2020年九年级数学中考复习学案：正方形中建模巧求线段的最值（附答案）

正方形中建模
巧求线段的最值
摘要：
建模解题是数学学习一种最基本的学习途径和最有效的学习方法，是基于构建主义理论的一种主动学习过程，是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后应用数学公式进行模拟和验证的一种模式化思维。不同知识，不同条件，不同特点，可以构建不同数学模型，为数学灵活解题提供灵活解题方法。正方形是一种重要的特殊四边形，也是重要的考题载体之一，而正方形中的一个重要的图形---等腰直角三角形套动态直角三角形也日益成为考题的焦点，下面就结合2018年的考题构建一种正方形解题模型—等腰直角三角形套动态直角三角形模型，并通过模型的应用，模型的变式，掌握模型的特点，为其他模型的构建提供模本。
关键词：构建主义，建模思想，变式
《义务教育数学课程标准（2011边版）》第7页中给出了建立数学模型思想的地位：模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径[1]。
鉴于数学建模的重要性，学会构建模型，并灵活运用模型解题成为数学学习的重要手段。下面就向大家介绍一种正方形解题模型的构建，应用和变式，供学习时借鉴。
一、试题呈现
（2018年兰州）如图1，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接
AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最
小值是______．
二、问题解决
如图1，因为四边形ABCD是正方形，所以AD=BC=CD,∠ADM=∠BCN=90°，∠DCE=∠BCE=45°，
所以△ADM≌△BCN，△DCE≌△BCE，所以∠DAM=∠CBN=∠CDE.因为∠ADM+∠DMF=90°，
所以∠MDF+∠DMF=90°，所以∠DFM=∠DFA=90°.取AD的中点O，连接CO,FO，
则MO=AD=3，OC==3.
在三角形OCF中，根据两点之间线段最短原理，得CF+OF≥OC，即CF≥OC-OF≥3-3，
所以当点O,F,C三点在一条直线上时，CF取得最小值，且最小值为3-3.
通过问题解决，发现最值的解决用到了三个条件，一个是不变的等腰直角三角形，提供一个
不变的两点间的距离；一个是动态的直角三角形，直角顶点在动，直角所对的斜边却是一个
不变量，为问题解决提供另一条斜边上的中线这一不变量；三是应用两点之间线段最短原理，
根据三角形两边之和大于第三边，三点一线时最短，确定线段的最值，于是将问题的求解转
化如下计算模型.
三、模型构建
已知三角形ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，点D是三角形内一个动点，且CD⊥AD，
连接BD，OD，设BC=AC=m，则点D在运动过程中，线段BD有最小值，且最小值为.
模型的证明请读者自己完成.
四、模型变式应用
1.两动点在相邻二边上
例1
如图3，点E、F分别是边长为2的正方形ABCD边BC、CD上的动点，且BE=CF，连接
DE、AF相交于P点，作PN⊥CD于N点，PM⊥BC于M点，连接MN，则MN长的最小值为
.
解析
如图3，连接CP，易证四边形PMCN是矩形，所以MN=CP.
因为四边形ABCD是正方形，所以AD=BC=CD,∠ADF=∠DCE=90°，
因为BE=CF，所以CE=DF，所以△ADF≌△DCE，
所以∠DAF=∠CDE.因为∠DAF+∠DFA=90°，所以∠DFP+∠PDF=90°，所以∠APD=∠DPC=90°.取AD的中点G，连接PG,CG，则PG=AD=1，GC==.
在三角形PCG中，根据两点之间线段最短原理，得PC+PG≥GC，即PC≥GC-PG≥-1，
所以当点P,G,C三点在一条直线上时，PC取得最小值，且最小值为-1，所以MN的最小
值为-1.
点评
利用已知条件证明AF⊥DE，为模型的使用创造条件，其次，利用矩形的性质把MN的最小值转化为PC的最小值也是解题的关键之一.
2.两动点在相邻二边上，变换连接方式
例2如图4，在正方形ABCD中，AB=a（a是常数），点E,F分别是BC,CD上的两个动点，AE
与BF交于点P，若BE=CF，连接CP，当CP有最小值为4时，则a值为
.
解析
如图4，因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，
因为BE=CF，所以△ABE≌△BCF，所以∠BAE=∠CBF.因为∠BAE+∠AEB=90°，所以∠EBP+∠PEB=90°，
所以∠APB=∠BPE=90°.取AB的中点O，连接PO,CO，因为AB=a，则PO=AB=a，
OC==a.在三角形PCO中，根据两点之间线段最短原理，得PC+PO≥OC，即PC≥OC-PO≥a
-a
，所以当点P,O,C三点在一条直线上时，PC取得最小值，且最小值为a
-a，所以a
-a=4,解得a=2+2.
点评
利用已知条件证明AE⊥BF，为模型的使用创造条件，是解题的关键.这是模型的一种崭新表现形式，也是正方形中最容易证明垂直的情形之一，要熟练掌握，灵活运用.
3.两动点在相对二边上
例3
如图5，正方形ABCD的边长为4cm，动点E,F分别从点A、点C同时出发，以相同的速度沿AB，CD向终点B、D运动，当点E到达点B时，停止运动，过点B作BG⊥EF，垂足为点G，连接AG,则AG的最小值为
.
解析
如图5，连接BD，交EF于点O，易证OE=OF，OB=OD，取OB的中点M，连接GM，MA，
作MQ⊥BC于Q点，MH⊥AB于H点，因为正方形的边长为4，所以GM=OM=MB=，
易证四边形MHBQ是正方形，所以MH=BH=1，所以AM==，
在三角形AGM中，根据两点之间线段最短原理，得AG+GM≥AM，即AG≥AM-GM≥
-
，所以当点A,G,M三点在一条直线上时，AG取得最小值，且最小值为
-.
点评
构造直角三角形BOG是解题的关键.
4.两动点在相邻二边的延长线上
例4
如图6，在正方形ABCD中，BC=2,点E、F分别是射线BC、CD上两个动点，且满足BE=CF，
设AE、BF交于点G，连接DG，则DG的最小值为
.
解析
如图6，易证AG⊥BG，从而确定中点所取的位置，取AB的中点M，连接GM,DM，余下的问题，套用解题模式求解即可.
答案为：-1.
点评
根据条件确定动态直角三角形是解题的关键.
跟踪专练：
如图7，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，
连接BE交AG于点H，连接DH，若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是______．
答案：-1..
[1]娄成海
左效平正方形的蝴蝶三角形模型的构建、应用及变式[J]数理化学习2020（01）