人教版数学 八年级下册 18.2.3 正方形 培优训练含答案

人教版
八年级下册
18.2.3
正方形
培优训练（含答案）
一、填空题（本大题共8道小题）
1.
如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，则
．
2.
如图，四边形为正方形，以为边向正方形外作正方形，与相交于点，则
3.
如图，在正方形中，为边的中点，，分别为，边上的点，若，，，则的长为
．
4.
将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
5.
如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则______.
6.
如图，正方形的边长为，以为圆心，长为半径画弧交对角线于点，连接，是上任意一点，于，于，则的值为
7.
如图，在正方形中，点为正方形内的两点，且，则
8.
如图，是边长为的正方形，是内接于的正方形，，若则=
二、解答题（本大题共8道小题）
9.
如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由．
10.
如图，正方形的边在正方形的边上，连接，求证：.
11.
如图，正方形对角线相交于点，点、分别是、上的点，，求证：（1）；（2）.
12.
如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．
13.
如图所示，在正方形中，、是内的两条射线，，，，，求证，.
14.
如图，点是矩形边的中点，，点是边上一动点，，，垂足分别为、，求点运动到什么位置时，四边形为正方形．
15.
已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
⑴
求证：四边形为矩形；
⑵
当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．
16.
如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长．
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八年级下册
18.2.3
正方形
培优训练-答案
一、填空题（本大题共8道小题）
1.
【答案】
【解析】如图，连结．
2.
【答案】
【解析】，故
3.
【答案】
4.
【答案】
5.
【答案】连接，作过、点的垂线，垂足分别为,,则四边形是矩形，
，
所以,所以．
6.
【答案】
【解析】作于，则，又，所以可知最终值为
7.
【答案】
【解析】连结，则又，得
8.
【答案】
【解析】，则，所以得到
二、解答题（本大题共8道小题）
9.
【答案】
连接，交于．
∵四边形为正方形，∴，，
∵，∴
∴四边形为平行四边形
∵，∴四边形为菱形
10.
【答案】
∵四边形是正方形，
∴.
∴≌.
∴.
11.
【答案】
∵，
∴
∵，，
∴≌
∴
∵，
∴≌
∴，
∵
∴
12.
【答案】
延长，交于点
可证及
可得
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
13.
【答案】
本题中存在两组“三垂直”，即图形与，与，从而可知，，，，从而，故≌，故，.又，从而.
14.
【答案】
当运动到中点时，四边形为正方形
∵是等腰直角三角形
∴
又∵
∴
同理可得：
∴
∴
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴
∴四边形为正方形．
15.
【答案】
⑴
证明：在中，，
∴
∵是外角的平分线
∴
∴
又∵，
∴
∴四边形为矩形．
⑵
例如，当时，四边形是正方形
证明：∵，于
∴
又，
由⑴四边形为矩形
∴矩形是正方形．
16.
【答案】
当且仅当为直角三角形时，的中线．
由已知证明为直角三角形并不困难．
因为为正方形，所以．由于，所以．
又，
所以．
从而．
因为，所以（即），
．
故为直角三角形，且为斜边的中线，从而
正方形的边长．