1.3 二项式定理的应用 同步学案

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二项式定理的应用学案
一．学习目标
通过对二项式定理的概念与应用进行学习，理解函数思想中的赋值思路的原理。
二．前文回顾
1.二项式定理的通项公式
对，均有；
其中系数称为二项式系数；称为二项展开式的通项（表示展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n）。
2.二项展开式的性质：
①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；
②展开式中共有项，各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n；
③若是偶数，则中间项的二项式系数最大；若是奇数，则中间两项的二项式系数最大；
④所有二项式系数的和等于；奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，均为；
⑤的次数按照降幂排列，的次数按照升幂排列。
三．典例分析与性质总结
题型1：二项展开式特定项的求解
与数列的通项公式类似，在数列的学习过程中，求解数列的某一项，使用数列的通项公式来解决；同样的道理，在求解二项式展开项的某特定项时，也是利用通项公式求解。
求二项展开式的指定项，一般是利用通项公式进行，化简公式后，令字母的指数符合要求（有常数项时令指数为零；求有理项时令指数为整数），解未知数代回通项公式。
例1：在的展开式中常数项是
；中间项是
；
在的展开式中，有理项的项数为第
项；
在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，则
；
（突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项式展开式的通项公式，深刻理解“第k项”、“常数项”、“有理项”、“二项式系数”、“系数”等基本概念的区别与理解）
题型2：多项式展开的问题
例2：求展开式中的系数。
对于此问题可以有如下几种思路求解。
①
两项看成一项
三项展开式的问题可将其中两项作为整体，利用二项式定理来处理，这是把三项式向二项式转化的有效途径。
②
因式分解
若三项式可分解因式，则可以转化为两个二项式的积的形式：若三项式恰好是二项式的平方，则也
可直接转化为二项式问题求解，如可以直接转化为二项式
③
看作多个因式的乘积
对于求三项展开式中指定项的系数问题，一般都可以根据因式连乘的规律结合组合的知识求解，也很简捷，但要注意将各种情况讨论全，避免遗漏。
题型3：多项式乘积的展开式中求特定项
对于多个多项式乘积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，应用组合思想求解，但是要注意适当的运用分类方法，以免重复或遗漏。
例3：求解展开式中，一次项的系数。
题型4：多项式代数和的问题
在解决有关二项展开式多项式的代数和的形式问题时，赋值法是一个常见的思路；其基本原理是二项式定理针对任何的数据均成立，其恒等式性质代表了可以进行赋值操作；在解题时需要根据题目的题意，进行合理的赋值，使之出现所要求的代数式形式，进而求解。
对于a，b进行特殊值赋值，一般取值-1，0，1，有时可以取其他值，可以对某些问题的求解提供方便；
一般的，，则的各项式系数之和为，偶次项系数之和为；奇次项系数之和为；
二项式定理通常有如下应用情形：
。
例4：在的展开式中，求
①二项式系数的和；——；
②各项系数之和；——令x=y=1得各项系数之和为1；
③奇数项的二项式系数之和，偶数项的二项式系数之和；——
④x的奇次项系数之和（令；奇次项的系数为=）。
总结：整体代换处理，采用方程的思想。
主要用于奇数项系数之和与偶数项系数之和的求解；也可用于整体代数式变换的思路分析。
若，
则的展开式中的各项系数之和
奇数项系数之和
偶数项系数之和
常数项为
四．变式演练与提高
1.求展开式中系数绝对值最大的项．
2..的展开式中的系数为(　　)
A.-80
B.-40
C.40
D.80
3.证明能被整除()．
4.若，则的值。
5.若，则的值。
6.若，
则
.
五．反思总结
在使用“赋值法”解决二项式定理过程中，不要刻意死记，应根据题意题型的结构特点规划对自变量所要赋予的值；结合题目结构模型，选择合适的方法；
常见的模①各项系数求和——赋值法（令自变量等于1）；、
②纯二项式系数求和——二项式定理；
③各二项式系数乘以次幂模型——求导后赋值；
④各二项式系数除以次幂模型——特殊值赋值（把握赋值法的本质，不要刻意强化赋值只能是等于1）
六．课后作业
1.设复数，求解
2.若，则_________.
3.已知，则????????．
4.在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.
七．参考答案
例1：解析：
①；令，得，即常数项为；中间项
②，令取3的倍数，解析得到；
因此，有理项的项数为第3、6、9项。
③，的系数是；
的系数是；的系数；
由题知得到；解之得
例2：解析：
①
两项看成一项
解法1：
所以，的系数为。
解法2：，
，，则的系数由来确定。
由得或或
所以项的系数为。
点评：这种解法本质上同解法1相同，先将其中两项作为整体，两次利用二项式定理的通项公式后，就得到了三项展开式的通项公式为
，其中，
②
因式分解
解法3：
相乘合并得项的系数为92。
③
看作多个因式的乘积
解法4：将看作5个因式的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成的来源有：
①5个因式各出一个，这样的方式有，对应的项为；
②有3个因式各出一个，有1个因式出一个，剩余1个因式出一个1，这样的方式有种，对应的项为；
③有1个因式出一个，2个因式各出一个，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有种，对应的项为
所以项为++。
例3：解析：
解析：双通项法——第一个因式的通项为；第二个因式的通项为，故而原代数式的通项为（其中，m=0,1,2……6；n=0,1,2,3,4）；
令指数为1，得；于是展开式中一次项的系数为
四．变式演练与提高
1.解析：
解：展开式的通项为，
设第项系数绝对值最大，即，
所以，∴且，∴或，
故系数绝对值最大项为或；
2.解析：
解析1：的展开式的通项公式
当时,的展开式中的系数为；
当时,的展开式中的系数为。
故展开式中的系数为80-40=40。
[解析2]
当第一个括号内取时，第二个括号内要取含的项，即；当第一个括号内取时，第二个括号内要取含的项，即；
所以的系数为。
3.解析：
证明：
∵是整数，∴能被64整除．
4.解析：
观察所求代数式的特点，幂的指数转化为系数——联想求导公式。
将已知关系式两边求导，，令可得答案为10。
5.解析：
（赋值法的应用）令，得
令，
所以所求关系式为-1。
6.解析：
令，令，则；
要求解奇次项的系数之和，
六．课后作业
1.解析：
，则；
故而原式=
2.解析：
令，得；令得，
∴
3.解析：
设，则；则原式变为
故而
4.解析：
的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，
通项公式为，令，求得，
可得二项展开式常数项等于
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