算法的概念
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文档简介
(共24张PPT)
算法自古就有，中国古代数学在
世界数学史上一度占居领先地位．她
注重实际问题的解决，以算法为中心，
寓理于算，其中蕴涵了丰富的算法思
想．算筹是中国古代的计算工具，在春秋时期已经很普遍，算盘在明代开始盛行．中国古代涌现了许多著名的数学家，如三国、两晋的赵爽、刘徽，南北朝的祖冲之、祖暅父子，宋、元的秦九韶、杨辉、朱世杰等.著名的数学专著有《九章算术》、《周髀算经》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《黄帝九章算法细草》、《议古根源》、《数书九章》、《详解九章算法》和《杨辉算法》等．
内容简介
随着计算科学和信息技术的飞速发展，算法思想已经渗透到社会的方方面．在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学学习中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等．完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．
1.1.1 算法的概念
用不同方法解二元一次方程组 ，并写出具体求解步骤
①
②
一、实例
代入法、消元法
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步：
①＋②×2，得：
③
解③，得：
②－①×2，得：
④
解④，得：
得到方程组的解为
算法：就是解决一个特定问题的方法与步骤．
二、归类
对于一般的二元一次方程组
您能写出一般的求解步骤么
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步：
解(3)得：
解(4)得：
得到方程组的解为：
三、算法的基本思想及特征
一般地,对于一类问题的机械式地、统一地、按部就班地求解过程称为算法(algorithm)．它是解决某一问题的程序或步骤.
按照这样的理解,我们可以设计出很多具体数学问题的算法.下面看几个例子:
所谓 “算法”就是解题方法的精确描述.从更广义的角度来看,并不是只有“计算”的问题才有算法,日常生活中处处都有.如乐谱是乐队演奏的算法,菜谱是做菜肴的算法,珠算口诀是使用算盘的算法.
第一步:农夫带羊过河;
第二步:农夫独自回来;
第三步:农夫带狼过河;
第四步:农夫带羊回来;
第五步:农夫带蔬菜过河;
第六步:农夫独自回来;
第七步:农夫带羊过河.
1、一个 带着一条 、一头 和一篮 要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个算法,使农夫能安全地将这三样东西带过河.
2、把大象装进冰箱里，一共分几步？
第一步：把冰箱门打开
第二步：把大象装进冰箱
第三步：把冰箱门关上
3、思考以下问题的算法：
一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？
解: 1.把银元分成3组，每组3枚．
2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就放在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在末称的第3组里．
3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则没称的那一枚就是假银元．
算法的特点：
1.通用性：能用来解决同一类问题；
2.确定性：每一步都应该是能有效执行且有确定的结果，而不应该是模棱两可的；
3.有穷性：应能在有限步内解决问题.
4.可行性：计算机可以解决．
算法：在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序和步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
算法的表示形式有三种：自然语言、程序框图、程序设计语言
自然语言就是人们日常使用的语言,可以是汉语、英语或数学语言等.用自然语言描述算法的优点是通俗易懂,当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解.缺点是如果算法中包含判断和转向,并且操作步骤较多时,就不那么直观清晰了.
(1)自然语言
(2)程序框图
(3)程序语言
(1)设计一个算法，判断7是否为质数．
【例1】
只能被1和它本身整除的大于1的整数叫质数．
判断一个大于1的整数n是否为质数，用比这个整数小比1大的数去除n，如果不能整除，则n就是质数．
第一步：用2除7，得余数为1，所以2不能整除7．
第二步：用3除7，得余数为1，所以3不能整除7．
第三步：用4除7，得余数为3，所以4不能整除7．
第四步：用5除7，得余数为2，所以5不能整除7．
第五步：用6除7，得余数为1，所以6不能整除7．
因此，7是质数．
第一步：用2除35，得余数为1，所以2不能整除35．
(2)设计一个算法，判断35是否为质数．
第二步：用3除35，得余数为2，所以3不能整除35．
第三步：用4除35，得余数为3，所以4不能整除35．
第四步：用5除35，得余数为0，所以5能整除35．
因此，35不是质数．
探究
您能写出“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法么？
第一步：给定大于2的整数n．
第二步：令i=2
第三步：用i除n，得余数r．判断余数r是否为0，若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示这个数．
第四步：判断i是否大于n-1，若是，则n是质数；否则，返回第三步．
【例2】
写出用“二分法”求方程 近似解的算法．
“一分为二”为区间 ，根据 是否，找出零点所在的区间，仍记做 ．对所得的区间重复以上步骤，直到包含零点的区间 “足够小”，那么此区间 内的数即为方程的近似解．
二分法：把满足 的函数 的零点所在的区间
【例2】
写出用“二分法”求方程 近似解的算法．
第一步：令
给定精确度d．
第三步：取区间中点
含零点的区间为
第四步：若
则含零点的区间为
否则，
将新得到的含零点的区间仍记为
第二步：确定区间
满足
第五步：判断
的长度是否小于d或f(m)是否等于0．
若是，则m是方程的近似值；否则，返回第三步．
取d=0.005，可以得到以下表格：
a b |a-b|
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.4375 0.0625
1.40625 1.4375 0.03125
1.40625 1.421875 0.015625
1.4140625 1.421875 0.0078125
1.4140625 1.41796875 0.00390625
区间(1.4140625，1.41796875)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解．
1、给出求1+2+3+4+5+6的一个算法.
解法1.按照逐一相加的程序进行.
第一步:计算1+2,得3;
第二步:将第一步中的运算结果3与3相加得6;
第三步:将第二步中的运算结果6与4相加得10;
第四步:将第三步中的运算结果10与5相加得15;
第五步:将第四步中的运算结果15与6相加得21.
思考：您能举出更多的算法的例子吗？
解法2.可以运用下面公式直接计算.
第一步:取n =6
第二步:计算
第三步:输出计算结果.
点评:解法1繁琐,步骤较多; 解法2简单，步骤较少. 找出好的算法是我们的追求目标.
2、任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
第一步:输入任意一个正实数r；
第二步:计算圆的面积: S=πr 2;
第三步:输出圆的面积S.
3、任意给定一个大于1 的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数.
第一步：依次以2～(n-1)为除数去除n,检查余数是否为0,若是,则是n的因数;若不是,则不是n的因数.
第二步：在n的因数中加入1和n.
第三步：输出n的所有因数.
作业：学法第一课
算法自古就有，中国古代数学在
世界数学史上一度占居领先地位．她
注重实际问题的解决，以算法为中心，
寓理于算，其中蕴涵了丰富的算法思
想．算筹是中国古代的计算工具，在春秋时期已经很普遍，算盘在明代开始盛行．中国古代涌现了许多著名的数学家，如三国、两晋的赵爽、刘徽，南北朝的祖冲之、祖暅父子，宋、元的秦九韶、杨辉、朱世杰等.著名的数学专著有《九章算术》、《周髀算经》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《黄帝九章算法细草》、《议古根源》、《数书九章》、《详解九章算法》和《杨辉算法》等．
内容简介
随着计算科学和信息技术的飞速发展，算法思想已经渗透到社会的方方面．在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学学习中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等．完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．
1.1.1 算法的概念
用不同方法解二元一次方程组 ，并写出具体求解步骤
①
②
一、实例
代入法、消元法
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步：
①＋②×2，得：
③
解③，得：
②－①×2，得：
④
解④，得：
得到方程组的解为
算法：就是解决一个特定问题的方法与步骤．
二、归类
对于一般的二元一次方程组
您能写出一般的求解步骤么
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步：
解(3)得：
解(4)得：
得到方程组的解为：
三、算法的基本思想及特征
一般地,对于一类问题的机械式地、统一地、按部就班地求解过程称为算法(algorithm)．它是解决某一问题的程序或步骤.
按照这样的理解,我们可以设计出很多具体数学问题的算法.下面看几个例子:
所谓 “算法”就是解题方法的精确描述.从更广义的角度来看,并不是只有“计算”的问题才有算法,日常生活中处处都有.如乐谱是乐队演奏的算法,菜谱是做菜肴的算法,珠算口诀是使用算盘的算法.
第一步:农夫带羊过河;
第二步:农夫独自回来;
第三步:农夫带狼过河;
第四步:农夫带羊回来;
第五步:农夫带蔬菜过河;
第六步:农夫独自回来;
第七步:农夫带羊过河.
1、一个 带着一条 、一头 和一篮 要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个算法,使农夫能安全地将这三样东西带过河.
2、把大象装进冰箱里，一共分几步？
第一步：把冰箱门打开
第二步：把大象装进冰箱
第三步：把冰箱门关上
3、思考以下问题的算法：
一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？
解: 1.把银元分成3组，每组3枚．
2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不平衡，那么假银元就放在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在末称的第3组里．
3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则没称的那一枚就是假银元．
算法的特点：
1.通用性：能用来解决同一类问题；
2.确定性：每一步都应该是能有效执行且有确定的结果，而不应该是模棱两可的；
3.有穷性：应能在有限步内解决问题.
4.可行性：计算机可以解决．
算法：在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序和步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
算法的表示形式有三种：自然语言、程序框图、程序设计语言
自然语言就是人们日常使用的语言,可以是汉语、英语或数学语言等.用自然语言描述算法的优点是通俗易懂,当算法中的操作步骤都是顺序执行时比较容易理解.缺点是如果算法中包含判断和转向,并且操作步骤较多时,就不那么直观清晰了.
(1)自然语言
(2)程序框图
(3)程序语言
(1)设计一个算法，判断7是否为质数．
【例1】
只能被1和它本身整除的大于1的整数叫质数．
判断一个大于1的整数n是否为质数，用比这个整数小比1大的数去除n，如果不能整除，则n就是质数．
第一步：用2除7，得余数为1，所以2不能整除7．
第二步：用3除7，得余数为1，所以3不能整除7．
第三步：用4除7，得余数为3，所以4不能整除7．
第四步：用5除7，得余数为2，所以5不能整除7．
第五步：用6除7，得余数为1，所以6不能整除7．
因此，7是质数．
第一步：用2除35，得余数为1，所以2不能整除35．
(2)设计一个算法，判断35是否为质数．
第二步：用3除35，得余数为2，所以3不能整除35．
第三步：用4除35，得余数为3，所以4不能整除35．
第四步：用5除35，得余数为0，所以5能整除35．
因此，35不是质数．
探究
您能写出“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法么？
第一步：给定大于2的整数n．
第二步：令i=2
第三步：用i除n，得余数r．判断余数r是否为0，若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示这个数．
第四步：判断i是否大于n-1，若是，则n是质数；否则，返回第三步．
【例2】
写出用“二分法”求方程 近似解的算法．
“一分为二”为区间 ，根据 是否，找出零点所在的区间，仍记做 ．对所得的区间重复以上步骤，直到包含零点的区间 “足够小”，那么此区间 内的数即为方程的近似解．
二分法：把满足 的函数 的零点所在的区间
【例2】
写出用“二分法”求方程 近似解的算法．
第一步：令
给定精确度d．
第三步：取区间中点
含零点的区间为
第四步：若
则含零点的区间为
否则，
将新得到的含零点的区间仍记为
第二步：确定区间
满足
第五步：判断
的长度是否小于d或f(m)是否等于0．
若是，则m是方程的近似值；否则，返回第三步．
取d=0.005，可以得到以下表格：
a b |a-b|
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.4375 0.0625
1.40625 1.4375 0.03125
1.40625 1.421875 0.015625
1.4140625 1.421875 0.0078125
1.4140625 1.41796875 0.00390625
区间(1.4140625，1.41796875)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解．
1、给出求1+2+3+4+5+6的一个算法.
解法1.按照逐一相加的程序进行.
第一步:计算1+2,得3;
第二步:将第一步中的运算结果3与3相加得6;
第三步:将第二步中的运算结果6与4相加得10;
第四步:将第三步中的运算结果10与5相加得15;
第五步:将第四步中的运算结果15与6相加得21.
思考：您能举出更多的算法的例子吗？
解法2.可以运用下面公式直接计算.
第一步:取n =6
第二步:计算
第三步:输出计算结果.
点评:解法1繁琐,步骤较多; 解法2简单，步骤较少. 找出好的算法是我们的追求目标.
2、任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.
第一步:输入任意一个正实数r；
第二步:计算圆的面积: S=πr 2;
第三步:输出圆的面积S.
3、任意给定一个大于1 的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数.
第一步：依次以2～(n-1)为除数去除n,检查余数是否为0,若是,则是n的因数;若不是,则不是n的因数.
第二步：在n的因数中加入1和n.
第三步：输出n的所有因数.
作业：学法第一课