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八年级数学·上
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.2.2
三角形的外角
问题情景
两只猎豹在如图所示的A处发现一只野牛独自在O处，猎豹打算用迂回的方式，先Y由一只从A前进到C处，然后再折回在B处截住野牛，另一只直接从A处扑向野牛，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°，
问猎豹从C处要转多少度才能直达B处？
D
O
C
A
B
学
习
新
知
一、三角形外角的定义
1.观察图形，∠ACD与∠ACB在位置上有什么关系？
2.对于∠ACB而言，∠ACD的位置在△ABC的内部还是外部？
小问题
D
C
B
A
像∠ACD这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
总结
二、三角形外角性质的探究
三角形的外角和内角之间有什么关系呢？
小问题
小活动1
如图，在△ABC中，分别度量∠A和∠B的大小，并且度量∠ACD的大小.
D
C
B
A
总结
结论：∠ACD=∠A+∠B
小活动2
∠A和∠B的和与∠ACD有什么关系？再画一个图形试一下！
三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.
我们是否可以不加辅助线证明三角形外角的性质?
思考
提醒
在证明三角形外角性质时，采用了等量转化，问题的思考点在等量减去等量差相等.
证明：因为∠A+∠B+∠ACB=180°，
证明过程
已知：
△ABC中，D为BC
延长线上一点；
求证：∠ACD=∠A+∠B.
∠ACD+∠ACB=180°，
所以∠A+∠B=180°-∠ACB，
所以∠ACD=∠A+∠B.
∠ACD=180°-∠ACB，
D
C
B
A
知识拓展
分析：根据图形中∠1的位置，判断∠1是三角形的内角还是外角，选择运用三角形的内角和定理或外角的性质进行解答.
解：图1中，∠1+30°+60°=180°，
所以∠1=180°-30°-60°=90°.
图2中，120°=∠1+35°，
图3中，∠1=45°+50°=95°.
所以∠1=120°-35°=85°.
（补充）根据下列图形，分别求出各图中的∠1的度数.
图1
图2
图3
例题
分析：由图形可知，所求三角均为△ABC的外角，所以利用三角形外角的性质，把外角转化为三角形内角和进行计算.
解题策略
解：由三角形外角性质得：
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.
∠ACD=∠1+∠2，
（教材例4）如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
求三角形的外角可以转化为求三角形的内角，再根据三角形内角和知识进行解答.
总结
三角形的外角和为360°.
1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
2.三角形外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.
解析：根据三角形外角的性质可得，∠α等于三角形的一个锐角与直角的和，∠β等于另一个锐角与直角的和，所以∠α与∠β的度数之和即为直角三角形两个锐角之和与直角的和，即为270°.
1．如图所示，∠α与∠β的度数之和为
(
)
A.90°
B.130°
C.180°
D.270°
检测反馈
D
解析:在△ACD中，∠1为外角，所以∠1>∠A，在△ECD中，∠2为外角，所以∠2>∠1，所以∠2>∠1>∠A.
∠2>∠1>∠A
2．如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是
（用“>”将它们连接起来）.
解析:因为∠A=∠ACE-∠ABC
=2∠DCE-2∠DBC=2(∠DCE-∠DBC)，
∠D=∠DCE-∠DBC，所以∠A=2∠D=48°.
48
°
3.如图所示，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和
外角∠ACE，若∠D=24°，则∠A=_______.
答案:因为∠BAC=120°，所以
∠2+∠3=60°，
设
∠2=x，则∠1=x，根据三角形外角的性质，
所以
∠3=∠4=2x，
所以
x+2x=60°，解得
x=20°，所以
∠3=∠4=40°，
所以
∠DAC=100°.
解析：根据三角形的外角的性质进行解答。
4.已知，如图所示，在△ABC
中，D为BC
边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC
的度数.
必做题:
教材第15页练习.
选做题:
教材第16页习题11.2第2题.
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.1
与三角形有关的线段
问题情景
同学们，大家看这个图案美丽吗？这个图案主要是由什么图形构成的？
学
习
新
知
一、三角形的相关概念
1.在一张纸上任意画三条线段；
2.在同一条直线上任意画三条线段.
小活动
小思考
1.任意画的三条线段都能组成三角形吗？
2.怎样才能组成一个三角形？
比一比
判断由下列三条线段组成的图形是不是三角形?
F
E
A
B
D
C
E
D
A
B
C
三角形的定义是什么？
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
各种形状的三角形
知识拓展
三角形的特征
思考
三角形的表示方法
1.“三角形”可用符号“△”表示，记作△ABC，读作“三角形ABC”
；
2.
、
、
是△ABC的三个角；
3.△ABC的三边分别是
AB、BC
、AC，有时也可用小写字母来表示，顶点
A、B
、C
所对的边分别可用a
、
b、c
来表示。
观察图形，三角形怎么表示？
C
a
b
B
A
c
二、三角形的分类
按照边的大小关系对三角形进行分类，又应该如何分呢？
三、三角形三边之间的关系
三角形两边之和与第三边之间的关系
如图三角形中，假设你要从点B出发沿着三角形的边到点C，有几条路线可选择？各条路线的长一样吗？
（2）先由B到A再到C,即BA+AC.显然，路线（1）中的BC
要短一些，即BC
（1）B直接到C,即BC.
BC，AC为什么
三角形两边的差和第三条边之间的关系
在△ABC
中，
∵BC，
AC通过不等式的性质，可以得出：
BC＞AB－AC,
BC＞AC－AB,
这就是说，三角形两边的差小于第三边.
思考
是不是三角形任意两边的差都小于第三边？
（教材）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
（2）①当4cm为底边长时，腰长为7cm，任意两边之和都大于第三边，故可以构成三角形。
解：（1）设底边长为x
cm，则腰长为2x
cm.
2x+2x+x=18
解得，x=3.6.
所以，三边长分别为3.6cm
，7.2cm，
7.2cm.
∴能构成底边长为4cm的等腰三角形，不能构成腰长为4cm的等腰三角形
。
②当4cm为腰长时，底边=18﹣4﹣4=10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去。
例题讲解
知识拓展
三角形三边关系的作用
（补充）已知三角形一边为5，另一边为3，求第三边长c的取值范围.
解：因为5-32所以第三边长c的取值范围是2例如，三条线段a=2cm
，b=3cm
，c=4cm
能组
成三角形，因为2+3
＞4，而三条线段
d=2cm，
e=3cm
，f=5cm
就不能组成三角形，因为
2+3=5，
即两条线段的和不大于第三条线段，就不能组成三
角形.
易错提示
例题讲解
解题策略
（补充）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（
）
A.2
B.3
C.4
D.8
解:设第三边长为x
,
根据三角形的三边关系，得
5-3即2符合条件的只有C。
一般地，若三条线段能组成一个三角形时，只需判断两条短的线段之和是否大于最长的线段即可，无需再从任意两边之和大于第三边的角度进行判断.
C
例题讲解
1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是三角形.
2.三角形的分类：三边都不相等的三角形、等腰三角形。
3.在一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
注意
三角形任意两边和与第三边的关系不包括等于这种关系。等边三角形也是等腰三角形，等腰三角形的范围要大于等边三角形，且包含等边三角形.
知识小结
1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（
）
A．1，2，4
B．4，5，9
C．4，6，8
D．5，5，11
解析：以最长边为第三边，看其它两边之和是否大于最长边,若大于则能构成三角形；若小于或等于则不能构成三角形。∵1+2＜4，∴1，2，4不可能是一个三角形的三边；∵4+5=9，∴4，5，9不可能是一个三角形的三边；∵4+6＞8,∴4,6,8能构成一个三角形的三边；∵5+5＜11，∴5，5，11不可能构成一个三角形的三边.
C
检测反馈
2．如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边长可能是（
）
A.2
B.4
C.6
D.8
解析:本题考查了三角形的三边关系，对于选项A中2+2=4，不能构成三角形；选项C中2+4=6，不能构成三角形；选项D中2+4＜8，不能构成三角形；只有选项B能构成三角形，故选B.本题也可以根据三角形的三边关系先确定第三边x的取值范围是：2＜x＜6，然后直接选择B.
B
3.有长为3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析:组成的三角形的情况是：①3，6，8；②3，8，9；③6，8，9三种情况。
只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形。三角形的三边关系一般和不等式组联系，甚至涉及分类讨论的思想方法。
方法
C
必做题：
教材第4页练习第1、2题.
选做题：
教材第8页习题11.1第1、2题.
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.1.2
三角形的高,中线与角平分线
问题情景
如图，图中支撑太阳能电池板的三角形支架有多高呢？
学
习
新
知
一、三角形的高
画出一个锐角三角形的高.
小活动1
小思考
如何描述三角形的高的画法与定义？
总结
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高.
D
A
B
C
注意：垂直符号的书写
如图，在在△ABC中AD⊥BC，点D是垂足，
所以AD是△ABC
的一条高。
在事先准备好的三角形纸片上，用直尺与三角板作出这个三角形的三条高，然后用折纸的方法，观察这三条高的位置关系。
思考一下
小活动2
1.你有什么发现？
2.如果已知三角形的一条高，你知道它是哪一条边上的高吗？
仔细观察
你画对了吗？
O
总结
锐角三角形的三条高相交于一点，此点在锐角三角形的内部.
A
B
C
F
D
E
小活动3
在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法，画出它的三条高，它们有怎样的位置关系？
A
B
C
D
三条高分别是：AB、BC、BD。
总结
直角三角形的三条高交于一点，即是直角三角形的直角顶点.
画一个钝角三角形，让学生尝试画出它的三条高？或通过折纸的方法找到它的三条高。
小活动4
思考一下
观察三条高，看它们有什么样的位置关系？
仔细观察
A
B
C
D
总结
钝角三角形的三条高中，有两条在外面，一条在内部，且它们的延长线交于一点.
表述
如下图，因为AD是△ABC的高（已知），所以AD⊥BC于D，（或∠ADB=∠ADC=90°）。
因为AD⊥BC于D，
（或∠ADB=∠ADC=90°）（已知），所以AD是△ABC的边BC上的高.（高的定义）
A
B
C
D
知识拓展
三角形的高
二、三角形的中线
画一条线将三角形的面积分成两半。
小活动1
思考一下
1.所画出的线的有什么特点
？
2.为什么它就能把三角形的面积分成相等的两部分？它是线段吗？
三角形中线的定义：连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。
总结
任意画出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，然后分析这三条中线的位置关系。
小活动2
总结
任意三角形的三条中线都交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
知识拓展
三角形的中线
三、三角形的角平分线
提醒
先画出一个任意三角形，分别画出一个三角形中的三个角的平分线。
小活动1
思考一下
这三条角平分线的位置有哪些特点？
三角形的形状多样，作图的规范性，可用量角器量.
总结
三角形的角平分线定义：
连接三角形顶点与该顶点内角平分线与对边交点的线段叫三角形的角平分线.
提醒
表述
如下图，因为BD是△ABC的角平分线（已知），所以∠ABD=∠CBD=
∠ABC；
或∠ABD=
∠ABC）
（已知），
因为∠ABD=∠CBD
（或∠CBD=
∠ABC，
所以线段BD是△ABC的角平分线.（角平分线定义）
O
D
C
B
F
E
A
知识拓展
三角形的角平分线
（1）当AB＋AD＝15，BC＋CD＝6时，有2x＋x＝15，
分析：由题意可知，中线BD将△ABC的周长分成AB＋AD和
BC＋CD两部分（注意不是AB＋AD＋BD和BC＋CD＋BD两
部分），故有两个可能：（1）AB＋AD＝15且BC＋CD＝6；
（2）AB＋AD＝6且BC＋CD＝15．
再由AB＝AC＝2AD＝2CD及三角形三边关系知（1）成立，
（2）不成立．
解：设AB＝AC＝2x，则AD＝CD＝x．
因为4＋4＜13，故不能组成三角形.
所以x＝5，2x＝10，BC＝6－5＝1．
（2）当AB＋AD＝6，BC＋CD＝15时，有2x＋x＝6．
所以x＝2，2x＝4，所以BC＝13．
（补充）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例题讲解
知识拓展
（1）三角形三条高线所在直线交于一点，这一点常被称为这个三角形的垂心.
（2）三角形三条中线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的重心，取一块质地均匀的三角形木板，用手指向上顶住三角形重心，木板会保持平衡.
（3）三角形三条角平分线交点在三角形内部，它被称为三角形内心.
1．三角形的高、中线、角平分线都是线段。
2．三角形的高（所在直线）、中线、角平分线都相交于一点，钝角三角形的高线所在直线相交于三角形外.
1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
C
解析：锐角三角形三条高交于三角形的内部，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部，只有直角三角形的高的交点在直角顶点．
检测反馈
点拨:利用中线等分三角形的面积来做．
C
2．在△ABC中，已知点D，E，F
分别是BC、AD、CE
的中点，且
＝4cm2，则
的值为（
）
A．2cm2
B．1cm2
C．
cm2
D．
cm2
答案
:（1）图中共有8个三角形，分别是△BDF，△BDA，△BFA，△AEF，△AEB，△ADC，△ABC,△BCE.
（2）△BDF的三个顶点是B，D，F，三条边是BD，DF，BF．
（3）AB边是△ABF，△ABD，△ABE，△ABC的边．
（4）F点是△BDF，△ABF，△AEF
的顶点．
3.如图所示，在△ABC中，D，E是BC，AC上的两点，连结BE，AD交于F，问：
（1）图中有几个三角形？并表示出来.
（2）△BDF的三个顶点是什么？三条
边是什么？
（3）AB边是哪些三角形的边？
（4）F点是哪些三角形的顶点？
F
E
D
C
B
A
若AB+AD=30，则：x
+
x=30,
4.在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24和30的两个部分，求三角形的三边长.
解：设三角形的腰AB=AC=x
三角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为16，16，22；
∵三角形的周长为24+30=54
∴三边长分别为20，20，14；
因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14．
解析:分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14．
若AB+AD=24，则：
x+
x=24
,
∴x=16.
∴x=20.
D
C
B
A
必做题：
教材第5页练习第1、2题.
选做题：
教材第8页习题11.1第3、4题.
布置作业
谢
谢(共20张PPT)
八年级数学·上
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.2.1
三角形的内角（2）
问题情景
1.观察图形，找出图中所包含的直角三角形；
2.回顾已学习的直角三角形知识，如：直角三角形及相关概念——直角边、斜边等.
学
习
新
知
如图，直角△ABC表示方法：Rt△ABC，直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边.
一、直角三角形的表示方法
三角形ABC表示△ABC，直角三角形应该如何表示呢？
小问题
直角三角形可以用符号“Rt△”
斜边
直
角
边
直角边
C
B
A
二、探究直角三角形的性质
在Rt△ABC中，∠C=
90°，∠B=
30°，∠A等于多少度？有没有简单的方法计算这道题呢？
小问题
小活动1
根据以上问题，借助三角板进行分析、计算，总结∠A和∠B之间的关系.
讨论
通过对问题的计算你发现∠A和∠B有什么关系？
小活动2
画一个直角三角形ABC，其中∠C=
90°，用量角器分别量出∠A、∠B的度数，并且求出∠A+∠B的值.
结论
直角三角形的两个锐角互余.
结合图形你能写出已知、求证和证明吗？
思考
证明：如图，在Rt△ABC中．
∵∠A+∠B
+∠C=180°,
证明过程
C
B
A
已知：Rt△ABC，
∠C=
90°
求证：
∠A+∠B=
(三角形内角和定理）
而∠C=
90°．
∴
直角三角形的两个锐角互余．
∴
∠A+∠B=
90°.
90°.
知识拓展
分析：要想找出∠CAE与∠DBE有什
么关系，它们不在同一个三角形中，
通过观察知它们是在两个不同的直角三角形中的锐角，只要找另外两个锐
角的关系即可。
解：在△ACE中，∠C=90°，
如图，∠C=∠D=90°
，AD、BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
所以∠CAE=∠DBE.
所以∠CAE+∠AEC=90°，
在△BDE中，∠D=90°，所以∠DBE+∠BED=90°，
因为∠AEC=∠BED（对顶角相等），
例3
三、探究直角三角形的判定
讨论
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
参照直角三角形性质的几何推理过程，判定定理几何推理过程又该怎样表示呢？
思考
推理过程
如图，在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=
180°
∵
∠A+∠B=90°（已知），
（三角形内角和定理），
∴
∠C=90°，
∴
△ABC是直角三角形
．
(直角三角形定义）．
A
B
C
因为∠ACD=∠B，
本题综合考查了直角三角形的性质和判定，根据已知，通过角与角之间的转化关系，获得三角形中两个锐角之和为90°，从而证明直角三角形.
解题策略
解：因为CD⊥AB，
所以∠ADC=90°，
所以∠A+∠ACD=90°。
所以△ABC为直角三角形.
所以∠A+∠B=90°，
（补充例题）如图，在△ABC中，
若∠ACD=∠B，CD⊥AB于D，△ABC中为直角三角形吗？为什么？
A
B
C
D
如图，在Rt△ABC中∠ACB＝
90
°，D、E分别在AB、AC上，若∠AED=∠B，△AED为直角三角形吗？试说明理由．
变式
A
B
C
D
E
解：因为∠ACB=90°
，
∠ACB+
∠A
+∠B
=180°，
所以∠A+∠B=90°。
所以∠A+∠AED=90°.
因为∠AED=∠B，
所以△AED为直角三角形.
因为∠AED+
∠A
+∠ADE
=180°，
所以∠ADE=90°，
1.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
2.直角三角形的表示方法：Rt△.
3.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
4.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
1．一个三角形三个内角之比为1：1：2，则三角形
的形状是
.
等腰直角三角形
解析：设三角形三个内角度数分别为x，x，2x，则x+x+2x=180°，解得x=45°，所以三角形三个内角分别为45°，45°，90°，故此三角形为等腰直角三角形.
检测反馈
2．直角三角形两锐角的平分线所成的夹角的度数
为_____________.
解析:因为直角三角形的两个锐角互余，所以角平分线分得两个锐角之和为45°，则平分线相交成钝角为135°，锐角为45°.
135°或45°
点拨:设∠A为x，则5x=180，解得x=36，所以∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，因为CD⊥AB，所以∠ACD=90°-36°=54°，∠BCD=90°-72°=18°.
3.如图所示，在△ABC中，∠B=∠ACB=2∠A，CD⊥AB于D，求∠ACD和∠BCD的度数.
4.如图所示，从观测点C处看高山顶点A的仰视角为30°，走进一段距离后再在D处观测仰视角为45°，请你求出从A处观测
C、D两处视角∠CAD的度数.
解:过点A作AB⊥CD的延长线于点B，因为∠ACD=30°，所以∠CAB=60°，因为∠ADB=45°，所以∠DAB=45°，所以∠CAD=∠CAB-∠DAB=15°.
解析：过点A作AB⊥CD的延长线于点B，构造直角三角形，然后利用直角三角形中两个锐角互余求角∠CAB和∠DAB的度数，再利用角的差即可求出∠CAD.
B
必做题：
教材第14页练习第1、2题.
选做题:
教材第16页习题11.2第7题.
布置作业
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谢(共23张PPT)
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.3.2
多边形的内角和
问题1
你还记得三角形内角和是多少吗？
三角形内角和定理：三角形内角和是180°.
学
习
新
知
问题2
正方形、长方形的内角和是360°，那么任意一个四边形的内角和是否等于360°呢？能证明你的结论吗？
提醒
利用
添加辅助线的方法把四边形转化为三角形.
一、探究五、六边形内角和
将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角和的问题.
提示
类比前面的过程，你知道五边形的内角和是多少吗？六边形呢？十边形呢？你是怎么得到的呢？
小问题
从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割为三个三角形，得到五边形的内角和为
（5-2）×180°=540°.六边形的内角和为（6-2）×180°=720°.
提醒
从顶点或边或三角形内部等，分割多边形，进而得到多边形的内角和.
说明
(1)从顶点A可以画几条对角线？分别是哪几条？
(2)这样五边形被分成了几个三角形？
(3)五边形的内角和是多少度？
A
B
D
C
E
被分得三角形个数
六边形的内角和
探索六边形的内角和
A
B
C
D
E
F
4
4×180°
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成的三角形个数
1
2
…
多边形的内角和
180°
180°
×2
180°
×3
…
(n-2)180°
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
3
4
5
n-2
180°
×5
180°
×4
想一想：从表中你能发现什么？
二、探究多边形内角和计算公式
你知道n
边形的内角和吗？
小问题
推导出n
边形可以转化为（n-2）个三角形，发现和概括出边数与内角和之间的关系，归纳总结n边形的内角和公式，即(n-2)180°.
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
小活动
总结
解：作图如下，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
由多边形的内角和公式可知，四边形的内角和为360°，若两个角的和为180°，那么即可得到另两个角的和.
分析
所以∠B+∠D=180°，
所以说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例1
什么叫作三角形的外角？三角形的外角有几个？
思考
三、探究多边形的外角和
三角形的一边与另一边的反向延长线所成的角叫作三角形的外角．三角形有6个外角．
观察
米老鼠沿五边形广场顺时针方向跑了一圈。
思
考
(1)米老鼠由一条街道转到下一条街道时，身体转过的是哪个角？
(2)当米老鼠跑完一圈后，身体转过的角度之和是多少度？
在一个多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和．
问题
米老鼠身体转过的角度是五边形的外角，这五个角的和是五边形的外角和．你能给多边形的外角和下个定义吗？
（1）先求出三个外角与三个内角这六个角的和，为三个平角；
（2）再用三个平角减去三角形的内角和，剩下的就是三角形的外角和了．
问题
三角形的外角和是3600的解决思路？
四边形的外角和为多少度？
画任意四边形ABCD，在每个顶点处任取一个外角，如∠1,∠2，∠3，∠4．如何用四边形的内角和求出它的外角和？
问题
问题
推导过程
∵∠l+∠DAB=180o
，
∠2+∠ABC=180o，
∴∠1+∠2+∠3+4=4×180o-360o=360o.
又∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360o，
∠4+∠ADC=180o，
∠3+
∠BCD=180o
，
∴四边形的外角和为360o.
多边形
三角形
四边形
五边形
六边形
…
图形
…
外角和
(1)猜想多边形的外角和是多少度？
(2)你能证明这个结论吗？
归纳
任意多边形的外角和等于360o．
填表
1．多边形的内角和公式、外角和是计算多边形的角、边数的重要依据．在计算中注意方程思想的应用，尤其是计算边数时．
2．由内角和公式可以看出多边形每增加一条边，其内角和会增加180o．
3．在利用内角和公式（n-2）×180o。求边数时，先不要去括号,而把
（n-2）看成一个整体先求n-2的值，再求n的值．
4．如果多边形的每个角都相等，通常可从内角和、外角和及两者之间的互补关系等不同角度采用不同的方法求解．
5．正多边形镶嵌有三个限制条件：(1)边长相等；(2)顶点公共；(3)一个顶点处各正多边形的内角之和为360o.
十二
解析：因为多边形的外角和为360°，每个外角都等于30°，所以360÷30=12，所以这个多边形为十二边形.
1．一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边
形为________边形。
检测反馈
解析:可设该多边形为n边形，则135n=(n-2)180，
解得n=8，
所以这个多边形为八边形
八
2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为_______边形.
3.四边形ABCD
中，∠A+∠B=210°，∠C=4∠D，求∠C
和∠D
的度数.
答案：因为四边形的内角和为360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
因为∠A+∠B=210°，所以∠C+∠D=150°，
因为∠C=4∠D，所以4∠D+∠D=150°，
解得∠D=30°，∠C=120°.
必做题
教材第24页练习第1、2、3题.
选做题
教材第24页习题11.3第4、5、6题.
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.2.1
三角形的内角（1）
问题情景
在一个直角三角形里住着三个内角，平时三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”
老大说：“不行啊！这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”?老二很纳闷.
同学们，你们知道其中的道理吗？
学
习
新
知
一、三角形内角和定理的验证
1.量一量：一副三角板的每个角各是多少度?一副三角板三个内角的和各是多少?
小活动
2.猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相等吗？是多少度呢？
小思考
1.拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？
2.观察，小组内观察比较，会得出什么结论？
如果不实际移动角,那么你还有其它方法可以达到同样的效果吗?
你的拼法有哪些呢？说说你这样做的理由。
三角形的内角和是180°.
结论
讨论一下
观察比较，会得出什么结论？
二、三角形内角和定理的证明
思考
如果我们不用测量、剪拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
证明过程
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
证明1
过点A作DE∥BC，
E
D
C
B
A
∵DE∥BC
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2=180°，
即三角形的内角和为180°.
∠1
∠2
（两直线平行，内错角相等）
延长BC到CD，在△ABC的外部，
以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，
∵
∠1=∠A
∴
CE∥BA
(内错角相等，两直线平行)
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
1
E
D
C
B
A
注意:辅助线应该用虚线表示
证明2
延长BC到D，过C作CE∥BA，
∵
CE∥BA
∴
∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
1
E
D
C
B
A
证明3
）
A
）
E
1
2
B
C
D
图6
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
A
B
C
E
图1
E
A
B
C
D
F
图2
A
N
B
C
T
S
图3
P
Q
R
M
A
N
B
C
T
S
图4
P
Q
R
M
（
A
B
C
E
D
F
（
（
1
2
3
4
（
图5
提醒
辅助线的添加方法，证明思路为将三角形的三个角为180?转化为一个平角或同旁内角互补，利用平行线的性质进行证明.
知识拓展
解：因为AD平分∠BAC，∠BAC=40°，
所以∠DAB=20°，
因为∠B=75°，
所以∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°.
对于求某个角的度数，一般是分析这个角是哪一个三角形的内角，其他两个角是否已知度数或已知三角之间的数量关系，然后利用三角形的内角和进行求解.
解题策略
分析：根据角平分线的定义求出∠DAB，根据三角形的
内角和定理得到∠ADB=180°-∠DAB-∠B，代入求出即可.
在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△BAC的角平分线，求∠ADB的度数.
D
C
B
A
例1
如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°
方向，从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？
分析：A、B、C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB的度数.
例2
解答本题关键是明确方向角的定义，知道题目所给出的角的度数，再运用平行线的性质和三角形的内角和定理解答问题.
解题策略
解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=30°，
因为AD∥BE,
所以∠BAD+∠ABE=180°，
所以∠ABE=100°，∠ABC=60°，
所以∠ABE=100°，∠ABC=60°，
在△ABC中，∠ACB=90°.
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°.
2.三角形内角和的证明思路是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角，在转化过程中借助平行线。
3.三角形内角和定理的应用：（1）直接根据三角形中角的关系，用代数方法求三个角。
1．在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B的度数为（
）
A.
50°
B.
40°
C.
10°
D.
45°
解析：根据三角形内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°，因为∠A=80°，所以∠B+∠C=100°，因为∠B=∠C，所以∠B=50°.
A
检测反馈
2．已知，在△ABC中，∠A+∠B=∠C，那么△ABC的形状为（
）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.以上都不对
解析:根据三角形内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°，因为∠A+∠B=∠C，所以2∠C=180°，所以∠A=90°，所以△ABC为直角三角形.
A
3.在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求△ABC各内角的度数.
因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，
所以代入得：∠A+∠A+10°+∠A+10°+10°=180°，
即3∠A=150°，
所以∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°.
解析
必做题：
教材第13页练习第1、2题.
选做题：
教材第16页习题11.2第1、2题.
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.1.3
三角形的稳定性
问题情景
在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
学
习
新
知
一、三角形具有稳定性
四人分成一组，发给3张硬纸条，3枚图钉,分组合作探究实验:把3张纸条用钉子钉成一个三角形架。
小活动
小思考
1.扭动它，它的形状会改变吗？
2.这说明什么问题？
总结
如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小也就完全确定了，在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
想一想，在现实生活中，三角形的稳定性有哪些方面的应用呢？举例子说明.
思考
二、四边形不具有稳定性
再分发4张硬纸条，4枚图钉，把它们用钉子钉成一个四边形。
小活动1
思考
扭动这个四边形，看看它的形状会不会改变？
让不稳定的四边形变稳定，有哪些方法？试着画一画。
小活动2
稳定
稳定，但费材料
在四边形木架上最少再钉上一根木条，将它的一对顶点连接起来，它的形状就不会改变.
总结
用5根木棒，4枚图钉，把它们用钉子钉成一个五边形木架。
小活动3
小思考
1.看看它的形状会不会改变？
2.如果能改变的话，至少要用几根木棒能使它变稳定？
3.要是其它的多边形呢？有什么规律？
4.你能有什么发现吗？
四边形变成具有稳定性至少用一根木条，五边形至少用两根，六边形至少用三根，…n
边形至少用（n－3）根.
总结
三、四边形不稳定性的应用
讨论
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性，是不是就没有可用之处了呢？能不能就利用它这种不稳定性，为我们所用呢？想一想，现实生活中，有没有这方面的应用呢？
知识拓展
例题
小明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF（如图所示），为使这一钢架稳固，他计划用三根钢管连接使它不变形．你能帮助小明想办法来解决这个问题吗？
分析：把此六边形分割成几个小三角形即可．
解：如图所示都可以.
1.三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.
2.三角形的稳定性和四边形的不稳定性都有各自的应用.
1．下列图形中，哪个最具有稳定性？（
）
C
解析：只有三角形具有稳定性.
检测反馈
2．铁栅门和多功能衣架能够伸缩自如，是利用四
边形的
.
解析:铁栅门和多功能衣架是由四边形组成，四边形具有不稳定性。
不稳定性
3.要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上
根木条。
2
解析:n边形木棒要想不变形，必须添加（n－3）条木棒.
4.起重机的底座、人字架、输电线路支架等，在日常生产生活中，很多物体都采用三角形结构，是
利用三角形的
.
稳定性
解析：三角形具有稳定性。
必做题：
教材第7页练习.
选做题:
教材第8页习题11.1第5、8题。
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第十一章
三角形
学习新知
检测反馈
11.3.1
多边形
问题情景
观察图片，在图中能找出哪些多边形？
学
习
新
知
一、多边形的定义
1.观察下列图片，它们由哪些基本图形组成？
2.你能说出生活中的多边形吗？
问题1
问题2
总结
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．按组成多边形线段的条数分为三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由
条线段组成，这个多边形叫做
边形．
说
明
三角形中有三条线段，多边形中不止有三条线段，其定义中还加了一个条件：“在平面内”，这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一平面内，而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平面内，也有可能不在同一个平面内，而我们初中阶段主要探讨的是平面几何，所以应在前面加上条件：“
在平面内”。
①在同一平面内；
②若干条线段；
③首尾顺次连接；
④封闭图形。
多边形定义的几个要素
二、多边形的相关概念
你能结合图1指出这个多边形的内角和外角吗？
小问题
∠A、∠B、∠BCD、∠D、∠E、∠F
是六边形的内角，∠DCM
是六边形的一个外角.
提醒
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做对角线，如图2所示，CF为对角线，那么从六边形的一个顶点出发可以得到几条对角线？那么六边形一共有多少条对角线呢？
小问题
知识拓展
1.多边形的有关问题，都是将多边形转化为三角形问题来解决的，体现了转化的思想方法。
2.从多边形的一个顶点引对角线时，这个顶点和相邻的两个顶点不能引对角线，那么还剩下（n-3）个顶点，就能引出（n-3）条对角线，从而得出结论：从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线。
3.从一个顶点可以引出（n-3）条对角线，有n个顶点，共有n（n-3）条对角线，但每条对角线都重复两遍，所以n边
形对角线的条数为
。
你能说出下图中两个四边形的异同点吗？
思考
三、多边形的分类
图（1）中，画出四边形ABCD
的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；图（2）中，画出边CD
所在的直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.
总结
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形.
凹多边形：画出多边形的某一条边所在的直线，如果整个多边形不在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凹多边形.
四、认识正多边形
正方形的边长、角有什么特点，你能给正多边形下定义吗？
思考
总结
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
分析：正六边形的特点是有六个边，每条边相等.
解：因为正多边形的边长相等，
所以正六边形的六条边都相等，
所以每条边长为36÷6=6cm.
1.若一个正六边形的周长为36cm，请求出它的边长.
本题考查的是正多边形的性质，能够熟记正多边形的特征是解题关键.
解题策略
补充例题
解题策略
解：设多边形的边数为
n，
根据n边形过一个顶点有
（n-3）
条对角线，
所以
n-2=6，解得n=8，
它们把
n
边形分割成了
（n-2）
个三角形，
2.若一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，则这个多边形的边数有几条？
解答此类问题可以运用对角线计算过程进行分析，也可以画图形进行考虑，明确对角线是不相邻顶点之间的线段，所以n边形由一个顶点出发可作（n-3）条对角线，即可分出（n-2）个三角形.
所以这个多边形是八边形.
1.多边形的定义、内角、外角、对角线等概念，n边形对角线的计算公式：
；
2.
多边形的分类；
3.正多边形的定义及其性质.
D
解析：根据外角的定义可知，外角是多边形的一边延长线与另一边所成的夹角，选项A中∠1是两边延长线的夹角，选项B
中∠1的一边不是多边形一边的延长线，选项C
中∠1是多边形的内角.
1．在下列图形中，∠1是多边形外角的是（
）
检测反馈
解析:因为从n边形的一个顶点引对角线,最多可引(n-3)条，所以n-3=10，得n=13.
A
2．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（
）
A.十三边形
B.十二边形
C.十一边形
D.十边形
解析:因为从七边形的一个顶点出发会有4条对角线，共有7个顶点，所以共作28条对角线，由于重复，所以七边形共有14条对角线；或者利用公式求解.
D
3.七边形的对角线共有（
）
A.42条
B.28条
C.21条
D.14条
解析：根据三角形的稳定性进行判定，所以从五边形的一个顶点出发作对角线即可.
4.要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要钉（
）木条.
A
.
1根
B.2根
C.3根
D.4根
B
解析：根据规律可知，从n边形的一个顶点引对角线可分割为（n-2）个三角形，所以n-2=5，得n=7.
5.过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（
）
A.5
B.6
C.7
D.8
C
必做题:
教材第21页练习第1、2题.
选做题:
教材第24页习题11.3第1题.
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