6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第二册
6.3平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1.已知向量
满足
，则
（???
）
A.?4?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.已知向量
，则
＝（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?5
3.已知向量
，且
，则实数
（??
）
A.??????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.已知向量
，满足
，则向量
与
的夹角的余弦值为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
5.已知向量
，若
，则
的值为(?
?)．
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
6.设向量
，
，则
（
???）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
7.已知锐角
的外接圆的圆心为
，半径为
，且
，则
等于（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.在
中，
的中点为
，
的中点为
，则
（???
）
A.??????????????
B.??????????????
C.?????????????
?D.?
9.已知向量
，
的夹角为
，且
，
，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.如图，在等腰直角
中，
，
分别为斜边
的三等分点（
靠近点
），过
作
的垂线，垂足为
，则
（???
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
11.如图，四边形
ABCD
中，
，E为线段
AC
上的一点，若
，则实数
的值等于
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
12.已知向量
满足
，点
在
内，且
，设
，若
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
13.在
中，
，
，点
满足
，点
为
的外心，则
的值为（???
）
A.?17???????????????????????????????????????B.?10???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
14.如图，在
中，
，
是
上一点，若
，则实数
的值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
15.已知向量
，
，
与
的夹角为
，则实数
________.
16.已知向量
（1，1），
（﹣1，3），
（2，1），且（
）∥
，则λ＝________.
17.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，
，若
（λ1
，
λ2为实数），则λ1+λ2＝________．
18.已知向量
，若向量
与
共线，则向量
在向量
放向上的投影为________．
19.已知两个单位向量
满足
，则
的夹角为________．
20.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，
设向量
，则λ+μ的最小值为________．
三、解答题
21.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A
=
60°，D
为线段
BC
中点，E为线段AD中点.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
22.设两个向量
、
，满足
，
，
、
的夹角为
，若向量
与向量
的夹角为钝角，求实数
的取值范围.
23.已知平面向量
=（1，x），
=（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若
∥
，求|
|
（2）若
与
夹角为锐角，求x的取值范围．
（3）若|
|=2，求与
垂直的单位向量
的坐标．
24.已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．
（1）求证：
；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：由题,则
,
故选:A
【分析】由题
,进而代入求解即可.
2.答案：
D
解：因为
，
故可得
，
故
.
故选：D.
【分析】先计算
的坐标，再根据坐标求解模长即可.
3.答案：
A
解：
由
得
，
。
故答案为：A.
【分析】先求出向量
的坐标，由
得
，代入坐标求出k的值．
4.答案：
B
解：设向量
与
的夹角为
，
所以
.
故答案为：B.
【分析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值.
5.答案：
C
解：由于
，故
，解得
.
故答案为：:C.
【分析】由已知，
利用向量共线的坐标表示列式，即可求出x的值.
6.答案：
B
解：由
，
，
可得：
.
故答案为：B.
【分析】直接利用向量的坐标进行运算即可.
7.答案：
A
解：由题,因为
,
所以
,所以
,
所以
,
故选:A
【分析】由题可分析
,再利用数量积求得
,进而由三角形性质求解即可.
8.答案：
B
解：
.
故选：B
【分析】根据平面向量的运算法则即可求解.
9.答案：
A
解：因为
，
所以
，
所以
，解得：
或
，由
，所以
，
故答案为：A.
【分析】对
两边平方，转化成关于
的二次方程，根据
，得到
．
10.答案：
D
解：设
，则
，
，
，
所以
，所以
.
因为
，
所以
.
故答案为：D
【分析】设出等腰直角三角形
的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
，由此得到
，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
表示为以
为基底来表示的形式.
11.答案：
A
解：因为
三点共线,设
,
因为
,
所以
,解得
.
故答案为：A
【分析】由
三点共线,设
,用
,
作基底表示出
,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得
的值.
12.答案：
C
解：
由
得
，建立如图所示的直角坐标系，
，不妨设
，
，
由
得
，
?
故答案为：C
【分析】根据题意由
得
，建立如图所示的直角坐标系，由
，不妨设
，
，则
，再利用正切的定义结合
建立关于
的等式，即可解出
的值。
13.答案：
D
解：取
的中点
，连接
，
因为
为
的外心，
，
，
，
，
同理可得
，
故答案为：D.
【分析】将
用向量
和
表示出来，再代入
得，
，求出
代入即可得出答案.
14.答案：
C
解：由题意及图，
，
又，
，所以
，∴
（1﹣m）
，
又
t
，所以
，解得m
，t
，
故答案为：C．
【分析】由题意，可根据向量运算法则得到
（1﹣m）
，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.
二、填空题
15.答案：
1
解：∵向量
，
，
与
的夹角为
，
∴
，
，
根据数量积定义
，解得
.
故答案为：1.
【分析】根据向量的夹角公式可得关于m的方程，计算求解即可．
16.答案：
解：向量
（1，1），
（﹣1，3），
（2，1），
所以
（1+λ，1﹣3λ），
又（
）∥
，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ
.
故答案为：
.
【分析】先利用向量的坐标运算求出
，再根据向量平行的坐标表示即可求出．
17.答案：
解：由题,因为
,
所以
,
所以
,
,
则
,
故答案为:
【分析】由题可得
,进而利用平面向量分解定理求解即可.
18.答案：0
解：向量
，
，向量
，∵向量
与
共线，∴
，即
，∴向量
，∴向量
在向量
方向上的投影为
，故答案为0.【分析】根据向量共线的坐标运算代入数值求出
λ的值，进而得出向量a的坐标从而求出向量a在向量b方向上的投影的值。
19.答案：
解：因为
,
是单位向量,所以
,
因为
,
所以
,
所以
,
所以
,
因为
,
所以
,
又
,
所以
.
故答案为:
【分析】将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得.
20.答案：
解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，
设正方形ABCD的边长为1，
则E（
，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．??
设
P（cosθ，sinθ），∴
=（1，1）．
再由向量
=λ（
，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）
=（
，﹣λ+μsinθ
）=（1，1），
∴
，∴
，
∴λ+μ=
=
=﹣1+
．
由题意得
0≤θ≤
，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．
求得（λ+μ）′=
=
＞0，
故λ+μ在[0，
]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为
=
，
故答案为：
．
【分析】建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量
=（
，﹣λ+μsinθ
）=（1，1），用cosθ，sinθ表示
λ和μ，根据cosθ，sinθ
的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=
的最小值．
三、解答题
21.答案：
（1）解：由题意得
,
,
（2）解：
【分析】(1)以
,
为基底分别表示出
,直接求两向量的内积即可;(2)
以
,
为基底分别表示出
,直接求两向量的数量积即可.
22.答案：
解：由已知得
,
，
.
∴(
)
?(
)
?
欲使夹角为钝角，需
.得
?
设
?(
)(
)???
????
?
∴
，此时
.
即
时，向量
与
的夹角为
.
∴
夹角为钝角时，
的取值范围是
【分析】利用数量积公式结合已知条件向量
与向量
的夹角为钝角，变形求出t的取值范围。
23.答案：（1）解：若
，则﹣x﹣（2x+3）x=0，解得x=0或x=﹣2，
当x=0时，
=（﹣2，0），∴|
|=2，
当x=﹣2时，
=（2，﹣4），∴|
|=2
（2）解：若
与
夹角为锐角，则
＞0，即2x+3﹣x2＞0，∴﹣1＜x＜3，
由（1）可知当x=0时，
，此时
，
的夹角为0，不符合题意，舍去，
∴x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）
（3）解：∵|
|=2，∴1+x2=4，解得x=±
，
设
=（m，n），则m+nx=0，且m2+n2=1，
∴当x=
时，
，解得
或
；
当x=﹣
时，
，解得
或
，
所以当x=
时，
的坐标为（
，﹣
）或（﹣
，
），
当x=﹣
时，
的坐标为（
，
）或（﹣
，﹣
）
【分析】（1）根据向量平面列方程解出x，求出
的坐标即可得出|
|；（2）令cos＜
＞＞0，解出x，再去掉
共线的情况即可；（3）根据|
|=2计算x，设
=（m，n），列方程组解出即可．
24.答案：（1）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．
∴
=（1，1），
=（﹣3，3）．
又∵=1×（﹣3）+1×3=0，
∴
．
（2）解：∵
，若四边形ABCD为矩形，则
．
设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），
∴
即
∴点C的坐标为（0，5）．
由于
=（﹣2，4），
=（﹣4，2），
∴
=（﹣2）×（﹣4）+4×2=16，
=2
．
设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ=
=
＞0．
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为
．
【分析】（1）运用平面向量的数量积得出=1×（﹣3）+1×3=0，求解即可；（2）
．
，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ=
=
＞0．
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