基本不等式（一）
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(共22张PPT)
2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
a
b
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，
问3：S与S’有什么样的关系？
从图形中易得，
s > s’,即
问题1：s, S’有相等的情况吗？何时相等？
图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
形的角度
数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
问题2：当 a,b为任意实数时， 成
立吗？
类 比 联 想 推 理 论 证
（特别的）如果
也可写成
a＞0 ,b＞0 ,
当且仅当 a=b 时“＝”号成立
此不等式称为基本不等式
算术平均数
几何平均数
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a
b
o
A
B
P
Q
对基本不等式的几何意义作进一步探究:
如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则PQ=____,半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xym2
=18/2=9
得 xy 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。
应用基本不等式求最值的条件：
a与b为正实数
若等号成立，a与b必须能够相等
一正
二定
三相等
积定和最小
和定积最大
例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.
根据题意,有:
由容积为4800m3,可得:3xy=4800
因此 xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
即
当x=y,即x=y=40时,等号成立
所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.
1.下列函数中最小值为4的是( )
2.设a>1，且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),
p=loga(2a)则m,n,p的大小关系是( )
3.若a.b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值为( )
C
m>p>n
4.设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为a(a<1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
设宣传画的宽为xcm，面积为S
5.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？)
设使用x年报废最合算
1. 两个不等式
（1）
（2） 当且仅当a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。
2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
1.设 >0， >0，若 是 与 的等比中项，则
得最小值为（ ）
A. 8 B. 4 C. 1 D.
（2009年天津理6）
B
＞
2.（2009山东理12T)设 满足约束条件 若目标函数
（ 0， >0）的最大值为12，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
略解：
x
y
0
2
-2
2
(4,6)
A
作业
学法大视野第31课
2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
a
b
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=————，
问3：S与S’有什么样的关系？
从图形中易得，
s > s’,即
问题1：s, S’有相等的情况吗？何时相等？
图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
形的角度
数的角度
当a=b时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立
此不等式称为重要不等式
问题2：当 a,b为任意实数时， 成
立吗？
类 比 联 想 推 理 论 证
（特别的）如果
也可写成
a＞0 ,b＞0 ,
当且仅当 a=b 时“＝”号成立
此不等式称为基本不等式
算术平均数
几何平均数
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.
(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a
b
o
A
B
P
Q
对基本不等式的几何意义作进一步探究:
如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,
则PQ=____,半径AO=_____
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xym2
=18/2=9
得 xy 81
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。
应用基本不等式求最值的条件：
a与b为正实数
若等号成立，a与b必须能够相等
一正
二定
三相等
积定和最小
和定积最大
例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.
根据题意,有:
由容积为4800m3,可得:3xy=4800
因此 xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
即
当x=y,即x=y=40时,等号成立
所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.
1.下列函数中最小值为4的是( )
2.设a>1，且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),
p=loga(2a)则m,n,p的大小关系是( )
3.若a.b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值为( )
C
m>p>n
4.设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为a(a<1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
设宣传画的宽为xcm，面积为S
5.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？)
设使用x年报废最合算
1. 两个不等式
（1）
（2） 当且仅当a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。
2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
1.设 >0， >0，若 是 与 的等比中项，则
得最小值为（ ）
A. 8 B. 4 C. 1 D.
（2009年天津理6）
B
＞
2.（2009山东理12T)设 满足约束条件 若目标函数
（ 0， >0）的最大值为12，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
略解：
x
y
0
2
-2
2
(4,6)
A
作业
学法大视野第31课