人教版九年级数学下册 28.2.2 应用举例 第二课时 方向角和坡角在解直角三角形中的应用课件（26张ppt）

(共26张PPT)
28
28.2.2
应用举例
第2课时
方位角和坡角在解直角三角形中的应用
锐角三角函数
学习目标
1.了解“方位角”航海术语，并能根据题意画出示意图．
2.利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用.
导入新课
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、
北偏东65度、南偏东34度
方向的射线.
北
南
西
东
西北
北偏东65度
东南
南偏东34度
合作探究
探究点一
方位角问题
合作探究
例
5
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65度方向，
距离灯塔80海里的A处，
它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34
度方向上的B处.
这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
合作探究
解：
如图
，在Rt△APC
中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
=80×0.91
≈72.505
.
在Rt△BPC
中，∠B＝34°,
合作探究
当海轮到达位于灯塔P
的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P
大约130海里．
合作探究
小组讨论
1
通过对上面例题的学习，
你对方位角问题的解答有何感想？
进而请你归纳利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程．
合作探究
反思小结
方位角是一种表示方向的角，在航海、测绘等位置确定中非常重要．
解决方位角问题，首先明确概念，通过添加辅助线，
把具体问题抽象成直角三角形模型，
利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解题．
合作探究
反思小结
2.利用解直角三角形的知识解决问题的一般过程：
（1）将实际问题抽象为数学问题
（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
合作探究
针对训练
1.
如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，
距离灯塔
海里的A处，
它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P
的南偏东
方向上的B处，
则海轮行驶的路程
AB为多少海里（结果保留根号）？
合作探究
解：
在Rt△APC中，
∵
AP=40
，∠APC=45°
∴
AC=PC=40
在Rt△BPC中，
∵
∠PBC=30°，∴
∠BPC=60°
∴
BC=PC
·
tan60°=40×
=40
∴
AB=AC+BC=40+40
（海里）
答：
海轮行驶的路程
AB为
(40+40
)
海里.
合作探究
探究点二
化整为零，积零为整，
化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
合作探究
解直角三角形有广泛的应用，
解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，
例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h
时，
只要测出仰角a
和大坝的坡面长度l，
就能算出h=lsina，
合作探究
但是，当我们要测量如图所示的山高h
时，问题就不那么简单了，
这是由于不能很方便地得到仰角a
和山坡长度l.
合作探究
坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，
怎样解决这样的问题呢？
与测坝高相比，测山高的困难在于：
合作探究
我们设法“化曲为直，以直代曲”．
我们可以把山坡“化整为零”地
划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一
小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
合作探究
在每小段上，我们都构造出直角三角形，
利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,
然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，
于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”
“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，
它在数学中有重要地位，在今后的学习中，
你会更多地了解这方面的内容．
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为__________）;
（2）根据条件特点，适当选用___________等去解直角三角形;
（3）得到数学问题的答案;
（4）得到___________的答案.
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
几何图形
三角函数
实际问题
巩固拓展
1.如下图，在一次数学课外活动中，
测得电线杆底部B与钢缆固定点O
的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60?，
则这条钢缆在电线杆上的固定点A
到地面的距离AB
是多少米．
（结果保留根号）．
巩固拓展
解：
在Rt△ABO中，
∵
tan∠BOA=
=tan60°=
∴
AB=BO?
tan60°=4
×
=4
（米）
答：这条钢缆在电线杆上的固定点
A到地面的距离AB是4
米。
巩固拓展
3.
如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，
在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，
又测得海岛A位于北偏东30°，
如果渔船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
解：
如图，过A作AD⊥BC于点C，则AD的长是A到BC的最短距离.
巩固拓展
解：
由勾股定理得
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
∵
∠CAC=30°，∠DAB=60°，
∴
∠BAC=60°-30°=30°，∠ABC=90°-60°=30°，
∴
∠ABC=∠BAC，∴
BC=AC=12（海里），
∵
∠CAC=30°，∠ACC=90°，
∴
CD=
AC=6（海里），
巩固拓展
请根据题中所提供的信息计算、分析一下，
工程继续进行下去，是否会穿过学校？
4.如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A点出发沿正西方向进行的，
在A点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C处，
此时B在C的南偏西30°的方向上，
巩固拓展
解：
过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，
FC⊥CA于点C，
由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°
∴
∠CAB=30°，
∴
∠DCB=60°，∴
∠DBC=30°，
∴
∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°，
∴
∠CAB=∠CBA，∴
AC=CB=200m，
巩固拓展
解：
∴
在Rt△BCD中，BD=BC?sin60°
=200×
（m）
=100
∵
学校是以B为中心方圆100m的圆形，
∵
100
＞100
∴
工程若继续进行下去不会穿越学校．