1.2,1任意角的三角函数（d第一课时）
文档属性
| 名称 | 1.2,1任意角的三角函数（d第一课时） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 414.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-05-20 13:18:28 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
（第一课时）
任意角的三角函数
看书P11～12例1上方
【目标导学】
掌握任意角的三角函数定义
根据定义理解三角函数的符号和定义域
思考:(1)初中是如何定义锐角的三角函数的？
(3)上述定义中的比值是否会随着P在角
终边上的位置的改变而改变？
(4) 如何借助单位圆定义三角函数;
看书P11～12例1上方
知识探究（一）：任意角三角函数定义
(2) 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
(5)角推广后，这样的定义还适用吗？
(1) 你能回忆一下锐角的三角函数的定义吗？
(2) 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
(a,b)
r
O
M
P
x
y
知识探究（一）：任意角三角函数定义
b
y
P (a, b)
a
x
M
r
o
P'(a', b')
(3)改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？
为什么？
∽
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
(4) 能否通过取适当点而将表达式简化
引入单位圆:圆心为原点,半径为1的圆
(a,b)
r
O
M
P
x
y
1
同样的，我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数。
任意角的三角函数的定义：
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
（1）y叫做 的正弦,记作 即
（2）x叫做 的余弦,记作 即
（3） 叫做 的正切,记作 即
x≠0
8
﹒
α的终边
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。
角
（其弧度数等于这个实数）
三角函数值
（实数）
实数
已知角α的终边与单位圆的交点是 求角α的正弦、余弦和正切值。
解：根据任意角的三角函数定义：
O
x
y
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。
试一试
练习:
(见P15练习1)
﹒
﹒
解：在直角坐标系中，作
易知
的终边与单位圆的
交点坐标为
所以
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，
点 与原点的距离
那么① 叫做 的正弦，即
② 叫做 的余弦，即
③ 叫做 的正弦，即
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.
定义推广：
变式1：若P的坐标改为（-3k,-4k）,(k<0)呢？
变式2：若P的坐标改为（-3k,-4k）,(k≠0)呢？
例2：已知角 的终边上一点P（-3，-4）， 求角 的正弦、余弦和正切值。
解：∵x=-3,y=-4,
则 r=|op| =
∴
探究二：请根据任意角的三角函数定义,思考
（1）正弦、余弦和正切函数的定义域 ；
（2）这三种函数的值在各个象限的符号；
5
填入课本P13的表格中；
y
x
o
P (x, y)
y
x
o
P (x, y)
y
x
o
P (x, y)
y
x
o
P (x, y)
当角α在某个象
限时，设其终边
与单位圆交于点
P（x，y）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
小结：
1.三角函数的定义域
2.三角函数值在各象限的符号
三角函数 定义域
例3、求证：当且仅当不等式组 成立时，角 为第三象限角.
解：(1) 由sin <0，
分析：本题证明
是第三象限角
故 是第三象限角.
(2) 若 是第三象限角.
则sin <0，且tan >0.
由 (1) , (2) 可得原命题得证.
可知 的终边在第三、四象限内或y轴的非正半轴上.
可知 的终边在第一、三象限内.
再由tan >0，
变式练习：
[点评] 要熟记三角函数值的符号与角终边位置的关系．
例4.确定下列三角函数值的符号
1、如果角α与β的终边相同，那么sinα与 sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？
2、如何将上述结论用一组数学公式表达？
知识探究三: 三角函数公式
结论:终边相同的角的同名三角函数值相等
（其中 )
思考2：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？
思考1：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？
思考3：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？
可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值.
例5 求下列三角函数值
（1）sin1485
(2)cos
（3）tan( )
一 任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),则
三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
四.小结
2.任意角的三角函数定义域.
3.正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号
x
y
o
x
y
o
x
y
o
4.诱导公式一：
（ )
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题
转化为0～2π间角的三角函数值问题
作业：
课本P20习题1.2A组 1,2，6，7，9
（第一课时）
任意角的三角函数
看书P11～12例1上方
【目标导学】
掌握任意角的三角函数定义
根据定义理解三角函数的符号和定义域
思考:(1)初中是如何定义锐角的三角函数的？
(3)上述定义中的比值是否会随着P在角
终边上的位置的改变而改变？
(4) 如何借助单位圆定义三角函数;
看书P11～12例1上方
知识探究（一）：任意角三角函数定义
(2) 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
(5)角推广后，这样的定义还适用吗？
(1) 你能回忆一下锐角的三角函数的定义吗？
(2) 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
(a,b)
r
O
M
P
x
y
知识探究（一）：任意角三角函数定义
b
y
P (a, b)
a
x
M
r
o
P'(a', b')
(3)改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？
为什么？
∽
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
(4) 能否通过取适当点而将表达式简化
引入单位圆:圆心为原点,半径为1的圆
(a,b)
r
O
M
P
x
y
1
同样的，我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数。
任意角的三角函数的定义：
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
（1）y叫做 的正弦,记作 即
（2）x叫做 的余弦,记作 即
（3） 叫做 的正切,记作 即
x≠0
8
﹒
α的终边
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。
角
（其弧度数等于这个实数）
三角函数值
（实数）
实数
已知角α的终边与单位圆的交点是 求角α的正弦、余弦和正切值。
解：根据任意角的三角函数定义：
O
x
y
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。
试一试
练习:
(见P15练习1)
﹒
﹒
解：在直角坐标系中，作
易知
的终边与单位圆的
交点坐标为
所以
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，
点 与原点的距离
那么① 叫做 的正弦，即
② 叫做 的余弦，即
③ 叫做 的正弦，即
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.
定义推广：
变式1：若P的坐标改为（-3k,-4k）,(k<0)呢？
变式2：若P的坐标改为（-3k,-4k）,(k≠0)呢？
例2：已知角 的终边上一点P（-3，-4）， 求角 的正弦、余弦和正切值。
解：∵x=-3,y=-4,
则 r=|op| =
∴
探究二：请根据任意角的三角函数定义,思考
（1）正弦、余弦和正切函数的定义域 ；
（2）这三种函数的值在各个象限的符号；
5
填入课本P13的表格中；
y
x
o
P (x, y)
y
x
o
P (x, y)
y
x
o
P (x, y)
y
x
o
P (x, y)
当角α在某个象
限时，设其终边
与单位圆交于点
P（x，y）
（ ）
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（ ）
小结：
1.三角函数的定义域
2.三角函数值在各象限的符号
三角函数 定义域
例3、求证：当且仅当不等式组 成立时，角 为第三象限角.
解：(1) 由sin <0，
分析：本题证明
是第三象限角
故 是第三象限角.
(2) 若 是第三象限角.
则sin <0，且tan >0.
由 (1) , (2) 可得原命题得证.
可知 的终边在第三、四象限内或y轴的非正半轴上.
可知 的终边在第一、三象限内.
再由tan >0，
变式练习：
[点评] 要熟记三角函数值的符号与角终边位置的关系．
例4.确定下列三角函数值的符号
1、如果角α与β的终边相同，那么sinα与 sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？
2、如何将上述结论用一组数学公式表达？
知识探究三: 三角函数公式
结论:终边相同的角的同名三角函数值相等
（其中 )
思考2：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？
思考1：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？
思考3：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？
可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值.
例5 求下列三角函数值
（1）sin1485
(2)cos
（3）tan( )
一 任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),则
三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
四.小结
2.任意角的三角函数定义域.
3.正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号
x
y
o
x
y
o
x
y
o
4.诱导公式一：
（ )
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题
转化为0～2π间角的三角函数值问题
作业：
课本P20习题1.2A组 1,2，6，7，9