8.6 空间直线、平面的垂直 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第二册
8.6
空间直线、平面的垂直
一、单选题
1.已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（?
）
A.?平面ABC⊥平面ADC??????????????????????????????????????????B.?平面ADC⊥平面BCD
C.?平面ABC⊥平面BDC???????????????????????????????????????????D.?平面ABC⊥平面ADB
2.如图，在三棱锥
中，侧面
底面BCD，
，
，
，
，直线AC与底面BCD所成角的大小为
??
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.已知三棱锥
中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作
面ABC,垂足为O，则点O是
的（???
）
A.?外心?????????????????????????????????????B.?内心?????????????????????????????????????C.?重心?????????????????????????????????????D.?垂心
4.下列命题中错误的是（
??）
A.?如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β??????????
B.?如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.?如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ??????????
D.?如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5.如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是(
??)
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
6.如图，在长方体
中，
，
，则下列结论中正确的是(??
)
A.?∥
???????????
??B.?∥平面
????????????
?C.????????????
??D.?平面
7.如图所示，平面四边形
中，
，
，将其沿对角线
折成四面体
，使平面
平面
，则下列说法中不正确的是（???
）
A.??????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????D.?
8.如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（??
）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
9.在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(??
)
A.?2
????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?4
????????????????????????????????????D.?4
10.如图所示，在正方形
中，
分别是
的中点，现在沿
把这个正方形折成一个四面体，使
三点重合，重合后的点记为
.给出下列关系：
①
平面
；②
平面
；③
；④
上平面
.其中关系成立的有（???
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?③④
11.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（?
）
??????
A.?锐角三角形????????????????????????B.?直角三角形????????????????????????C.?钝角三角形????????????????????????D.?不能确定
12.如图，已知
是顶角为
的等腰三角形，且
，点
是
的中点.将
沿
折起，使得
，则此时直线
与平面
所成角的正弦值为（?
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.如图，直线AB⊥平面BCD
，
∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为________．
14.在直三棱柱
中，
.有下列条件：
①
；②
；③
.
其中能成为
的充要条件的是________．（填上序号）
15.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于________?
16.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围________?
三、解答题
17.如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋
，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.
（1）求证：BC⊥面CDE;
（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.
18.如图，在矩形
中，
，
，
是
的中点，以
为折痕将
向上折起，
变为
，且平面
平面
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小.
19.如图，矩形
中，
，
，点
是
上的动点．现将矩形
沿着对角线
折成二面角
，使得
．
（Ⅰ）求证：当
时，
；
（Ⅱ）试求
的长，使得二面角
的大小为
．
20.如图，在多面体
中，
是平行四边形，
，
，
两两垂直.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
，求点
到平面
的距离.
21.在三棱柱
?中，
?平面
?，其垂足
?落在直线
?上.
（1）求证：
?；
（2）若
?为
?的中点，求三棱锥
?的体积.
22.如图，已知正方体
的棱长为1，点
是棱
上的动点，
是棱
上一点，
.
（1）求证：
；
（2）若直线
平面
，试确定点
的位置，并证明你的结论；
（3）设点
在正方体的上底面
上运动，求总能使
与
垂直的点
所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）
答案解析部分
一、单选题
1.
B
2.
A
3.
D
4.
D
5.
C
6.
C
7.
D
8.A
9.
B
10.
B
11.B
12.
A
二、填空题
13.4
14.①③
15.2
16.[,1]
三、解答题
17.答案：
（1）解：由已知得：
，
,
面
．
，又
，
面
；
（2）解：分析可知，
点满足
时，面
面
．
理由如下：取
中点
，连接
、
、
、
、
容易计算
，
在
中
，
由平行四边形性质得
,
所以
可知
，
在
中，
，
．
又在
中，
，
为
中点
，
因为
面
，因为
,
面
面
．
18.答案：（1）证明：∵
，
，
∴
，∴
，
取
的中点
，连结
，则
，
∵?
平面
平面
，
∴
平面
，∴
从而
平面
，∴
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
，从而
=（4,0,0），
，
.
设
为平面
的法向量，
则
可以取
设
为平面
的法向量，
则
可以取
因此，
，有
，即平面
平面
，
故二面角
的大小为
.
19.答案：解：（Ⅰ）连结
，
．
在矩形
中，
,
,
．
在
中，∵
,
，
∵
，
，即
．
又在
中，
，
∴在
中，
,
,
又
,
∴
平面
．
∴
．
（Ⅱ）解：在矩形
中，过
作
于
，并延长交
于
.
沿着对角线
翻折后，由（Ⅰ）可知，
两两垂直，
以
为原点，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则?
,
平面
,为平面
的一个法向量．
设平面
的法向量为
，
,
由
得
取
则
?,
．
?即
,．
当
时，二面角
的大小是
20.答案：（1）证明：∵
，
，
，
∴
平面
，
∵
是平行四边形，∴
，∴
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
．
（2）解:连接
．
∵
，
，
两两互相垂直，
，
∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
平面
，∴
．
又由（Ⅰ）知
平面
，
∴
，∴
．
设
到平面
的距离为
，所以由
，得
，
所以
，即
到平面
的距离为
．
21.答案：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A1A⊥BC
∵AD⊥平面A1BC，且BC?平面A1BC，
∴AD⊥BC．又AA1?平面A1AB，
AD?平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，
又A1B?平面A1BC，∴BC⊥A1B；
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．
在Rt∠△ABD中，
，AB=BC=2，
=
?，∠ABD=60°，
在Rt∠△ABA1中，AA
=AB
?tan60
=2
?
由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB?平面A1AB，
从而BC⊥AB，
=
AB
?BC=
?
2
2=2．
∵P为AC的中点，
=
S
?
?
?
=1
=
?
?
=
22.答案：（1）证明：连结
，
是正方形，所以
，
在正方体
中，
平面
，所以
，
又
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
；
（2）解：当
时，直线
平面
.
证明如下：过点
在平面
作
交
于点
，
连结
，交
于点
，
因为
，所以
，
在
与
中，
，
，
所以
，
，
又
，所以
，
所以
，
，
在正方体
中，
面
，
所以
面
，所以
，
又
，所以
面
，所以
，
又
，
，
所以直线
平面
；
（3）解：
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