22.1.4
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
一、基本目标
【知识与技能】
1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
2．能正确求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标．
3．掌握利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象．
【过程与方法】
经历由y＝a(x－h)2＋k的图象与性质求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质的探究过程，渗透类比法、配方法和数形结合的思想方法．
【情感态度与价值观】
通过解决实际问题，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．
【教学难点】
用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标和对称轴．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是__(h，k)__，对称轴是__x＝h__，当a__>0__时，开口向上，此时二次函数有最
__小__
值，当x__＞h__
时，y随x的增大而增大，当x____<0__时，开口向下，此时二次函数有最
__大__
值，当x__2．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝__a2＋__.因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线__x＝－__，顶点坐标是____.
3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看出：如果a>0，当x<－，y随x的增大而__减小__，当x>－，y随x的增大而__增大__；如果a<0，当x<－，y随x的增大而__增大__，当x>－，y随x的增大而__减小__.
4．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝－(x－2)2＋9__，对称轴是直线__x＝2__，顶点是__(2,9)__.
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】求二次函数y＝2x2－x－1的开口方向、对称轴及顶点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与性质是什么？
【解答】∵y＝2x2－x－1＝22－，
∴二次函数y＝2x2－x－1的开口向上，对称轴是直线x＝，顶点坐标为.
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝a2＋，其对称轴是x＝－，顶点是.
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．抛物线y＝－x2＋4x－7的开口方向__向下__，对称轴是直线__x＝2__
，顶点坐标是__(2，－3)__.当x＝__2__时，函数y有最__大__值，其值为__－3__.
2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第__四__象限．
3．已知二次函数y＝－x2－2x＋6.
(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？
解：(1)∵y＝－x2－2x＋6＝－(x2＋4x)＋6＝－[(x＋2)2－4]＋6＝－(x＋2)2＋8，∴顶点坐标为(－2,8)，对称轴为直线x＝－2.
(2)令y＝0得到－x2－2x＋6＝0，解得x＝－6或2，∴观察图象可知，－6＜x＜2时，y＞0，当x＞－2时，y随x的增大而减小．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
【互动探索】(引发学生思考)求解实际问题中的最值问题的关键是建立函数模型，此题中的函数解析式应该怎么建立？
【解答】设该直角三角形的一条直角边为x，面积是S，则另一直角边为8－x.
根据题意，得S＝x(8－x)(0＜x＜8)，
配方，得S＝－(x－4)2＋8.
∴当x＝4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决实际问题的关键是建立数学模型，建立数学模型的关键是找出题中的等量关系．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：
(1)开口方向：当a>0时，向上；当a<0时，向下；
(2)对称轴：直线x＝－；
(3)顶点坐标：；
(4)增减性：如果a>0，当x<－，y随x的增大而减小，当x>－，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<－，y随x的增大而增大，当x>－，y随x的增大而减小．
请完成本课时对应练习！第二十二章 二次函数
本章总共分三个模块的内容．模块一：二次函数的概念、图象和性质；模块二：二次函数与一元二次方程的联系；模块三：利用二次函数的图象和性质解决实际问题．
本章我们可以类比求正比例函数、一次函数的解析式的方法，即待定系数法来求二次函数的解析式．并根据描点法画出几个特殊函数的图象来分析、观察、研究二次函数的性质．构建二次函数模型来解决实际问题也是本章的一个重点．在中考中，二次函数是热点考查内容之一，主要考查二次函数的图象与性质及结合其他知识进行综合性考查．
【本章重点】
1.
二次函数的图象和性质．
2．利用二次函数的图象和性质解决实际问题．
【本章难点】
1．利用二次函数的图象和性质解决实际问题．
2．二次函数与其他知识的综合应用．
【本章思想方法】
1．体会和掌握类比的学习方法：类比一次函数来学习二次函数，注意与一次函数、一元二次方程、不等式的联系与相互转化．
2．体会数形结合的思想方法：由于二次函数(数)的图象是抛物线(形)，故二次函数与抛物线有内在联系，二次函数的性质由函数反映出来．反之，抛物线体现二次函数的性质，能直观、形象地反映问题．
3．体会数学模型思想：本章函数建模就是通过探索实际应用问题中的数量关系和变化规律，从中抽象二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题．
22.1 二次函数的图象和性质
7课时
22.2 二次函数与一元二次方程
1课时
22.3 实际问题与二次函数
1课时第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
一、基本目标
【知识与技能】
1．能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系．理解a、h对二次函数图象的影响．
2．能够正确说出y＝a(x－h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
【过程与方法】
1．通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y＝a(x－h)2的图象及其性质的认知．
2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力．
【情感态度与价值观】
经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
二、重难点目标
【教学重点】
1．理解y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象的关系，掌握a、h对二次函数y＝a(x－h)2图象的影响．
2．能够正确说出y＝a(x－h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【教学难点】
能够作出y＝a(x－h)2图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，掌握a、h对二次函数图象的影响．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P33～P35的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．对于函数y＝2(x－1)2
，当__x＜1__时，函数值y随x的增大而减小；当__x＞1__时，函数值y随x的增大而增大；当x＝__1__时，函数取得最__小__值，此时y＝__0__.
2．抛物线y＝－(x－2)2的开口方向__向下__，对称轴是__x＝2__，顶点坐标是__(2,0)__，可以看成是由抛物线y＝－x2向__右__平移__2__个单位而得到的．
3．抛物线y＝3(x＋2)2的开口方向__向上__，对称轴是__x＝－2__，顶点坐标是__(－2,0)__，可以看成是由抛物线y＝3x2向__左__平移__2__个单位而得到的．
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生对学)
【例1】顶点为(－2,0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为( )
A．y＝(x－2)2
B．y＝(x＋2)2
C．y＝－(x＋2)2
D．y＝－(x－2)2
【互动探索】(引发学生思考)抛物线的开口方向、形状是由什么决定的？
【分析】因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)，而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－.因为抛物线的顶点为(－2,0)，所以h＝2.所以y＝－(x＋2)2.故选C.
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
【例2】向左或向右平移函数y＝－x2的图象，能使得到的新图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝－x2的图象向左向右平移后得到的抛物线的解析式是什么？
【解答】能．理由如下：
设平移后的函数为y＝－(x＋h)2.
将x＝－9，y＝－8代入，得－8＝－(－9＋h)2，
所以h＝5或h＝13，
所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.
即抛物线的顶点为(－5,0)或(－13,0)，
所以应向左平移5或13个单位．
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2(a≠0)的图象向左(或右)平移h(h>0)个单位长度得到的图象的解析式为y＝a(x＋h)2或y＝a(x－h)2.
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( D )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
2．已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2,0)，且图象经过点(－4,2)，求a、h的值．
解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2,0)，∴h＝2.
又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4,2)，
∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝.
3．抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1,4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2.把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得a＝，∴平移后的二次函数关系式为y＝(x－3)2.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
【互动探索】(引发学生思考)怎样求A、B、C三个点的坐标呢？
【解答】由题意，得平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4,0)．
解方程组得或
∵点A在点B的左边，∴A(2,2)、B(8,8)(如图)，
∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．这个解就是两个函数图象的交点坐标．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
一、基本目标
【知识与技能】
1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质．
2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移规律．
3．能运用二次函数的知识解决简单的实际问题．
【过程与方法】
通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题．
【情感态度与价值观】
进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系．
二、重难点目标
【教学重点】
二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质．
【教学难点】
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之间的平移关系．
2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是__(－2，－4)__，当x__＜－2__时，函数值y随x的增大而增大．
2．若抛物线的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1,0)，则这条抛物线与x轴的另一个交点是__(－3,0)__.
3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当
__a>0__时，开口向上；当__a<0__时，开口向下；对称轴是直线__x＝h__；顶点坐标是__(h，k)__.
4．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝ax2的__形状__相同(因为a值相同)，而__位置__不同．将抛物线y＝ax2__上下__平移，可得到抛物线y＝ax2＋k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移－k个单位)，再将抛物线y＝ax2＋k__左右__平移后，可得到抛物线y＝a(x－h)2＋k(h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移)．
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生对学)
【例1】关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( )
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x＝1
C．图象有最低点
D．图象的顶点坐标为(－1,2)
【互动探索】(引发学生思考)二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴、最高(低)点、顶点坐标分别由什么决定？
【分析】∵－1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，故A、C错误．∵二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象的顶点是(－1,2)，∴对称轴是直线x＝－1，故B错误，D正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、最高(低)点由a决定；对称轴由h决定；顶点坐标由h、k共同决定．
【例2】已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，且图象过点(1，－3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴．
【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的顶点坐标，怎样求二次函数的解析式呢？
【解答】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，
∴可设此函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2.
把点(1，－3)代入解析式，得
a＝－.
故抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋2.
(2)由(1)的函数解析式可得此抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)已知二次函数的顶点，可以将二次函数的解析式设为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，再根据题目中的条件，利用待定系数法求出二次函数的解析式．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( A )
①抛物线的开口向下；
②对称轴是直线x＝－2；③图象不经过第一象限；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A．4
B．3
C．2
D．1
2．已知某二次函数y＝a(x－1)2－c的图象的如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
3．已某知二次函数的图象顶点坐标为(－4,3)，且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是
__y＝－(x＋4)2＋3__.
4．已知将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝－(x＋1)2＋3.
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．
解：(1)将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为y＝a(x－h＋2)2＋k＋4，则解得
(2)由(1)，得y＝a(x－h)2＋k＝－(x－1)2－1.故它的图象的开口方向向下；对称轴为直线x＝1；顶点坐标为(1，－1)．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8
m，宽为
2
m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6
m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)一辆货车高4
m，宽4
m，能否从该隧道内通过，为什么？
【互动探索】(引发学生思考)我们以前学会了构建一次函数模型解决实际问题，那么该怎样构建二次函数模型解决实际问题呢？
【解答】(1)设此抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点为(4,6)，
∴y＝a(x－4)2＋6.
∵它过点(0,2)，
∴a(0－4)2＋6＝2，解得a＝－，
∴此抛物线的解析式为y＝－(x－4)2＋6.
(2)当x＝2时，y＝5＞4，
∴该货车能通过隧道．
【互动总结】(学生总结，老师点评)用函数知识解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数(第1课时)
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．
2．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想．
【过程与方法】
经历与一次函数类比学习的过程，学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：类比法、合情推理、抽象概括等．
【情感态度与价值观】
通过对几个特殊的二次函数的讲解，体验数学中的探索精神，初步体会二次函数的数学模型．
二、重难点目标
【教学重点】
二次函数的概念．
【教学难点】
能根据已知条件写出二次函数的解析式．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P28～P29的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．正比例的函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为__y＝ax＋b__(a、b为常数，且a≠0)．
2．二次函数的概念：一般地，形如__y＝ax2＋bx＋c__(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为__a、b、c__.
3．下列函数中，是二次函数的有__①②③__.
①y＝(x－3)2－1；②y＝1－x2；③y＝(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.
4．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是___2____，常数项是___0____.
5．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为__y＝πx2＋2πRx(x≥0)__.
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】已知关于x的函数y＝(m＋1)xm2－m是二次函数，
求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的解析式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？
【解答】
由题意，得
解得m＝2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．
【例2】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元，求y与x之间的函数关系式．
【互动探索】(引发学生思考)解决实际应用问题的一般步骤是什么？本题中所隐含的等量关系是什么？
【解答】根据题意，得每个篮球的利润为50＋x－40＝10＋x；篮球的销售量为500－10x.
则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的解析式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数解析式．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是__S＝－2x2＋10x__.(不写定义域)
2．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解：根据题意，得
解得k＝1.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知关于x的二次函数，当x＝－1时，函数值为10，当x＝1时，函数值为4，当x＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)我们学过了一次函数以及一次函数解析式的求法——待定系数法，求二次函数的解析式用这种方法同样适用吗？
【解答】设所求的二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
根据题意，得
解得a＝2，b＝－3，c＝5.
故所求二次函数为y＝2x2－3x＋5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数的解析式与求一次函数的解析式的方法相同，都是待定系数法，二次函数有三个未知数，所以求二次函数的解析式需要三个方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次函数
请完成本课时对应练习！第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式
一、基本目标
【知识与技能】
1．能用待定系数法求二次函数的解析式．
2．能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．
【过程与方法】
经历待定系数法求二次函数解析式的探究过程，体会数学建模的思想．
【情感态度与价值观】
通过探索和总结，让学生体会到学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．
二、重难点目标
【教学重点】
用待定系数法求二次函数的解析式的具体步骤．
【教学难点】
根据已知条件选取适当的方法求二次函数的解析式．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P39～P40的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定__一次__函数，即可以求出这个__一次函数__的解析式．
2．已知二次函数y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2的图象过点(0,5)，求m的值，并写出这个二次函数的解析式．
解：把(0,5)代入y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2，得m＋2＝5，解得m＝3.所以该二次函数的解析式为y＝x2＋6x＋5.
3．用待定系数法求二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，需要求出a、b、c的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的__坐标__)列出关于a、b、c的__方程组__，求出a、b、c的值，就可以写出二次函数的解析式．
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】已知抛物线的顶点为(1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求抛物线的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？
【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－3.
∵抛物线与y轴交于点(0，－5)，
∴－5＝a(0－1)2－3，解得a＝－2.
∴抛物线的解析式为y＝－2(x－1)2－3，即y＝－2x2＋4x－5
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知二次函数顶点坐标(h，k)及过其另一点，通常设二次函数的顶点式，即y＝a(x－h)2＋k.
【例2】抛物线经过点(－1,0)，(5,0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x轴的两个交点坐标及过其另一点的坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？
【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．
将(3，－4)代入，得－4＝－8a，解得a＝.
则该抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－5)，
即y＝x2－2x－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x轴的两个交点分别为(x1,0)，(x2,0)时，可选择设其解析式为交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．求此抛物线的表达式．
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋5.将A(1,3)代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋5.
2．已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)、B(1,0)、C(m,2m＋3)、D(－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.把A(0，－3)、B(1,0)、D(－1，－2)代入，得解得∴该函数的解析式为y＝2x2＋x－3.把C(m,2m＋3)代入，得2m2＋m－3＝2m＋3，解得m1＝－，m2＝2，∴点C的坐标为或.
3．已知二次函数的图象经过点(0,3)，(－3,0)，(2，－5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(－2,3)是否在这个二次函数的图象上．
解：(1)设此二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.将(0,3)，(－3,0)，(2，－5)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴该函数的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2,3)在此二次函数的图象上．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为(2,1)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)求二次函数表达式的一般方法是什么？判断一个点是否在函数图象上的一般方法是什么？
【解答】(1)设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋.∵图象过A(2,1)，∴a＋＝1，即a＝，∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2＋.(2)点B在这个函数图象上．理由如下：如图，过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D.在△AOC与△OBD中，∠AOC＝∠OBD＝90°－∠BOD，∠ACO＝∠ODB＝90°，OA＝OB，∴△AOC≌△OBD，∴DO＝AC＝1，BD＝OC＝2，∴B(－1,2)．当x＝－1时，y＝(－1－1)2＋＝2，∴点B在这个函数图象上．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个点是否在函数图象上，只需要将点的坐标代入函数解析式，看点的坐标是否满足解析式，若满足，则点在函数图象上；若不满足，则点不在函数图象上．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中，a≠0，x1、x2分别是抛物线与x轴的交点横坐标)：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．
请完成本课时对应练习！22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质(第2课时)
一、基本目标
【知识与技能】
1．能够用描点法作出函数y＝ax2的图象．
2．认识和理解y＝ax2的性质．
【过程与方法】
经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法．
【情感态度与价值观】
在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．
二、重难点目标
【教学重点】
1．掌握函数y＝ax2的图象的画法．
2．理解函数y＝ax2的图象与性质．
【教学难点】
用描点的方法准确地画出函数y＝ax2的图象，掌握其性质特征．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P29～P32的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．用描点法画函数图象的一般步骤：__列表__、__描点__、__连线__.
2．抛物线y＝x2中的开口方向是__向上__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__.抛物线y＝－x2的开口方向是__向下__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__.
3．一般地，当a>0，时，抛物线y＝ax2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点是__原点__，顶点是抛物线的最__低__点，a越大，抛物线的开口越__小__；当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点是__原点__，顶点是抛物线的最__高__点，a越小，抛物线的开口越__小__.
4．对于二次函数y＝ax2的图象：如果a>0，当x<0，时，y随x的增大而__减小__，当x>0，时，y随x的增大而__增大__；如果a<0，当x<0，时，y随x的增大而__增大__，当x>0，时，y随x的增大而__减小__.
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生对学)
【例1】下图是甲、乙、丙三人画的二次函数y＝2x2的图象．请你帮助修改．
甲 乙 丙
【互动探索】(引发学生思考)画二次函数y＝ax2的图象应注意些什么问题？
【解答】图甲：有两个错误的地方：①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连结；②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止．
图乙：有一个错误，有一个点(1，－2)的位置画错(或表格中对应值算错)．
图丙：错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性．
二次函数y＝2x2的图象如下所示：
【互动总结】(学生总结，老师点评)画二次函数的图象时应注意的问题：(1)在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形；(2)抛物线是向两个方向无限延伸的，左右两边必须保持关于对称轴对称；(3)用描点法画出的图象只是二次函数的图象的一部分，且是近似的．
【例2】已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；此时当x为何值时，y随x的增大而增大？
【互动探索】(引发学生思考)二次函数必须满足什么条件？二次函数
y＝ax2的性质有哪些？这些性质与a有什么关系？
【解答】(1)由题意，得
解得
∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，
∴m＋2>0，即m>－2，
∴只能取m＝2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0,0)，
∴当x>0时，y随x的增大而增大．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2.(2)二次函数y＝ax2的性质：当a＞0时，开口向上，x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；函数的最小值为0；顶点坐标为(0,0)．当a＜0时，开口向下；当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；函数的最大值为0；顶点坐标为(0,0)．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )
A B C
D
2．函数y＝(－x)2的图象是__抛物线__，顶点坐标是__(0,0)__，对称轴是__y轴__，开口方向是__向上__.
3．已知函数y＝ax2经过点(－1,3)．
(1)求a的值；
(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况是什么？
解：(1)把点(－1,3)代入y＝ax2，得a＝3.
(2)因为3＞0，所以当x<0时，y的值随x值的增大而减少．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－3交于点(1，b)．
(1)求a、b的值；
(2)x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
【互动探索】(引发学生思考)抛物线与直线的交点有什么性质？二次函数的增减性与什么有关？
【解答】(1)把(1，b)代入y＝x－3可得，b＝1－3＝－2，
∴点的坐标为(1，－2)．
把(1，－2)代入y＝ax2，得－2＝a，即a＝－2.
∴a＝－2，b＝－2.
(2)由(1)可得，y＝－2x2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
【互动总结】(学生总结，老师点评)抛物线与直线的交点即为同时满足抛物线方程、直线方程的点，将这个点的坐标代入抛物线方程、直线方程均成立．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
一、基本目标
【知识与技能】
1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象，并通过图象认识其性质．
2．理解a、k对二次函数图象的影响，能正确说出两次函数y＝ax2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【过程与方法】
经历类比y＝ax2的图象与性质学习y＝ax2＋k的图象与性质的过程，理解类比的学习方法的重要性．
【情感态度与价值观】
经历类比学习的过程，获得成功的体验，进一步体会二次函数的数学模型．
二、重难点目标
【教学重点】
1．会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象．
2．理解二次函数y＝ax2＋k的性质．
3．理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的关系．
【教学难点】
1．正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质．
2．理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P32～P33的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．(1)把抛物线y＝2x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝2x2＋1.
(2)把抛物线y＝2x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝2x2－1.同理，把抛物线y＝－2x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝－2x2＋1.
(3)函数y＝－x2＋1，当__x_＞0__时，
y随x的增大而减小；当__x＝0__时，函数y有最大值，最大值y是__1__
，其图象与y轴的交点坐标是__(0,1)__，与x轴的交点坐标是__(1,0)，(－1,0)__.
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
解：二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同；顶点坐标不相同，二次函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标为(0,1)，二次函数y＝2x2的图象的顶点坐标为(0,0)．
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】已知二次函数y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，求a的值．
【互动探索】(引发学生思考)二次函数的最高点为(0,2)，那么它的二次项系数、常数分别应该满足什么条件？
【解答】∵二次函数y＝(a－2)x2＋a2－2的最高点为(0,2)，
∴解得a＝－2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)若二次函数y＝ax2＋k的图象有最高点，则a＜0；最高点的纵坐标为k，即最高的坐标为(0，k)．
【例2】已知抛物线y＝ax2＋k向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－3x2＋2，试求a、k的值．
【互动探索】(引发学生思考)两个抛物线通过平移能够互相得到，那么这两个抛物线的解析式有怎么的关系？抛物线的平移规律是怎样的？
【解答】根据题意，得
解得
【互动总结】(学生总结，老师点评)两个抛物线通过平移能够互相得到，那么这两个抛物线的解析式中的二次项系数相等．抛物线y＝ax2＋k向下平移n个单位(n＞0)得到的抛物线为y＝ax2＋k－n.
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．若二次函数y1＝a1x2－1与二次函数y2＝a2x2＋3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为( A )
A．a1＝a2
B．a1＝－a2
C．a1＝±a2
D．无法判断
2．将二次函数y＝－2x2－1的图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为( A )
A．(0，－6)
B．(0,4)
C．(5，－1)
D．(－2，－6)
3．求符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：
(1)通过点(－3,2)；
(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反．
解：(1)∵抛物线y＝ax2－1通过点(－3,2)，∴2＝9a－1，解得a＝.故解析式为y＝x2－1.
(2)由题意易得解析式为y＝－x2－1.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( )
A．a＋c
B．a－c
C．－c
D．c
【互动探索】(引发学生思考)分析二次函数y＝a
x2＋c的图象与性质．
【分析】二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称．∵当x取x1、x2(x1≠x2，x1、x2分别是A、B两点的横坐标)时，函数值相等，∴x1＋x2＝0.由于当x＝0时，函数值为c，故选项D正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y＝ax2＋c的图象关于y轴对称，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，那么x1与x2互为相反数．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！22.2 二次函数与一元二次方程
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解二次函数与一元二次方程的关系．
2．会判断抛物线与x轴的交点个数．
3．掌握方程与函数间的转化．
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【过程与方法】
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，进一步体会数形结合思想．
【情感态度与价值观】
通过对小球飞行问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情．
二、重难点目标
【教学重点】
二次函数与一元二次方程的关系．
【教学难点】
用图象法求解一元二次方程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P43～P46的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
(1)方程x2＋x－2＝0的根是__x1＝－2，x2＝1__；
(2)方程x2－6x＋9＝0的根是__x1＝x2＝3__；
(3)方程x2－x＋1＝0的根是__无实根__.
2．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是__没有交点__.
3．一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：
(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝__x0___时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个__根__；
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：__没有__实数根，有两个__相等__的实数根，有两个__不等__的实数根．
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】求二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)怎样求二次函数与x轴的交点坐标？二次函数与一元二次方程有什么关系？
【解答】令－(x－2)2＋1＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
∴二次函数y＝－(x－2)2＋1与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标．
【例2】小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝－3.4，求方程的另一个近似根(精确到0.1)．
【互动探索】(引发学生思考)求一元二次方程的另一个近似根，如何将要求的这个根与已知的图象信息联系起来？
【解答】∵抛物线与x轴的一个交点为(－3.4,0)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴另一个交点坐标为(1.4,0)，则方程的另一个近似根为1.4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的另一个近似根，可以根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，即可得到方程的另一个近似根．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝__－3__
，x2＝
__1__.
2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，求c的取值范围．
解：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交点，∴x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，即b2－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.
3．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过点(1，－1)，∴当y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1.∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知二次函数y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中a是常数．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数的图象与x轴一定有公共点；
(2)当a＝4时，该二次函数的图象顶点为A，与x轴交于B、D两点，与y轴交于C点，求四边形ABCD的面积．
【互动探索】(引发学生思考)要证明二次函数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？求四边形ABCD的面积，需要确定四边形的底和高，如何确定四边形的底和高？
【解答】(1)证明：y＝x2－(a－1)x＋a－2.
∵Δ＝[－(a－1)]2－4(a－2)＝(a－3)2≥0，
∴方程x2－(a－1)x＋a－2＝0有实数根，
∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
(2)由题可知，当a＝4时，y＝x2－3x＋2.
∵y＝x2－3x＋2＝2－，
∴A.
当y＝0时，x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
∴B(1,0)、D(2,0)．
当x＝0时，y＝2，
∴C(0,2)．
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．
2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0,0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
3．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
b2－4ac的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac<0
请完成本课时对应练习！22.3 实际问题与二次函数
一、基本目标
【知识与技能】
1．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求解实际问题．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实物抛物线问题．
【过程与方法】
在运用二次函数知识解决实际问题的过程中体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学的应用价值和数学转化思想．
【情感态度与价值观】
会运用二次函数的知识解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
利用二次函数解决实际问题的步骤．
【教学难点】
读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
环节1 自学提纲，生成问题
【5
min阅读】
阅读教材P49～P51的内容，完成下面练习．
【3
min反馈】
1．用配方法求最值：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)＝__a2__＋____；当a＞0时，二次函数有__最小__值，即当x＝－时，y最小值＝__；__当a＜0时，二次函数有__最大__值，即当x＝－时，y最大值＝____.
2．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x(x＞0)，十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是
__y＝10(x＋1)2__.
3．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y＝－x2＋3，一辆车高2.6
m，宽4
m，该车
__不能__(填“能”或“不能”)通过该隧道．
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15
m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01
m)？此时，窗户的面积是多少？
【互动探索】(引发学生思考)解决此类题的关键是将实际问题转化为数学问题，其中“窗户通过的光线最多”应转化为求什么？
【解答】由题意可知，4y＋×2πx＋7x＝15.
化简，得y＝.
设窗户的面积为S
m2，则S＝πx2＋2x×＝－3.5x2＋7.5x.
∵a＝－3.5<0，∴S有最大值．
∴当x＝－＝≈1.07
m时，
S最大＝＝≈4.02(m2)．
即当x≈1.07
m时，窗户通过的光线最多．
此时，窗户的面积是4.02
m2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题较复杂，特别要注意：中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．
【例2】某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
【互动探索】(引发学生思考)利用二次函数解决实际问题的一般步骤是什么？其关键点是什么？
【解答】(1)根据题意，得y＝(70－x－50)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000.
∵70－x－50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20.
(2)∵y＝－20x2＋100x＋6000＝－202＋6125，
∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125.即当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．
【互动总结】(学生总结，老师点评)用二次函数解决实际问题的步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，分析它们之间的关系；(3)设适当的未知数，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；(4)根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解；(5)检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2
m，水面宽4
m．如图2建立平面直角坐标系，求抛物线的关系式．
图1 图2
解：由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2.由题意可知，且抛物线过点(2，－2)，∴－2＝a×22，解得a＝－0.5.即抛物线的关系式为y＝－0.5x2.
2．已知：如图，用长为18
m的篱笆(3AB＋BC)，围成矩形花圃．一面利用墙(墙足够长)，求围成的矩形花圃ABCD的最大占地面积．
解：设AB＝x
m，则BC＝(18－3x)
m，则围成的矩形花圃ABCD的面积为S＝x(18－3x)＝－3x2＋18x＝－3(x2－6x)＝－3(x－3)2＋27，即围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为27
m2.
3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
解：(1)由题意得y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27
500，即y＝－5x2＋800x－27
500(50≤x≤100)．
(2)y＝－5x2＋800x－27
500＝－5(x－80)2＋4500.∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500.
(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90.∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如表所示，网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如图所示.
时间t(天)
0
5
10
15
20
25
30
日销售量y1(百件)
0
25
40
45
40
25
0
(1)请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
(2)求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件)，求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
【互动探索】(引发学生思考)要求二次函数解析式，如何用待定系数法来求解？要求日销售总量y的最大值，如何根据二次函数的性质确定最大值？
【解答】(1)根据观察可设y1＝at2＋bt＋c.
将(0,0)，(5,25)，(10,40)代入，得解得∴y1与t的函数关系式为y1＝－t2＋6t(0≤t≤30，且为整数)．
(2)当0≤t≤10时，设y2＝kt.
∵(10,40)在其图象上，∴10k＝40，∴k＝4，
∴y2与t的函数关系式为y2＝4t；
当10≤t≤30时，设y2＝mt＋n.
将(10,40)，(30,60)代入，得
解得
∴y2与t的函数关系式为y2＝t＋30.
综上所述，y2＝
(3)依题意，得y＝y1＋y2.
当0≤t≤10时，y＝－t2＋6t＋4t＝－t2＋10t＝－(t－25)2＋125，
∴t＝10时，y最大＝80；当10＜t≤30时，y＝－t2＋6t＋t＋30＝－t2＋7t＋30＝－2＋.
∵t为整数，∴t＝17或18时，y最大＝91.2.
∵91.2＞80，∴当t＝17或18时，y最大＝91.2(百件)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在运动变化中，随着自变量取值的变化，函数关系有时会发生变化，在这种情况下，需要对自变量的取值范围进行分段(或分类)讨论．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
