7.2复数的四则运算 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第二册
7.2复数的四则运算
一、单选题
1.为虚数单位，若复数
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.复数x=（-1+3i）（1-i）在复平面内对应的点位于（
??）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
3.若复数
满足
?
是虚数单位
，则复数
的共轭复数
?(???
)
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
4.已知复数
满足
，则
的虚部为（
??）
A.?-4?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?
5.已知复数
（其中
，
是虚数单位），则
的值为（?
）
A.?-2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?2
6.设i是虚数单位，若
=
，则复数z的虚部为（??
）
A.?﹣2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?﹣1?????????????????????????????????????????D.?1
7.若
，其中
为虚数单位，则
的值为(???
)
A.?-1?????????????????????????????????????????B.?-2?????????????????????????????????????????C.?-3?????????????????????????????????????????D.?-4
8.复数
的共轭复数是（??
）
A.?1+i????????????????????????????????????B.?1﹣i????????????????????????????????????C.?﹣1+i????????????????????????????????????D.?﹣1﹣i
9.复数
?（
为虚数单位）的虚部是（????
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
10.=（??
）
A.?3﹣i????????????????????????????????????B.?﹣3﹣i????????????????????????????????????C.?3+i????????????????????????????????????D.?﹣3+i
11.已知复数z=﹣2+i，则复数
的模为（??
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2
12.若复数z=（sinα﹣
）+i（cosα﹣
）是纯虚数（i是虚数单位），则tanα的值为（??
）
A.???????????????????????????????????B.?﹣
??????????????????????????????????C.?2
??????????????????????????????????D.?﹣2
二、填空题
13.表示虚数单位，则
________.
14.设复数
，则复数
的共轭复数为________．
15.若复数
，
满足
，
（
是虚数单位），则
________
16.复数
分别对应复平面上的点P，Q，则向量
对应的复数为________．
三、解答题
17.已知
18.已知复数
（1）当实数
为何值时，复数
为纯虚数
（2）当
时，计算
.
19.已知复数
（1）求复数Z的模；
（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值？
20.已知复数
在复平面上对应的点在第二象限，且满足
.
（Ⅰ）求复数
；
（Ⅱ）设
，
，
在复平面上对应点分别为
，
，
，求
的面积.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：因为
，所以
，
所以
，故答案为：B.
【分析】对等式
进行复数四则运算得
，其共轭复数
．
2.答案：
A
解：∵，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为(2,4)，位于第一象限。
故答案为：A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出在复平面内对应的点的坐标为(2,4)，进而得出答案。
3.答案：
D
解：由题意可得：
，
结合共轭复数的定义可知：
.
故答案为：D.
【分析】结合复数的运算，计算出z,求出共轭复数，即可得出答案。
4.答案：
D
解：设
∴
，解得
.
故答案为：D
【分析】
先设
z=a+bi，代入(3?4i）z中，再求|4+3i|=42+32=5，等式两边对应相等即可求出z
的虚部.
5.答案：
C
解：
∴
，
由复数相等的条件可得
故答案为：C．
【分析】结合复数四则运算，利用待定系数法，计算a,b的值，即可得出答案。
6.答案：C
解：由
=
=
，
得z=（﹣1+2i）i=﹣2﹣i．
∴复数z的虚部为﹣1，
故选：C．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
7.答案：A
解：
?，由题
，则
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0，虚部等于0建立不等关系式，即可求得m值．
8.答案：A
解：
=
，
则复数
的共轭复数是：1+i．
故选：A．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
9.答案：
A
解：
?,虚部为
,
故答案为：A.
【分析】把分母实数化分子分母同乘以分子的共轭复数整理得到最简形式，进而得出复数的虚部。
10.答案：D
解：
=
=1+i.2i﹣i2016=2i﹣1．
=（1+i）（2i﹣1）=﹣3+i．
故选：D．
【分析】直接利用复数单位的幂运算以及复数的除法的运算法则化简求解即可．
11.答案：B
解：∵z=﹣2+i，
∴
，
则复数
的模
，
故选：B．
【分析】把z=﹣2+i代入
，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
12.答案：B
解：∵复数z=（sinα﹣
）+i（cosα﹣
）是纯虚数（i是虚数单位），
∴sinα﹣
=0，cosα﹣
≠0，
∴sinα=
，cosα=﹣
，
∴tanα=﹣
．
故选：B．
【分析】复数z=（sinα﹣
）+i（cosα﹣
）是纯虚数（i是虚数单位），可得sinα﹣
=0，cosα﹣
≠0，cosα=﹣
，即可得出．
二、填空题
13.答案：
1
解：
且
，
，
，
，
……
故答案为：
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简
，再利用复数的乘法计算可得．
14.答案：
解：复数
，则复数
．
复数
的共轭复数为：
故答案为
．
【分析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．
15.答案：
解：因为
，
所以
.
故答案为：
.
【分析】先要据复数相乘得到
，再利用复数求模的公式，即得答案.
16.答案：3﹣i
解：
=（﹣i）2=﹣1，
=2﹣i，
∴向量
对应的复数为2﹣i﹣（﹣1）=3﹣i．
故答案为：3﹣i．
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简z1
，
z2
，
然后利用复数的向量减法得答案．
三、解答题
17.答案：解：
，
.
【分析】运用复数的运算，代入，化简，即可得出答案。
18.答案：（1）解：复数
?，即
（2）解：
.
【分析】（1）根据纯虚数的定义，形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数．列出方程求出m的值；
（2）利用复数代数形式的乘除运算即可
．
19.答案：（1）解：
∴
（2）解：∵复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根
，
∴﹣6﹣p+q+（2p﹣8）i=0，
由复数相等的定义，得：
解得：p=4，q=10.
【分析】（1）先化简复数，再求复数Z的模；
（2）若复数Z是方程2x2+px+q=0的一个根，﹣6﹣p+q+（2p﹣8）i=0，利用复数相等的定义，
得：
，即可求实数p，q的值．
20.答案：
解：（Ⅰ）设
，则
，
故
.
所以
，
.
又
，
，解得
，
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
，
，
.
，
，
在复平面上对应点
，
，
，如图所示：
故
【分析】（1）设出复数z，求和，利用复数相等求出a和b即可；
（2）根据（1）中所求z，求出A，B，C三点坐标，作出图形，求三角形面积即可.
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