高中数学：三余弦(正弦)定理的妙用

立体几何21三余弦(正弦)定理的妙用
三余弦定理(又叫最小角定理或爪子定理)
(1)定理:设点A为平面a上一点,过A点的斜线在平面a上的射影为BO,BC为平面
a上的任意直线,那么∠ABC,∠OBC,∠OBA三角
的余弦关系为:
cos∠ABC=cos∠OBC·cos∠OBA
即斜线与平面一条直线夹角尸的余弦值等于斜线与平
面所成角a的余弦值乘以射影与平面内直线夹角O的
余弦值。CosB=Cosa·CosO
为了便于记忆,我们约定:B为斜线角,a为线面角,O为射影角)
(2)定理证明:如上图,△OAB、△OBC、△ABC均为直角三角形,CosB
cosa-
Bo
C
,c0s=
易知
cos
B=COSa·COS6,得证
BO
3)定理说明:这三个角中,角β是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之
积。斜线与平面所成角a是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
三正弦定理(最大角定理)
(1)定理:设二面角M-AB-N的度数为y,在平面M上有一条射线AC,它和棱AB
所成的角为β,和平面N所成的角为a,则sina=
sin
B.sin
y
(为了便于记忆,我们约定:B为线棱角,a为线面角,y为二面角)
(2)定理证明:如图,CO⊥平面N,OB⊥AB,BC⊥AB,△OBC、△OAC、△ABC
BC
均为直角三角形,siny=BC
B
sna=C,易得
sin
Bsin
y
(3)定理说明:由sia=sinp·siy且sinB≤1知:
sin
a
ssin
y,a≤y,所以二面角的半平面M内的任
意一条直线与另一个半平面N所成的线面角不大于二面角,即二面角是线面角中最大的角。
知识应用:
例1.(2016年4月浙江省数学学考试题第16题)如图,在
侧棱垂直于底面的三棱柱ABC一ABC1中,P是棱BC上
的动点。记直线AP与平面ABC所成的角为a1,与直线BC
所成的角为62,则B1,02的大小关系是()
AO1=62B.B1>62C.<62D.不能确定
【解析】:因为是线面角,2是线线角,由最小角定理知:O2≤02,又BC不是AP在
底面的射影,故B1例2(2018年全国数学大联考试题第9题)已知二面角a--B是直二面角,A∈a,B∈B
设直线AB与a,B所成的角分别为,2,则()
A.+2=90°B.a1+62≥90°ca1+62≤90°D.1+2<90°
【解析】:如图,过点A,B分别作的垂线
分别交于点C,D,则AC⊥B,BD⊥a
∠ABC=B1,∠BAD=02,由最小角定理知:
B≤∠BAC,又∠BAC+62=90°,所以
+B2≤90
例3.(2018年浙江省数学高考试题第8题)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱
长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为B1,SE与平面ABCD
所成的角为62,二面角S-AB-C的平面角为63,则(
A.≤2≤63B.63≤62≤61C1≤63≤62DB2≤63≤B1
【解析】:如图,作SO⊥平面ABCD,在平面SAB内作SF⊥AB于点F,则∠SFO=B3
(二面角),∠SEO=2(线面角),由最小角定理知:2≤B1,又由最大角定理知:2≤3