10.2 事件的相互独立性 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第二册
10.2
事件的相互独立性
一、单选题
1.某人通过普通话二级测试的概率是
，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台游戏机需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.75，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为（??
）
A.?0.995???????????????????????????????????B.?0.54???????????????????????????????????C.?0.46???????????????????????????????????D.?0.005
3.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（
??）
A.?0.960??????????????????????????????????B.?0.864??????????????????????????????????C.?0.720??????????????????????????????????D.?0.576
4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（??
）
A.?0.784??????????????????????????????????B.?0.648??????????????????????????????????C.?0.343??????????????????????????????????D.?0.441
5.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为
和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为
．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.掷一枚硬币两次，记事件
“第一次出现正面”，
“第二次出现反面”，则有（??
）
A.?与
相互独立????????????B.?????????????C.?与
互斥????????????D.?
7.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（??
）
A.?0.8??????????????????????????????????????B.?0.75??????????????????????????????????????C.?0.6??????????????????????????????????????D.?0.45
8.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（???
）
A.?0.8??????????????????????????????????????B.?0.75??????????????????????????????????????C.?0.6??????????????????????????????????????D.?0.45
9.济南市某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为
，现有甲、乙两人同时从
站点上车，且他们中的每个人在站点
下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
10.在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为（??
）
A.?0.352???????????????????????????????????B.?0.432???????????????????????????????????C.?0.36???????????????????????????????????D.?0.648
二、填空题
11.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是________.
12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0．8，乙的中靶概率为0．7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为
________?．
13.已知甲猜谜猜对的概率为
，乙猜谜猜对的概率为
．若甲、乙二人各猜一次谜，则恰有一人猜对的概率为________．
14.如图，表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9，0.8，0.7，
至少有1个开关正常工作时系统能正常工作，那么该系统正常工作的概率是________．
15.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14
．
其中正确结论的序号是________（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
16.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
17.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成
五组，得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；
（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
测试数据（单位：米）
成绩
不合格
及格
优秀
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．
18.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩，在13秒内（称为合格）的概率分别为
，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则：
①三人都合格的概率；
②有2人合格的概率；
③至少有一个合格的概率．
19.数轴上有2个点A、B，最初A在原点，B在坐标2的位置．规定如下，若投掷出来的硬币为正面，则A点坐标加上1，B点坐标不动；反之，若投掷出来的硬币是反面，则B点坐标加上1，A点坐标不动．求下列事件发生的概率
（1）硬币投4次，A的坐标为3的概率；
（2）A比B先到坐标4的概率；
（3）硬币投掷6次，A第一次追上B的概率．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
A
解：∵某人通过普通话二级测试的概率是
，他连线测试3次，
∴其中恰有1次通过的概率是：
p=
=
．
故答案为：A．
【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得出结果。
2.答案：C
解：一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，
∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率：
p=1?0.9×0.8×0.75=0.46.
故答案为：C.
【分析】求概率时有“正繁则反”的原则，即是说正面考虑过繁，说考虑对立事件。
3.答案：
B
解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；
则P（A）=0.9；
A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（
）P（
）=1﹣0.2×0.2=0.96；
则系统正常工作的概率为0.9×0.96=0.864；
故答案为：B．
【分析】问题相当于物理学中的并联串联电路，要想能正常工作，则k必须正常工作，A1、A2至少有一个正常工作才行。
4.答案：A
解：该同学通过测试的概率等于投中2次的概率加上投中3次的概率，
即为
?0.72?0.3+
?0.73=0.441+0.343=0.784，
故选：A．
【分析】利用互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．
5.答案：C
解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，
则“甲射击一次，未击中目标”为事件
，“乙射击一次，未击中目标”为事件
，
则P（A）=
，P（
）=1﹣
=
，P（B）=P，P（
）=1﹣P，
依题意得：
×（1﹣p）+
×p=
，
解可得，p=
，
故选C．
【分析】由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于p的方程，解方程即可得答案．
6.答案：
A
解：对于A，由题意得事件
的发生与否对事件
的发生没有影响，所以
与
相互独立，A符合题意．
对于B，C，由于事件
与
可以同时发生，所以事件
与
不互斥，B,C不符合题意．
对于D，由于
与
相互独立，因此
，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用相互独立事件求概率的方法结合已知条件求出
与
相互独立
。
7.答案：A
解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
8.答案：
A
解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．
9.答案：
A
解：设事件“
甲、乙两人不在同一站下车”，
因为甲、乙两人同在
站下车的概率为
；
甲、乙两人同在
站下车的概率为
；
甲、乙两人同在
站下车的概率为
；
所以甲、乙两人在同一站下车的概率为
，则
.
故答案为：A.
【分析】根据对立事件的概率计算，采用间接法，求出甲、乙两人在同一站下车的概率，即可得到
甲、乙两人不在同一站点下车的概率
.
10.答案：D
解：该同学通过测试的概率为
?0.62?0.4+
?0.63=0.648，
故选D．
【分析】利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，计算求得结果．
二、填空题
11.答案：
解：下雨概率为
?，不下雨概率为
?，收到帐篷概率为
?，收不到帐篷概率为
?
当下雨且收不到帐篷时会淋雨，所以淋雨的概率为?，
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求出答案。
12.答案：
0.56
解：∵
甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，
∴?两人均中靶的概率为
故答案为：0.56
【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率为单独射中目标时的概率之积计算。
13.答案：
解：设事件A表示“甲猜对”，事件B表示乙猜对，
则P（A）=
，P（B）=
，
∴甲、乙二人各猜一次谜，则恰有一人猜对的概率：
P（A
+
B）=P（A
）+P（
B）
=
+（1﹣
）×
=
．
故答案为：
．
【分析】设事件A表示“甲猜对”，事件B表示乙猜对，甲、乙二人各猜一次谜，则恰有一人猜对的概率为P（A
+
B）=P（A
）+P（
B），由此能求出结果．
14.答案：0.994
解：根据题意，记系统正常工作为事件E，
“系统正常工作”即“A，B，C
，
3种开关中至少有1个开关能正常工作”的对立事件是“3种开关都不能工作”，
分别记A，B，C开关能正常工作分别为事件A1
，
A2
，
A3
，
则
=1﹣0.1×0.2×0.3=0.994，
故答案为0.994．
【分析】根据题意，记系统正常工作为事件E，分析可得，E的对立事件是“3种开关都不能工作”，根据相互独立事件同时发生的概率得到“3种开关都不能工作”的概率，进而由对立事件的概率性质可得答案．
15.答案：①③
解：∵射击一次击中目标的概率是0.9，
∴第3次击中目标的概率是0.9，
∴①正确，
∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，
∴本题是一个独立重复试验，
根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C43×0.93×0.1
∴②不正确，
∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1﹣0.14
．
∴③正确，
故答案为：①③
【分析】由题意知射击一次击中目标的概率是0.9，得到第3次击中目标的概率是0.9，连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，得到是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率和至少击中目标1次的概率，得到结果．
三、解答题
16.答案：
（1）解：
X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，
则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分，
因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，
且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分，
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
【分析】（1）第一问要求
的概率，即把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：①甲连赢两球，②乙连赢两球，再将两种情况的概率相加求和即可。（2）第二问与第一问类似，把可能出现的情况列举出来，有两种情况分别为：
①甲赢第一球，乙赢第二球，甲赢第三球和第四球，
②乙赢第一球，甲赢第二、第三和第四球，再将两种情况的概率相加求和即可。
17.答案：
解：（Ⅰ）由题意可知
,解得
.
所以此次测试总人数为
.
故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人
（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件
.
由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,
成绩优秀的频率为
,
则估计
.
（Ⅲ）记事件
：第
名男生成绩优秀，其中
.
两人中恰有一人成绩优秀可以表示为
，
因为
相互独立，
相互独立，
所以
，
，
又因为
互斥，
所以
.
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为
.
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数（Ⅱ）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率（Ⅲ）记事件
：第
名男生成绩优秀，其中
.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为
，根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件和的概率公式求解即可.
18.答案：解：①∵甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩，
在13秒内（称为合格）的概率分别为
，
对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，
∴三人都合格的概率为P1=
=
．
②有2人合格的概率：
p2=
+
+（1﹣
）×
=
．
③至少有一个合格的概率：
p=1﹣（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）=
【分析】①利用相互独立事件乘法公式能求出三人都合格的概率．②利用互斥事件加法公式能求出有2人合格的概率．③利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个合格的概率．
19.答案：解：（1）硬币投4次，A的坐标为3，说明正面出现3次，反面出现1次，
故所求概率C43（）3×=
（2）分两种情况：情形①：最初连续投掷4次都是正面，概率为（）4=，
情形②：前4次中有3次正面，1次反面，
此时A的坐标为3，B的坐标也为3，此时再掷一次，
A比B先到和A比B后到坐标4的概率相同，C43（）3××=，
综上所述A比B先到坐标4的概率为+=，
（3）设投掷6回硬币，其中正面的次数为x，
则A点的坐标为x，B点的坐标为2+（6﹣x）．
当A追上B时，有x=2+（6﹣x），x=4．
当A第一次追上B时，第六次投掷出的为正面，
前面5次共3个正面，2个反面，共10种情况，
但正正反反正正等的情况不符合要求．
只有下列五种情况符合要求：
反反正正正正，反正反正正正，反正正反正正．正反反正正正，正反正反正正．
故所求概率为：5×（）6×=．
【分析】（1）硬币投4次，A的坐标为3，说明正面出现3次，反面出现1次，根据概率公式计算即可，
（2）分两种情况计算，情形①：最初连续投掷4次都是正面，情形②：前4次中有3次正面，1次反面，分别计算概率公式即可．
（3）设投掷6回硬币，其中正面的次数为x，当A第一次追上B时，第六次投掷出的为正面．前面5次共3个正面，2个反面，共10种情况，
但正正反反正正等的情况不符合要求．只有五种情况符合要求，根据概率公式计算即可．
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精品试卷·第
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