2020年九年级数学中考复习学案：正方形的蝴蝶三角形模型的构建，应用及其变式（附答案）

正方形的蝴蝶三角形模型的构建，应用及其变式
摘要：
建模解题是数学学习一种最基本的学习途径和最有效的学习方法，是基于构建主义理论的一种主动学习过程，是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后应用数学公式进行模拟和验证的一种模式化思维。不同知识，不同条件，不同特点，可以构建不同数学模型，为数学灵活解题提供灵活解题方法。正方形是一种重要的特殊四边形，也是重要的考题载体之一，而正方形中的一个重要的图形---蝴蝶三角形也日益成为考题的焦点，下面就结合2019年的考题构建一种正方形解题模型--蝴蝶三角形模型，并通过模型的应用，模型的变式，掌握模型的特点，为其他模型的构建提供模本。
关键词：构建主义，建模思想，变式。
《义务教育数学课程标准（2011边版）》第7页中给出了建立数学模型思想的地位：模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径[1]。
鉴于数学建模的重要性，学会构建模型，并灵活运用模型解题成为数学学习的重要手段。下面就向大家介绍一种正方形解题模型的构建，应用和变式，供学习时借鉴。
一、正方形蝴蝶三角形模型的构建
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD
上，BE=CF，连接AE,BF二线交于点G,称△ABE和△BCF构成的图形为正方形ABCD的蝴蝶三角形。蝴蝶三角形具有如下性质：
性质1：蝴蝶三角形是全等三角形即△ABE≌△BCF。
性质2：斜边AE,BF的关系是AE=BF且AE⊥BF。
性质3：三角形ABG的面积等于四边形GECF的面积。
性质4：四边形ABFD的面积等于四边形AECD的面积。
性质5：设正方形的边长为a，BE=CF=b,则AE=BF=；BG=,GF=-。
二、蝴蝶三角形性质的证明
（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，因为BE=CF，
所以△ABE≌△BCF；
（2）因为△ABE≌△BCF，所以AE=BF，∠BAE=∠CBF
，因为∠BAE+∠BEA=90°，
所以∠CBF+∠BEA=90°，所以∠BGE=90°即AE⊥BF。
其余的两条性质，请同学们自己给出证明。
三、蝴蝶三角形的应用
1。寻找等角的个数
例1
（2019?广西池河）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD
上，BE=CF，
则图中与∠AEB相等的角的个数是
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
分析：根据正方形的蝴蝶三角形的定义断定，△ABE和△BCF是正方形ABCD的蝴蝶三角形，
因此△ABE≌△BCF，所以∠AEB=∠BFC。根据正方形的性质，得到AB∥CD,AD∥BC，
继而得到，∠ABF=∠BFC,
∠AEB=∠EAD，这样就把与∠AEB相等的角都找出来了。
解：选C。
点评：确定等角的几种方法要熟记：
（1）全等三角形的对应角相等；（2）两直线平行，同位角相等；
（3）两直线平行，内错角相等；（4）等于同一个角的两个角相等。
熟记这些基础方法，解答时，再附加适当的推理，相信一定能准确确定答案。
2。探求线段的长度
例2（2019?湖北孝感）如图3，正方形ABCD中，点E。F分别在边CD，AD
上，BE与CF
交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为
（
）
A．B．C．D．
分析：根据勾股定理可以确定CF的长，再利用蝴蝶三角形，利用同一个三角形的面积相等，确定CG的长，利用线段和的定义可以确定答案。
解：因为BC=4，DE=AF=1，所以DF=EC=3，根据勾股定理，得AE=CF=5,根据蝴蝶三角形的性质，得BE⊥BF,所以CG=,所以FG=5-=,所以选A。
点评：解答时，处理好如下几点：
（1）把DE=AF转化成DF=CE，从而为蝴蝶三角形的生成创造条件；
（2）用好勾股定理是计算的第一个关键；
（3）对于直角三角形，牢牢记住直角边的积等于斜边与其上高的积是解题的第二个关键；
3。综合证明
例3（2019?甘肃）如图4，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作
AG⊥ED交DE
于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证AB=BF。
分析：利用同角的余角相等，找到一对新的等角，为三角形的全等完善所缺，其次，通过延长的办法，构造直角三角形，利用斜边上的中线等于斜边的一半原理完成等线段的证明。
证明：
（1）因为四边形ABCD是正方形，∠ADF+∠EDC=90°，因为AG⊥ED，所以∠ADF+∠DAF=90°，
所以∠EDC=∠DAF,因为∠ADG=∠DCE,AD=DC，所以△ADG≌△DCE；
（2）延长AB，DE，二线交于点H，因为AB∥CD，所以∠EBH=∠ECD,
因为∠BEH=∠CED,BE=CE，所以△BEH≌△CED，所以BH=CD，所以AB=BH，因为∠AFH=90°，
所以BF=AB。
点评：解答时，有两个基本模型在里面，一是正方形的蝴蝶三角形，一个是中点平行全等三角形模型，这是两个非常重要的几何模型，学习时一定要熟练掌握并灵活运用。
4。根据基本模型求三角形的周长
例4
（2018
?浙江?台州）如图5，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　
　．[2]
解析：因为阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，所以阴影部分的面积为×9=6，所以空白部分的面积为9﹣6=3，易证△BCE≌△CDF，所以，所以△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，且为×3=，设BG=a，CG=b，则×a×b=，因为，所以，
即，所以a+b=，即BG+CG=，于是△BCG的周长=+3，故应填
+3．
点评：根据基本模型找全等三角形，利用全等三角形的面积相等证明两个空白图形的面积相等是解题的关键。
5。根据基本模型求猜想型问题
例5如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
(1)求证：AF=BE；
(2)如图7，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
解析：
(1)在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，因为AF⊥BE，所以∠ABE=∠DAF，所以△ABE≌△DAF，,所以AF=BE。
(2)相等。理由如下：
过点M作MF⊥DC于点F，过点Q作QE⊥BC于点E，因为∠MPF+∠MPC=180°，
∠QNE+∠MPC=180°，所以∠MPF=∠QNE，于是转化为（1），易证△QNE≌△MPF，,所以MP=QN。
点评：这是模型的一个变式，通过互换条件中的相等线段与结论中的垂直得到，这种变式思维是数学学习中经常倡导的思维方式，值得重视，其次，数学的转化思想也是解题中常用的思想之一，更要加强训练。
一种模型的构建不仅是一种强有力的解题工具，也是一种有效的发散思维的载体，通过对模型的变式思考，能得到模型的姊妹模型，为数学解题空间的拓展带来机遇，也为探索更深刻的数学问题提供一个数学平台，更为培养创新思维的好习惯奠定基础。
四、模型的变式与创新
（一）三角形共顶点型
构建模型：
（2019年山东枣庄）如图8，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋
转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（　　）
A．4
B．2
C．6
D．2
分析：根据旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，可求正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
解：因为△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，所以四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，所以AD=DC=2，因为DE=2，所以AE==2。
所以选D．
点评：这是蝴蝶三角形模型的一种变式，它具有如下特点：
背景是正方形；
2。构造的两个直角三角形一个位于正方形内部，另一个位于正方形的外部，且两个直角三角形有一个公共顶点；
3。两个直角三角形是全等三角形。
4。模型可以旋转变换方式生成。
特点决定模型的性质，新模型既有原模型的性质，也有自己的新性质，具体如下：
性质1：两个三角形是全等三角形即△ADE≌△ABF。
性质2：斜边AE,AF的关系是AE=AF且AE⊥AF。
性质3：四边形AECF的面积是一个定值，等于正方形ABCD的面积。
性质4：设四边形AECF的面积为S，正方形ABCD的边长为m，则m=。
性质5：△ADE可由△ABF绕点A逆时针旋转90°得到，旋转角为90°。
（二）模型的应用
例6
如图8，点E是正方形ABCD的边DC上一动点，从点D向点C运动，到达点C就停止运
动。把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．在运动的过程中，下列说法中：
①AE=AF且AE⊥AF；②四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积；
③△ADE可由△ABF绕点A顺时针旋转90°得到；
④△ADE的面积是DE的正比例函数。其中说法正确的个数是
（
）
1个
B。
2个
C。
3个
D。
4个
解析：根据变式模型，可以判断①②是正确的，③是错误，原因是旋转方向描述不准，应该
是逆时针方向；设正方形的边长为a,DE的长为x,△ADE的面积为y，根据题意，得
y=ax,因为正方形的边长为a，是一个定值，所以y是x的正比例函数，因此④是正确的，
所以选C。
点评：这是对模型的深刻认识和巩固性理解，是掌握模型的有效手段，只要不断强化理解，
加深认识，会熟练驾驭这个模型，灵活予以解题，提高解题的效率。
例7
（2019年湖北孝感）如图9，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点,则的坐标为
（
）
A。（3，2）
B。（3，-1）
C。（2，-3）
D。（3，-2）
解析：构造边长为3的正方形ABOC，于是构造出变式解题模型，根据解题模型的特点和性
质得到△PBO≌△CO，因此OC=3，C=2,根据点的坐标与象限位置关系，得点的坐标为
（3，-2），所以选D。
点评：充分利用已知条件，科学构造变式模型，既便于理解题意，更易找到解题的正确方向
和有效解题方法，提高解题的效率。
（三）三角形都在形外型
例8
(2019年湖北天门)如图10，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE=CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
(1)AE⊥BF；(2)四边形BEGF是平行四边形．
下面给出垂直的几种证明方法：
（1）平移法
如图11，过点B作BH∥AE,交AD于点H，因为四边形ABCD是正方形，所以AH∥BE，
所以Rt△ABE≌Rt△BAH≌Rt△BCF，所以∠EAB=∠HBA=∠FBC，因为∠HBA+∠HBC=90°，
所以∠FBC+∠HBC=90°，所以∠HBF=90°，所以BH⊥BF，因为BH∥AE,所以AE⊥BF。
（2）延长相交法
如图12，延长FB交AE于点H，因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
BE=CF，。所以△BAE≌△CBF，所以∠BAE
=∠CBF,AE=BF．因为∠ABH+∠CBF=90°，
所以∠ABH+∠BAH=90°，所以∠AHB=90°，所以AE⊥BF。
第二问的证明：
如图13，延长AB到点M，使得BE=BM，则∠AME=45°，因为CG是外角的平分线，所以∠ECG=45°，所以∠AME=∠ECG。因为AB=BC,BE=BM，所以AM=EC，因为EG∥BF，所以∠CEG
=∠CBF,所以∠EBM=∠CEG，所以△EAM≌△GEC，所以GE=EA，因为AE=BF，所以EG=BF，因为EG∥BF，四边形BEGF是平行四边形．
当两个直角三角形都在正方形的外部时，依然能构成一种重要的解题模型，下面就把这个解题模型构建起来。
构建模型：
如图14，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE=CF。则模型具有如下的性质：
性质1：两个三角形是全等三角形即△ABE≌△BCF。
性质2：斜边AE,BF的关系是AE=BF且AE⊥BF。
性质3：△BCF可由△ABE向下平移AB个单位长，再绕点B逆时针旋转90°得到。
数学建模是数学解题的一种重要解题模式化方法，当条件具备或相近时，可以利用直接模型解题或构造模型解题，这样就极大提高了解题的针对性和有效性，增强了思维的方向性，提高了解题的准确性，从而提高解题效率，是值得活用的解题方法。
[1]何科俊。数学建模思想在初中数学教学中的应用[J]。
语数外学习,
2013(8):62-64。
[2]
黄亮吉
左效平。
一道正方形考题模型的引申与应用[J]。初中生学习指导,
2019(17)。