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A11．1 算法的概念
1.通过实例了解算法的含义． 2.理解算法的思想． 3.掌握算法的特点．
1．数学中的算法
在数学中，算法通常是指由有限多个步骤组成的，求解某一类问题的通用的方法．对于该类问题中的每个给定的具体问题，机械地执行这些步骤就可以得到问题的解答．
2．算法的特点
(1)确定性；(2)有效性；(3)有限性．
3．更相减损术
用较大数减去较小数后的差替换较大数，反复进行，直到两数相等为止．这个相等的数就是这两个数的最大公约数．
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)算法就是某个问题的解决过程．( )
(2)算法执行后可以不产生确定的结果．( )
(3)解决某类问题的算法是唯一的．( )
解析：算法是某一类问题的解决步骤，不是某个问题的解决过程，它的每一步是确定的，产生的结果也是确定的．
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是( )
A．在家里一般是妈妈做饭
B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
C．在野外做饭叫野炊
D．做饭必须要有米
答案：B
3．用更相减损术求得375和85的最大公约数是________．
解析：375－85＝290，
290－85＝205，
205－85＝120，
120－85＝35，85－35＝50，
50－35＝15，
35－15＝20，
20－15＝5，
15－5＝10，
10－5＝5.
所以375和85的最大公约数为5.
答案：5
算法的概念[学生用书P1]
下列对算法的理解不正确的是( )
A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的
B．算法中的每一步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的
C．算法中的每一步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果
D．一个问题只能设计出一种算法
【解析】 算法的有限性是指包含的步骤是有限的，故A正确；算法的确定性是指每一步都是确定的，故B正确；算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果，故C正确；对于同一个问题可以有不同的算法，故D错误．
【答案】 D
理解算法的关键点
(1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决这一问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
1.计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )
①S＝2＋4＋6＋…＋1
000；
②S＝2＋4＋6＋…＋1
000＋…；
③S＝2＋4＋6＋…＋2n(n≥1，n∈N)．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：选B.由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果.
算法的设计[学生用书P2]
写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
【解】 法一：S1：移项得x2－2x＝3；①
S2：①式两边同时加1，
并配方得(x－1)2＝4；②
S3：②式两边开方，得x－1＝±2；③
S4：解③得x1＝3，x2＝－1.
法二：S1：计算方程的根的判别式并判断其符号，
显然Δ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0；
S2：将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式：
x1，2＝，得x1＝3，x2＝－1.
设计一个具体算法的步骤
(1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法．
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．
(4)用简单的语言将步骤表示出来．
[注意] 设计的算法要能重复使用．
2.写出一个算法，求经过点M(－2，－1)，N(2，3)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解：算法步骤如下：
S1：取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3；
S2：得直线方程＝；
S3：在S2所得的方程中，令x＝0，得y的值为1，从而得直线与y轴的交点为B(0，1)；
S4：在S2所得的方程中，令y＝0，得x的值为－1，从而得直线与x轴的交点为A(－1，0)；
S5：根据三角形的面积公式得S＝×|1|×|－1|＝；
S6：输出运算结果．
算法的应用[学生用书P2]
已知函数y＝，试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
【解】 算法如下：
S1：输入x的值；
S2：当x≤－1时，计算y＝2x－1，
否则执行S3；
S3：当x<2时，
计算y＝log2(x＋1)，
否则执行S4；
S4：计算y＝x2；
S5：输出y.
输入自变量的值，设计算法求对应的函数值时，如果是分段函数，那么在设计算法时，要对输入的自变量的值根据已知条件去判断，分类求值．
3.已知函数y＝试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
解：算法如下：
S1：输入x的值；
S2：当x≤－1时，
计算y＝－x2－1，否则执行S3；
S3：计算y＝x3；
S4：输出y.
利用“更相减损术”求最大公约数[学生用书P3]
用更相减损术求154与242的最大公约数．
【解】 154÷2＝77，242÷2＝121.
下面用更相减损术求77与121的最大公约数．
121－77＝44，
77－44＝33，
44－33＝11，
33－11＝22，
22－11＝11.
故77与121的最大公约数为11，
则154与242的最大公约数为11×2＝22.
更相减损术的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n(m>n且m，n不全是偶数)．
第二步，计算m－n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．
第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
4.用更相减损术求840和1
764的最大公约数．
解：1
764－840＝924，
924－840＝84，
840－84＝756，
756－84＝672，
672－84＝588，
588－84＝504，
504－84＝420，
420－84＝336，
336－84＝252，
252－84＝168，
168－84＝84，
所以1
764和840的最大公约数为84.
1．算法的表述
算法的表述可以有不同的方式．例如，可以用自然语言和数学语言加以论述，也可以用算法语言给出精确的说明等．
2．设计一个具体问题的算法的常用步骤
(1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
(1)求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可能有不同的算法．
(2)对于非数值性问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法．在写算法时应简练、清析地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现出思维的严密性和完善性．
1．下列不是算法的是( )
A．解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1
B．从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机
C．解方程2x2＋x－1＝0
D．利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积就是计算π×32
解析：选C.由算法的概念知，C不是算法，而A、B、D都解决了一类问题，故为算法．
2．459和357的最大公约数是( )
A．3
B．9
C．17
D．51
解析：选D.459－357＝102，
357－102＝255，
255－102＝153，
153－102＝51，
102－51＝51，
所以459和357的最大公约数为51.
3．已知一位学生的语文成绩为89，数学成绩为96，英语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：
S1：取A＝89，B＝96，C＝99；
S2：________________；
S3：________________；
S4：输出计算结果．
解析：S2为计算总分；S3为计算平均成绩．
答案：计算总分D＝A＋B＋C 计算平均成绩E＝
4．已知A(－1，0)，B(3，2)，下面是求直线AB的方程的一个算法，请将其补充完整：
S1：________________________________________________；
S2：用点斜式写出直线AB的方程y－0＝[x－(－1)]；
S3：将第二步的方程化简，得到方程x－2y＋1＝0.
解析：点斜式是由定点和斜率两个条件求的方程，由两点可以求斜率．
答案：求出直线AB的斜率k＝＝
5．写出求二次函数y＝－2x2＋4x＋1的最大值的算法．
解：算法如下：
S1：计算m＝＝＝3；
S2：判断a＝－2<0，故ymax＝3；
S3：输出二次函数的最大值3.
[A 基础达标]
1．下列能称为算法的是( )
A．吃饭
B．做饭
C．刷碗
D．先买菜，再做饭，然后吃饭，最后刷碗
解析：选D.D项是完成一件事的步骤，所以是算法．A，B，C项均不符合算法的定义．
2．下列不能看成算法的是( )
A．洗衣机的使用说明书
B．烹制油焖大虾的菜谱
C．某人从济南市乘汽车到北京，再从北京坐飞机到纽约
D．李明不会做饭
解析：选D.由算法的概念可知，A、B、C均为算法，D不是算法．
3．下列所给问题中，不能设计一个算法求解的是( )
A．用二分法求方程x2－3＝0的近似解(精确度0.01)
B．解方程组
C．求半径为2的球的体积
D．求S＝1＋2＋3＋…的值
解析：选D.对于D，S＝1＋2＋3＋…，不知道需要多少步完成，所以不能设计一个算法求解．
4．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正确步骤是( )
①配方得(x－2)2＝1；②移项得x2－4x＝－3；③解得x＝1或x＝3；④开方得x－2＝±1.
A．①②③④
B．②①④③
C．②③④①
D．④③②①
解析：选B.使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．
5．对于一般的二元一次方程组在写求此方程组解的算法时，需要我们注意的是( )
A．a1≠0
B．a2≠0
C．a1b2－a2b1≠0
D．a1b1－a2b2≠0
解析：选C.若a1b2－a2b1＝0，则方程组无解或有无数组解．
6．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r解析：333＝24×13＋21，
所以q＝13，r＝21.
答案：13，21
7．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是：
S1：求1×3得结果3；
S2：将S1所得结果3乘以5，得到结果15；
S3：__________________________________；
S4：再将S3所得结果105乘以9，得到结果945；
S5：再将S4所得结果945乘以11，得到结果10
395，即为最后结果．
解析：依据算法功能可知，S3应为“再将S2所得结果15乘以7，得到结果105”．
答案：再将S2所得结果15乘以7，得到结果105
8．下面给出一个问题的算法：
S1：输入a；
S2：若a≥4，则执行S3；否则，执行S4；
S3：输出2a－1；
S4：输出a2－2a＋3.
则这个算法解决的问题是________，当输入的a＝________时，输出的数值最小．
解析：这个算法解决的问题是求分段函数
f(x)＝的函数值的问题．
当x≥4时，
f(x)＝2x－1≥7；
当x<4时，
f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.
所以f(x)min＝2，此时x＝1.
所以当输入的a的值为1时，输出的数值最小．
答案：求分段函数f(x)＝的函数值 1
9．已知某梯形的底边长AB＝a，CD＝b，高为h，写出一个求这个梯形面积S的算法．
解：算法如下：
S1：输入梯形的底边长a和b，以及高h；
S2：计算a＋b的值；
S3：计算(a＋b)×h的值；
S4：计算S＝的值；
S5：输出结果S.
10．已知函数y＝写出给定自变量x，求函数值的算法．
解：算法如下：
S1：输入x；
S2：若x>0，则令y＝－x＋1后执行S5，否则执行S3；
S3：若x＝0，则令y＝0后执行S5，否则执行S4；
S4：令y＝x＋1；
S5：输出y的值．
[B 能力提升]
11．对于解方程x2－2x－3＝0的下列步骤：
①设f(x)＝x2－2x－3；
②计算方程的判别式Δ＝(－2)2＋4×3＝16>0；
③作f(x)的图象；
④将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式
x＝，得x1＝3，x2＝－1.
其中可作为解方程的算法的有效步骤为( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
解析：选C.解一元二次方程可分为两步：确定判别式和代入求根公式，故②④是有效的，①③不起作用．
12．下列所给问题中：
①解方程组；
②求半径为2的球的体积；
③判断y＝x2在R上具有单调性．
其中可以设计一个算法求解的是________(填上你认为正确的序号)．
解析：③中的函数y＝x2是偶函数，故该函数在定义域R上不是单调函数，并不具备单调性，因此不能设计算法．
答案：①②
13．给出解方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为实数)的一个算法．
解：算法步骤如下：
S1：当a＝0，b＝0，c＝0时，解为全体实数；
S2：当a＝0，b＝0，c≠0时，原方程无实数解；
S3：当a＝0，b≠0时，原方程的解为x＝－；
S4：当a≠0且b2－4ac>0时，方程有两个不等实根
x1＝，x2＝；
S5：当a≠0且b2－4ac＝0时，方程有两个相等实根x1＝x2＝－；
S6：当a≠0且b2－4ac<0时，方程没有实数根．
14.(选做题)从古印度的汉诺塔传说中演变了一个汉诺塔游戏：
(1)有三根杆子A，B，C，A杆上有三个碟子(大小不等，自上到下，由小到大)，如图；
(2)每次移动一个碟子，小的只能叠在大的上面；
(3)把所有碟子从A杆移到C杆上．
试设计一个算法，完成上述游戏．
解：S1：将A杆最上面碟子移到C杆；
S2：将A杆最上面碟子移到B杆；
S3：将C杆上的碟子移到B杆；
S4：将A杆上的碟子移到C杆；
S5：将B杆最上面碟子移到A杆；
S6：将B杆上的碟子移到C杆；
S7：将A杆上的碟子移到C杆．
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1(共33张PPT)
11．1 算法的概念
第11章 算法初步
第11章 算法初步
有限多个
某一类问题
通用
具体问题
确定性
有效性
有限性
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A
第11章
DI
SHIYI
ZHANG
算法初步
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破
