辗转相除法与更相减损术
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(共12张PPT)
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言
程序框图
程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
2. 思考：
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互为质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
复 习回顾
所以，75和105的最大公约数为15
2、除了用这种方法外还有没有其它方法？
如求8251和6105的最大公约数.
1、求两个正整数的最大公约数
求75和105的最大公约数
75
5
15
105
21
5
7
3
1、辗转相除法（欧几里得算法）
所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.
例1.用辗转相除法求161与63的最大公约数.
161=2×63＋35
63=1 ×35＋28
35=1 ×28＋7
28=4 ×7＋0
所以，161与63的最大公约数为7
新 课
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4
所以37是8251和6105的最大公约数
例2、求8251和6105的最大公约数.
P45)练习1(1)用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
所以45是225和135的最大公约数
思考：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构．
m=n×q＋r
算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
程序框图
程 序
r=m MOD n
m=n
是
否
n=r
开始
输入m,n
r=0
输出m
结束
INPUT “m,n=“;m,n
DO
LOOP UNTIL
r = m MOD n
m = n
n = r
r=0
PRINT m
END
程序框图
程 序
INPUT “m,n=“;m,n
WHILE
WEND
r = m MOD n
m = n
n = r
r>0
PRINT m
END
r=1
求m除以n的余数r
m=n
是
否
n=r
开始
输入m,n
r>0
输出m
结束
r=1
2、更相减损术
第一步：任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数.若是,则用2约简;若不是则执行第二步.
第二步：以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数.
算理：可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
98=63×1＋35
63=35×1＋28
35=28×1＋7
辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0而 得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到
用更相减损术求两个整数m，n的最大公约数
INPUT “m,n=”;m,n
WHILE m<>n
IF m>n THEN
m=m-n
ELSE
n=n-m
END IF
WEND
PRINT n
END
程 序
程序框图
输入m,n
开始
m≠n？
m>n？
m=m-n
n=n-m
输出n
结束
N
Y
Y
N
算法步骤
(1)输入两个整数m，n
(2)若m≠n,转到(3),否则转到(4)
(3)若m>n,则m=m-n,否则n=n-m,转到(2)
(4)输出最大公约数n．
作业：《学法》第8课时
第9、10课时已学部分
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言
程序框图
程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
2. 思考：
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互为质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
复 习回顾
所以，75和105的最大公约数为15
2、除了用这种方法外还有没有其它方法？
如求8251和6105的最大公约数.
1、求两个正整数的最大公约数
求75和105的最大公约数
75
5
15
105
21
5
7
3
1、辗转相除法（欧几里得算法）
所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.
例1.用辗转相除法求161与63的最大公约数.
161=2×63＋35
63=1 ×35＋28
35=1 ×28＋7
28=4 ×7＋0
所以，161与63的最大公约数为7
新 课
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4
所以37是8251和6105的最大公约数
例2、求8251和6105的最大公约数.
P45)练习1(1)用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
所以45是225和135的最大公约数
思考：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构．
m=n×q＋r
算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m;否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
程序框图
程 序
r=m MOD n
m=n
是
否
n=r
开始
输入m,n
r=0
输出m
结束
INPUT “m,n=“;m,n
DO
LOOP UNTIL
r = m MOD n
m = n
n = r
r=0
PRINT m
END
程序框图
程 序
INPUT “m,n=“;m,n
WHILE
WEND
r = m MOD n
m = n
n = r
r>0
PRINT m
END
r=1
求m除以n的余数r
m=n
是
否
n=r
开始
输入m,n
r>0
输出m
结束
r=1
2、更相减损术
第一步：任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数.若是,则用2约简;若不是则执行第二步.
第二步：以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数.
算理：可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
98=63×1＋35
63=35×1＋28
35=28×1＋7
辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0而 得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到
用更相减损术求两个整数m，n的最大公约数
INPUT “m,n=”;m,n
WHILE m<>n
IF m>n THEN
m=m-n
ELSE
n=n-m
END IF
WEND
PRINT n
END
程 序
程序框图
输入m,n
开始
m≠n？
m>n？
m=m-n
n=n-m
输出n
结束
N
Y
Y
N
算法步骤
(1)输入两个整数m，n
(2)若m≠n,转到(3),否则转到(4)
(3)若m>n,则m=m-n,否则n=n-m,转到(2)
(4)输出最大公约数n．
作业：《学法》第8课时
第9、10课时已学部分