整式乘法中我们还学过其它的公式吗？它反过来是否可以得到因式分解的另外一个公式呢？
完全平方公式：
对，在整式乘法中，我们还学过完全平方公式.整式乘法的完全平方公式是什么呢？
观察这个等式，等号的左边是多项式，等号的右边是两个整式乘积的形式，
从等式的左边向右边的变形是把一个多项式变成整式乘积的形式，它符合因式分解的定义.
学生进一步加深对整式乘法与因式分解是相反方向的变形的理解，能运用因式分解概念判断多项式是否是因式分解
新课
这就是本节课我们要研究因式分解的完全平方公式
如何用文字语言描述这个公式呢？这个公式的文字表述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
(
a
a
b
b
+
+
)问题1：“你能用下图中两个正方形和两个长方形拼成一个大的正方形吗？
”
b
+
由于边长为a的大正方形和长方形的长相等，都等于a；边长为b的小正方形与长方形的宽相等，都等于b；所以我们可以将大正方形的边长a与长方形的长重合，小正方形的边长b与长方形的宽重合.
这样就可以拼成两个长都是（a+b），宽分别是a和b
的长方形.
然后把两个长方形相等的边重合到一起，这样就拼成
(
a+b
b
)边长为（a+b）的正方形.
(
a+b
b
)
(
a+b
b
)
(
a+b
b
)
a
b
通过上面的拼图验证了因式分解的“和”的完全平方公式：
.
如何验证差的完全平方公式呢？请同学们课后完成.
问题2：具有怎样特征的多项式可以运用这两个公式分解因式呢？
分析等式左边是完全平方式得到特征：三项，有两的
平方和，这两数乘积的２倍.
在运用完全平方公式因式分解时，结果是“和”的完全平方，还是“差”的完全平方，由什么来决定呢？
应该是由“两个数乘积的2倍”符号决定的.
任务一：判断是否可以运用完全平方公式因式分解
问题1：判断下列各式是否可用完全平方公式分解因式，若可以，请指出谁相当于公式里的“a”和“b”；若不能，说明理由.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
（5）
（6）
分析：（1）这个多项式由三项构成，它是完全平方公式吗？
由于与4的和是m与2的平方和，
m与2乘积的2倍恰好是4m，所以这个多项式符合完全平方式的结构特征，能用完全平方公式因式分解。其中相当于公式中的，相当于公式中的，因此m相当于公式中的a，2相当于公式中的b。
（2）
在多项式中，只有1和两项，不符合完全平方式“三项”的结构特征，所以它不能用完全平方公式因式分解。
（3）这个多项式有三项，如果能用完全平方公式因式分解就必须符合完全平方式的结构特征，它有两个数的平方和吗？显然与-1不是某两数的平方和，是两数的平方差，所以它不符合完全平方式的结构特征，不能用完全平方公式因式分解。
（4），它符合完全平方式的结构特征吗？这个多项式有三项，
可根据积的运算性质写成，所以与的和就是m与2n的平方和；m与2n乘积的2倍应是4mn，而不是2mn，所以此多项式不符合完全平方式的结构特征，不能用完全平方公式因式分解。
（5），观察这个多项式是三项式，各项都是负的，我们可以先把负号提出来，看看括号内的多项式是否符合完全平方式的结构特征呢？提出负号后，得到的多项式中与的和就是x与y的平方和，并且x与y乘积的2倍正好是2xy，所以这个多项式符合完全平方式的结构特征，能用完全平方公式因式分解.
其中相当于公式中的，相当于公式中的，因此x相当于公式中的a，y相当于公式中的b.
(6)它是否也符合完全平方式的结构特征呢？由于多项式有三项，并且0.25与的和就是0.5与x的平方和，
x与0.5乘积的2倍正好是x，所以这个多项式符合完全平方式的结构特征，能用完全平方公式因式分解,
其中相当于公式中的，相当于公式中的，因此0.5相当于公式中的a，x相当于公式中的b.
总结：回顾上面的问题，我们知道（1）、（5）、（6）都可以用完全平方公式因式分解，其中第（1）题2倍项在中间，第（5）题2倍项在第一项，第（6）题2倍项在最后一项，也就是说两个数的平方和与乘积的2倍，在多项式中的位置不一定是固定的，因此能否用完全平方公式因式分解与它们在多项式中的位置无关。
判断一个多项式能否用完全平方公式因式分解，主要看是否符合完全平方公式的结构特征。
1．多项式有三项；
2．两项是两数平方和的形式；
3．第三项是这两个数乘积的2倍。
因此多项式只要满足上述条件就可以运用完全平方公式分解因式了。
任务一：利用完全平方公式因式分解
问题2：将下列各式分解因式
（1）
；
（2）;
（3）；
（4）；
（5）.
分析：目前我们学过因式分解的方法有两个，一个是提取公因式法，一个是公式法。公式法包括平方差公式和完全平方公式。能用平方差公式因式分解的多项式由两项构成，能用完全平方公式因式分解的多项式由三项构成，所以将一个多项式因式分解时，首先进行判断。
（1）我们判断它没有公因式，无需提取公因式，而这个多项式由三项构成，所以我们看它是否满足完全平方式的结构特征
这个多项式中与9的和是x与3
的平方和，且x与3乘积的2倍是6x，所以这个多项式可以用完全平方公式因式分解.我们把它写成平方和、2倍项的形式，得到.其中相当于公式中的，相当于公式中的,所以x相当于公式中的a，3相当于公式中的b。所以这个多项式可以利用完全平方公式因式分解.在这里我们要思考结果是选择和的完全平方，还是差的完全平方呢？我们要看2倍项的符号，这里2倍项的符号是“正”的.所以选择和的完全平方公式，其中a用这里的x代替，b用这里的3代替，得到结果.
(2)
对于这道题我们还是要先进行判断，这个多项式中没有公因式，无需提取公因式，然后再看这个多项式是由三项构成，所以看是否满足完全平方式的结构特征.在这个多项式中与的和是
4m与5n的平方和，并且4m与5n乘积的2倍正好是40mn,所以这个多项式可以用完全平方公式因式分解.我们把它写成平方和与乘积2倍的形式，就得到这样的多项式.其中相当于公式中的，相当于公式中的,因此4m相当于公式中的a，5n相当于公式中的b,接着我们利用完全平方公式因式分解时，由于乘积2倍的符号是负的.
所以选择“差”的完全平方公式，再把a用这里的4m代替，b用这里的5n代替，得到结果.
那么请同学们回忆一下，经过1，2题的分析过程，结果的符号具体是由2倍项的符号怎么确定的呢？
当我们把一个多项式写成完全平方形式后，再判断两个数乘积2倍的符号，若“两个数乘积的2倍”的符号是正的，结果用“和”的完全平方；若“两个数乘积的2倍”的符号是负的，结果用“差”的完全平方。
(3),首先我们判断它没有公因式，不需要提取公因式，这个多项式由三项构成，所以看它是否满足完全平方式的结构特征.其中和，根据幂的乘方的运算性质，可写成和的形式，所以与的和就是与的平方和，并且与的乘积2倍恰好是，所以它可以用完全平方公式因式分解.我们写成平方和与乘积2倍的形式，得到.其中相当于公式中的，相当于公式中的，因此相当于公式中的a,相当于公式中的b,接着我们利用完全平方公式因式分解时，由于乘积2倍的符号是负的
,所以选择“差”的完全平方公式，公式中的a用替换，b用替换，得到结果.
(4),仍然是同样的分析方法，先判断这个多项式没有公因式，无需提取公因式，我们把看作一个整体，这个多项式由三项构成.其中与36的和是与6的平方和，并且
与6乘积的2倍恰好是，所以它可以用完全平方公式因式分解,我们把它写成平方和、乘积2倍的形式，得到这样的多项式,其中相当于公式中的，相当于公式中的,那么相当于公式中的a，6相当于公式中的b.接着我们利用完全平方公式因式分解时，“乘积2倍的符号是负的.所以选择“差”的完全平方公式，这里的a用替换，b
用6替换，得到结果.
(5)
，我们通过判断，这个多项式有三项而且有公因式，公因式是m,所以先提取公因式，得到下面的多项式，在看括号内的多项式，它符合完全平方式的结构特征吗？其中与25的和就是x与5的平方和，x与5乘积的2倍恰好是10x，所以它可以用完全平方公式因式分解,我们把它写成平方和、乘积2倍的形式,其中相当于公式中的，相当于公式中的，那么x相当于公式中的a,5相当于公式中的b,
利用完全平方公式因式分解时，乘积2倍的符号是负的，
所以选择差的完全平方公式，这里a用x替换，b用5替换，得到结果.
通过这道题的分析同学们想一下，公式中的a和b都可以表示什么呢？我们可以看出，公式中的a和b既可以表示数、单项式、还可以表示多项式。若是复杂的单项式或多项式，我们只需要把它看作一个整体，仍然可以用公式法进行因式分解.
同学们通过以上例题分析，你是否掌握了运用完全平方公式因式分解，下面我们总结一下对一个多项式因式分解的步骤：
1.作出判断：从两个方面进行判断，首先判断多项式是否有公因式，如果有公因式先提取公因式；另外还需判断能不能使用公式，如果有两项构成，考虑平方差公式；2.进行分辨：能用平方差公式因式分解的多项式的特征是：两项、平方、做差的形式；能用完全平方公式因式分解的多项式的特征是，三项、平方和，乘积2倍的形式；3.运用公式.
问题：判断下列多项式的因式分解是否正确，不正确的请改正
（1）；
（2）；
（3）.
（1）,这道题涉及的知识要素有：因式分解概念、因式分解方法、完全平方公式、单项式乘以单项式的运算法则、多项式乘以多项式的运算法则、积的乘方的运算性质.
本题的解题思路和解题过程是，首先判断没有公因式，无需提取公因式。多项式由三项构成，考虑它是否能用完全平方公式因式分解。根据积的乘方的运算性质写成，其中和1的和就是3y与1的平方和，并且3y与1乘积的2倍正好是6y,所以可以用完全平方公式因式分解，接着写成平方和、2倍项的形式.可以看出3y相当于公式中的a，1相当于公式中的b.利用完全平方公式因式分解，我们看出乘积2倍的符号是负的,所以选择“差”的完全平方公式代入，就得到.而原题没有确定公式中“乘积2倍”的符号就代入公式，所以因式分解错误.
（2）
这道题的解题思路和解题过程还是首先判断多项式没有公因式，不需要提取公因式，这个多项式由三项构成，考虑它是否能用完全平方公式因式分解。其中根据积的乘方的运算性质写成，与的和是m与2n的平方和，且m与2n乘积的2倍是4mn。所以多项式可以用完全平方公式因式分解，然后写成平方和，2倍项的形式.因此m相当于公式中的a，2n相当于公式中的b,利用完全平方公式因式分解时，看2倍项的符号是正的,所以选择和的完全平方公式，代入公式得到.而原题在判断是否有两个数的平方和时，没有运用积的乘方的运算性质将转化成的形式，所以判断谁是公式中的a，b时出现错误.
通过刚才的分析我们不难发现，这道题涉及的知识要素和前一个题一样.
（3）
此题的解题思路仍然是和前两道题是一样。解题过程是：发现-4与两项都有负号，除了负号以外的部分，4与就是2与3x的平方和，所以对于这个多项式要先提出负号，得到下面的多项式，然后对括号内的多项式进行再判断，它是否符合完全平方式的结构特征呢？这个多项式有三项，将根据积的乘方运算性质写成，4和是2与3x的平方和，2与3x乘积的2倍正好是12x，所以括号内的多相式可以用完全平方公式因式分解.那么3x相当于公式中的a，2相当于公式中的b
,利用完全平方公式因式分解时，判断乘积2倍的符号是负的,选择“差”的完全平方公式，得到结果。而本题在提出负号以后，括号外+12x没有改变符号，导致2倍项的符号错误，所以结果选择和的完全平方公式还是差的完全平方公式也发生错误。
这道题涉及的知识要素，除了和前两道题涉及到相同的知识要素之外，还多了一项添括号法则，这就要求同学们做题时，要学会观察多项式的特点，然后再选择方法因式分解。
通过拼图帮助同学理解和的完全平方公式
通过分析完全平方公式的特征，总结具有怎样特征的多项式可以用完全平方公式因式分解。发展学生语言表达能力
通过判断多项式是否符合完全平方式，进一步加深学生对公式的理解
帮助学生梳理分析和解决问题的思路
通过问题2的分析明确将一个多项式因式分解的步骤
通过典型失误分析，及时总结因式分解中出现的问题
总结
同学们，通过刚才三道典型失误分析，我们可以掌握运用完全平方公式因式分解的解题思路和具体步骤，最后我们对本节课进行总结和梳理。
1.本节课我们学习了完全平方公式的特征：
等式左边：必须是三项、平方和、乘积2倍
等式右边：必须是完全平方的形式
2.归纳了一个多相式式因式分解的步骤：
1．作出判断：判断多项式是否有公因式，如果有公因式先提取公因式；另外还要判断能不能使用公式，如果由两项构成，考虑平方差公式；如果由三项构成，考虑完全平方公式.
2.进行分辨：能用平方差公式因式分解的多项式的特征是：两项、平方、做差的形式；能用完全平方公式因式分解的多项式的特征是，三项、平方和，乘积2倍的形式；
3.运用公式因式分解。
3.解题过程中需要注意的事项：
（1）遇到完全平方项的系数为负时，要把负号提出来，并把括号内各项都变号。
（2）公式中的字母a和b既可以是数、单项式、也可以是多项式。如果是复杂的单项式或多项式，把它看作一个整体即可。
（3）和（或差）的完全平方的符号与化成完全平方式后的两数乘积的2倍项的符号一致。
通过对知识的梳理，加强学生对所学知识的理解，发展总结概括的能力
作业
作业：把下列各式因式分解：
(1);
(2);
(3);
(4).
巩固新知(共127张PPT)
a
b
b
+
+
a
b
b
a
a
a+b
a
a+b
b
a+b
a
a+b
b
a+b
a+b
a
b
b
+
a
b
a
b
a
+《运用完全平方公式因式分解》学习任务单
【学习目标】
本节课主要内容是运用完全平方公式分解因式，在课程中主要发展学生的运算能力，共设计两道例题。通过整式乘法的完全平方公式的逆向运用得出因式分解的完全平方公式的过程，发展观察能力和逆向思维能力，进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系。
【课上任务】
1．根据因式分解和整式乘法是相反方向的变形，得到因式分解中的完全平方公式
2．完全平方公式的文字语言，符号语言
3．通过拼图：你能将两个正方形和两个长方形拼成一个大的正方形吗？验证因式分解的“和”的完全平方公式
4．分析具有怎样特征的多项式可用这两个公式因式分解？
5．判断是否可利用完全平方公式因式分解？如果能，指出谁是“a”和”b”,如果不能，说明理由
6．总结判断一个多项式能否利用完全平方公式因式分解的方法
7．总结一个多项式因式分解的步骤
8．通过典型失误分析，总结用完全平方公式因式分解应注意的事项
【学习疑问】（可选）
9．哪段文字没看明白？
10．哪个环节没弄清楚？
11．有什么困惑？
12．您想向同伴提出什么问题？
13．您想向老师提出什么问题？
14．没看明白的文字，用自己的话怎么说？
15．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？
16．同伴提出的问题，您怎么解决？
【课后作业】
17．作业1：把下列各式因式分解：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
【课后作业参考答案】
（1）
；
（2）
；
（3）；
（4）.
