6.4平面向量的应用 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第二册
6.4平面向量的应用
一、单选题
1.已知
的外接圆半径是2，
，则
(?
)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
2.在
中，角
所对的边分别为
，若
，b=
，
，则
（?
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?或
????????????????????????????????????D.?
3.已知
的三个内角
的对边分别为
，且满足
，则
等于（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.设点
是
的重心，且满足
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.在
中，D是边AC上的点，且
，则
的值为（????
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
6.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈
尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（???
）
A.?2.55尺????????????????????????????????B.?4.55尺????????????????????????????????C.?5.55尺????????????????????????????????D.?6.55尺
7.如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于(?????
)
A.?米???????????????????????????B.?米???????????????????????????C.?米???????????????????????????D.?100米
8.一船以每小时
km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（???
）
A.?60km??????????????????????????????B.?km??????????????????????????????C.?km??????????????????????????????D.?30km
9.在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
（
为非零实数），则下列结论错误的是（??
）
A.?当
时，
是直角三角形????????????????????B.?当
时，
是锐角三角形
C.?当
时，
是钝角三角形????????????????????D.?当
时，
是钝角三角形
10.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔
m，速度为
km/h，飞行员先看到山顶的俯角为
，经过80s后又看到山顶的俯角为
，则山顶的海拔高度为（??
）
A.??????????????
B.??????????????
C.????????????
?
?D.?
11.如图，巡航艇在海上以
的速度沿南偏东
的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东
，航行
到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东
，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
12.为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在
，
两点进行测量，
，
，
，
在同一个铅垂平面内.
海底探测仪测得
，
两点的距离为
海里,求
的面积(
?)平方海里。
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
二、填空题
13.中，
，
，
，则
________
.
14.在
中，若
，
，
，则
________.
15.如图所示，在山脚
测得山顶
的仰角为
，沿倾斜角为
的斜坡向上走146.4米到达
，在
测得山顶
的仰角为
，则山高
________米．（
，
，结果保留小数点后1位）
16.某舰艇在
处测得遇险渔船在北偏东
方向上的
处，且到
的距离为
海里，此时得知，该渔船沿南偏东
方向，以每小时
海里的速度向一小岛靠近，舰艇的速度为
海里/小时，则舰艇到达渔船的最短时间是________小时．
三、解答题
17.已知
的内角
?
?
所对的边分别为
，
，
，且
.
（1）若
，角
，求角
的值；
（2）若
，
，求
，
的值.
18.在
中，三边
，
，
的对角分别为
，
，
，已知
，
.
（1）若
，求
；
（2）若
边上的中线长为
，求
的面积.
19.已知数列
的前
项和
（1）若三角形的三边长分别为
求此三角形的面积；
（2）探究数列
中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：
①此三项可作为三角形三边的长；
②此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍.
若存在，找出这样的三项；若不存在，说明理由.
20.东西向的铁路上有两个道口
、
,铁路两侧的公路分布如图,
位于
的南偏西
,且位于
的南偏东
方向,
位于
的正北方向,
,
处一辆救护车欲通过道口前往
处的医院送病人,发现北偏东
方向的
处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要
分钟,救护车和火车的速度均为
.
（1）判断救护车通过道口
是否会受火车影响,并说明理由;
（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择
、
中的哪个道口？通过计算说明.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：∵△ABC外接圆半径是2，∠A＝60°，
∴由正弦定理得
2R，即BC＝2RsinA＝4
2
．
故答案为：B．
【分析】利用正弦定理列出关系式，将R与sinA的值代入计算即可求出值．
2.答案：
B
解：根据余弦定理得：
，
由
，得到
．
故答案为：
．
【分析】根据余弦定理表示出
，把
，
和
的值代入即可求出
的值，由
的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出
的值．
3.答案：
D
解：由题,根据正弦定理可得
,
所以
,
因为在
中,
,所以
,
因为
,所以
,
故选:D
【分析】利用正弦定理化边为角可得
,则
,进而求解.
4.答案：
B
解：因为点
是
的重心,
所以
,
因为
,
由正弦定理可得
,
所以
,
即
,故
,则
,
则由余弦定理可得
.
故选:B
【分析】由点
是
的重心可得
,利用正弦定理可得
,则
,即
,可得
,进而利用余弦定理求解即可.
5.答案：
D
解：
设
由题意可得
，
在
中，由余弦定理得：
由正弦定理得：
故答案为：D
【分析】根据题中条件，在
中，由余弦定理求得
，利用同角关系求得
，再由正弦定理得
，即得解.
6.答案：
B
解：已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为
尺，则斜边为
尺，由勾股定理可得：
，可得
尺.
故答案为：B
【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边.
7.答案：
A
解：由题意
，则
，
在
中，利用正弦定理可得
，
即
,
在等腰直角
中，可得
米.
故答案为：A
【分析】由题意利用正弦定理可得A
C,利用等腰直角
Δ
A
B
C
，可得
A
B的值.
8.答案：A
解：画出图形如图所示，
在
中，
，
由正弦定理得
，
∴
，
∴船与灯塔的距离为60km．
故答案为：A．
【分析】求出AC，角B，再利用正弦定理求出BC。
9.答案：
D
解：当
时，
，
根据正弦定理不妨设
显然
是直角三角形；
当
时，
，
根据正弦定理不妨设
，
显然△ABC是等腰三角形，
说明∠C为锐角，故
是锐角三角形；
当
时，
，
根据正弦定理不妨设
，
，
说明∠C为钝角，故
是钝角三角形；
当
时，
，
根据正弦定理不妨设
，
此时
，不等构成三角形，故命题错误，
故答案为：D
【分析】根据k的值，利用正弦定理，分别判断，即可得出结论。
10.答案：
C
解：如图，
，
，
?
∴在
?中，
?
?
?
山顶的海拔高度
?
故答案为：C．
【分析】先画出示意图，再根据CD⊥AD
，求得CD=BCsin
∠CBD=
11.答案：D
解：在
中，
，
，
，则
，由正弦定理，可得
．
故答案为:D．
【分析】由方位角得到三角形的内角,结合正弦定理求解.
12.答案：
D
解：由题意可知
由正弦定理可得：
则
的面积
分析：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解.
二、填空题
13.答案：
解：设
，则
中，
，
，
由余弦定理可知
，
代入可得
，
解得
，
（舍）
故答案为：
.
【分析】设
，则由条件和余弦定理即可求得
.
14.答案：
解：因为在
中，
，
，
，
由正弦定理可得：
，所以
.
故答案为
【分析】根据正弦定理，可直接得出结果.
15.答案：
282.8
解：依题意
，
，
.
在三角形
中，由正弦定理得
，
即
，
所以
（米）
故答案为：
【分析】在三角形
中利用正弦定理求得
，由此求得
.
16.答案：
解：设舰艇到达渔船的最短时间为t小时，相遇在B处．
由题意知，AC=10海里，
，BC=9t海里，AB=21t海里．
由余弦定理得，
，
整理得
，解得
（负值舍去）．
故答案为:.
【分析】由题干中找出三角形,由余弦定理得到关于t的方程求出t的值,再求时间.
三、解答题
17.答案：
（1）解：由正弦定理得
，
在
中
，
∴
，∴
；
（2）解：在
中，
∵
，∴
，
则
，得
.
由余弦定理得
，
∴
.
【分析】（1）直接利用已知条件和正弦定理求出结果；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果.
18.答案：
（1）解：因为
，
由正弦定理，得
，
所以
.
所以
.又因为
，所以
.
因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
.
（2）解：设
边上的中线为
，则
，
所以
，
即
，
.
解得
或
（舍去）.
所以
.
【分析】（1）利用正弦定理把等式
中的边化成角，利用三角恒等变换得到
，再利用正弦定理
，求得
；（2）设
边上的中线为
，利用向量加法法则得
，对式子两边平方转化成代数运算，求得
，再利用三角形的面积公式
求面积的值．
19.答案：
（1）
（2）存在4、5、6满足要求
解：当n=1时
当时，
?又n=1时，
所以数列的通项公式为：
不妨设三边的长为
由余弦定理得：
?∴
∴
(2)假设数列存在相邻的三项满足条件，因为
?设三角形三边的长分别为n，n+1，n+2
?∵
n+n+1>n+2
∴n>1，三个角分别为
?由正弦定理得：即：
∴
由余弦定理得：
?即：
化简得：解得：或(舍去)
?当n=4时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍
所以数列中存在相邻的三项4,5,6，满足条件。
????
【分析】(1)由数列的前n项和可以求出数列的通项公式，
三角形三边的长度即可求出，然后由余弦定理求出一个角的余弦值，进而可以计算出正弦值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；(2)可以假设存在相邻的三项满足条件，分别设出三边的长及对应的三个角，然后用正弦定理及余弦定理即可求出边的长度。
20.答案：
（1）解：
位于
的南偏西
,
在
北偏东
方向上
在
中,
,
正弦定理可得:
，
解得:
.
救护车和火车的速度均为
救护车到达
处需要时间:
,
又
火车到达
处需要时间:
,
火车影响
道口时间为
,
救护车通过
会受影响；
（2）解：若选择
道口:
一共需要花费时间为:
若选择
道口:
通过
道口不受火车影响,
一共需要花费时间为:
由余弦定理求
长:
.
选择
过道.
【分析】（1）因为
位于
的南偏西
,
在
北偏东
方向上,在
中,
,
,根据正弦定理求得
,求得救护车到达
处需要时间,结合已知,即可求得答案;（2）分别求出选择
道口共需要花费时间和选择
道口共需要花费时间,即可求得答案.
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