19.3.5 正方形课件（共20张PPT)

(共20张PPT)
19.3.5
正方形
沪科版
八年级下
新知导入
问题1.什么叫矩形？它具有什么性质？如何判定呢？
答：1.定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形.
2.性质：①矩形四个角均为直角
②对角线相等且互相平分
3.判定：①有三个角为直角的四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形
新知导入
问题2.什么叫菱形？它具有什么性质？如何判定呢？
答：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.性质：①菱形的四条边相等
②对角线垂直且互相平分
3.判定：①有四条边相等的四边形是菱形
②对角线垂直的平行四边形是菱形
问题3.你认为正方形是本节所学的哪种图形的特例，为什么？
新知讲解
定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
有定义可知：正方形是特殊的矩形，又是特殊菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有这些图形的所有性质。
性质1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
性质2.正方形的对角线相等、互相垂直、平分，且每一条对角线均平分一组对角.
性质3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？
新知讲解
根据正方形的定义，我们可以用以下方法判定一个四边形是否为正方形：
判定1.有一个角为直角的菱形是正方形.
判定2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定3.对角线相等，互相垂直且平分的四边形是正方形.
例1.如图，点A',B',C',D'分别是正方形ABCD四条边上
的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'.
求证：四边形A'B'C'D'是正方形.
新知讲解
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴
AB=BC=CD=DA.
又∵AA'=BB'=CC'=DD'
∴D'A=A'B=B'C=C'D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=900,
∴?AA'D'≌?BB'A'≌?CC'B'≌?DD'C'
∴
A'B'=B'C'=C'D'=D'A'.
∴四边形A'B'C'D'是菱形
又∵∠1=∠3，∠1+∠2=900，
∴∠2+∠3=900，∴∠D'A'B'=900
∴四边形A'B'C'D'是正方形.
新知讲解
例2
如图，在正方形ABCD
中，
ΔBEC
是等边三角形，
求证：
∠EAD＝∠EDA＝15°
.
证明：∵
ΔBEC
是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵
四边形ABCD
是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD,
∠ABE=
∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE
是等腰三角形，
∴∠BAE=
∠BEA=
∠CDE=
∠CED=75°，
∴∠EAD=
∠EDA=90°-75°=15°.
新知讲解
例3
如图，正方形ABCD，动点E
在AC上，AF⊥AC，垂足为A，
AF
=AE．（1）求证：BF
=DE；
（2）当点E
运动到AC
中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE
是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB
=AD，∠BAD
=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF
=90°，
∴∠BAF
=∠EAD，
在△ADE
和△ABF
中，
AD＝AB
，∠DAE＝∠BAF
，AE＝AF
,
∴△ADE
≌
△ABF（SAS），∴BF=DE；
新知讲解
（2）解：当点E
运动到AC
的中点时四边形AFBE
是正方形，
理由：∵点E
运动到AC
的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=
AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE
是正方形．
课堂练习
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
(
)
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（
）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
B
D
课堂练习
3.下列命题正确的是（
）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
课堂练习
4.如图，已知四边形ABCD
是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC
时，四边形ABCD
是菱形
B．当AC⊥BD
时，四边形ABCD
是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD
是矩形
D．当AC=BD
时，四边形ABCD
是正方形
D
拓展提高
5.如图，正方形ABCD
的边长为1cm，AC
为对角线，AE
平分∠BAC，EF⊥AC，求BE
的长．
解：∵四边形ABCD
为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC
是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE
≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
拓展提高
在Rt△ABC
中，
∴FC＝AC－AF＝(
－1)cm，
∴BE＝(
－1)cm．
中考链接
6.(眉山
中考)已知四边形ABCD
是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD
四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
课堂总结
本节课你有什么收获？
定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
性质1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
性质2.正方形的对角线相等、互相垂直、平分，且每一条对角线均平分一组对角.
性质3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
判定1.有一个角为直角的菱形是正方形.
判定2.有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定3.对角线相等，互相垂直且平分的四边形是正方形.
板书设计
19.3.5
正方形
1.定义
2.性质
3.判定
作业布置
课本
P94
练习题第2题
和P98习题19.3第12题
谢谢
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