高中数学下人教B版选修2-3 2.2.4正态分布 课件（44张ppt）

(共44张PPT)
正态分布
高二年级
数学
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：
生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；
在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中.
情境与问题
某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管，为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件检测，测得它们的实际尺寸如下表：
情境与问题
情境与问题
把这批产品的内径尺寸看作一个总体，那么这100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本，由此可得到这组样本数据的频率分布直方图.
情境与问题
当样本容量n越来越大，分组越来越细时，频率分布直方图上面的折线越接近于下图的曲线.
产品内径尺寸/mm
频率
组距
o
2
4
6
8
从随机变量的角度来看，如果把产品的尺寸看作随机变量
，则这条曲线通常称为
的概率密度曲线.这条曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1.
而随机变量
落在指定的两个数
之间的概率，就是由正态曲线，过点
和点
的两条
轴的垂线，及
轴所围成的平面图形的面积，就是
落在区间
的概率的近似值，如图.
本题中，产品尺寸落在区间
内的概率，就是图中带斜线部分的面积.由于
是在产品尺寸范围内任意取值的，所以这条概率曲线就能精确地反映
取值的规律.
概率密度曲线反映变化规律所起的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的.
在生产、科研和日常生活中，经常会遇到这样一类随机现象，它们是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而每一个这种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用.
例如：钢铁加工厂生产钢管时，加工零件的机器的磨损程度、使用的材料的差异、工人操作的习惯、周围的环境的温度等因素都可能会对钢管内径的尺寸起微小的影响，导致产品内径尺寸的波动.
表示这类随机现象的随机变量的概率分布一般近似正态分布，服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量.
正态分布的概念
正态分布概率密度曲线的函数表达式为
其中，
是参数，且
正态分布的概念
正态变量概率密度曲线的函数表达式中参数
分别是正态变量的数学期望和标准差.期望为
、标准差为
的正态分布通常记作
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.
正态曲线的性质
的意义：
为正态变量的数学期望；
的意义：
为正态变量的标准差.
（1）
正态曲线的性质
的意义：
为正态变量的数学期望；
的意义：
为正态变量的标准差.
（2）
正态曲线的性质
的意义：
为正态变量的数学期望；
的意义：
为正态变量的标准差.
（3）
正态曲线的性质
正态曲线的特点
（1）曲线在
轴的上方，与
轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线
对称.
（3）曲线在
处达到峰值(最高点).
（4）当
时,曲线上升;当
时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以
轴为渐近线,向它无限靠近.
正态曲线的特点
(5)当
一定时，曲线的形状由
确定.
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中.
对参数?,
μ的理解
(1)正态分布由参数
唯一确定，正态分布常记作
．
(2)参数
是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的平均数去估计；
是衡量随机变量取值波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．
正态曲线下的面积规律
(1)
轴与正态曲线所夹面积恒等于1；
(2)对称区域面积相等.
3原则
可以证明，正态变量在区间
，
，
内，取值的概率分别是
，95.4%，99.7%.
例：当
时，正态变量（这时称它为标准正态变量）
在区间
，
，
内取值的概率分别是
68.3%，95.4%，99.7%.
68.3%
练习：设有一正态变量，它的概率密度曲线是函数
的图象，且
，则这个正态变量的均值与
标准差分别是(　　)
A．10与8
B．10与2
C．
8与10
D．
2与10
答案：
B
典型例题
练习：设
，则
落在
内的概率是(
)
A．
B．99.74%
C．4.56%
D．0.26%
典型例题
解析：由
知，
，则
.
例：设一个随机变量的正态曲线如图所示，试根据该图象求出该随机变量的期望和方差，并写出其正态分布的概率密度函数的解析式.
典型例题
从给出的正态曲线可知，
该正态曲线关于直线
对称，所以
，
概率密度函数的最大值是
，所以
，
解得
.
所以方差是
.
典型例题
所以随机变量的期望是
，
方差是
.
概率密度函数的解析式是
典型例题
规律方法总结：
利用正态曲线求正态变量的密度函数，
应抓住正态曲线的两个要点：
一是对称轴，另一个是最值，
然后建立方程，求解即可.
典型例题
例：设
，试求：
(1)
；(2)
；
(3)
.
典型例题
解析：首先，确定，，然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点求解.
(1)
；
典型例题
解：由题可得，
(2)
；
典型例题
(2)解：
典型例题
(3)
典型例题
(3)解：
典型例题
因为
规律方法总结：
在本节中，由于涉及到连续型随机变量的密度曲线，我们在解题时与正态曲线巧妙结合，抓住正态曲线的对称特征，会给解题带来很大的方便．
典型例题
例：某工厂生产的圆柱形零件的外直径
(单位：mm）服从正态分布
，质检人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7mm，试判断该厂生产的这批零件是否合格？
典型例题
典型例题
分析：
解题一定要将所求问题向
,
进行转化，然后利用特定值求出相应概率．同时要充分利用曲线的对称性和曲线与
轴之间的面积为1这一特殊性质．
典型例题
解析：由于
服从正态分布
，由正态分布性质可知，
在
之外，即在
之外的概率只有0.0026，而
，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，所以可以认为该批零件是不合格的．
规律方法总结：
求正态变量
在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定
的值；
(2)将待求问题向
这三个区间进行转化；
(3)利用上述区间求出相应的概率．
典型例题
例：某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布
，该年级有2000名学生，如果规定低于60分为不及格，求成绩不及格的学生约有多少人？
典型例题
解：设学生的得分为随机变量
，
，则
成绩在
间的学生的概率约为：
例：某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布
，该年级有2000名学生，如果规定低于60分为不及格，求成绩不及格的学生约有多少人？
典型例题
解：所以不及格的学生的概率约为：
所以成绩不及格的学生人数为：
1.概率密度曲线
2.正态曲线的性质与特点
3.正态曲线下的面积规律与3?原则
课堂小结
1.已知某厂生产的某种型号卡车轮胎的使用寿命（单位：km）服从正态分布
，一汽车公司一次从此厂买了500个轮胎，利用正态分布估计使用寿命分别在：
（1）
；
（2）
范围内的轮胎个数.
课后作业
2.某糖厂用自动打包机打包，每包重量(kg)服从正态分布N(100,
)
.一公司从该糖厂进货1500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量：
（1）(100
1.2,100
1.2)；
（2）(100
1.2,100
1.2).
课后作业