章末复习提升课
[学生用书P13])
[学生用书P13])
1．集合的含义与表示
(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于(∈)，不属于(?)．
(3)自然数集：N；正整数集：N＋或N
；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.
(4)集合的表示方法：列举法、描述法和Venn图法．
2．集合的基本关系
(1)集合A与集合B的关系：子集(A?B)、真子集(A?B)和集合相等(A＝B)．
(2)子集与真子集的关系：若A?B，则A与B的关系为A?B或A＝B.
(3)子集个数结论：
①含有n个元素的集合有2n个子集；
②含有n个元素的集合有2n－1个真子集；
③含有n个元素的集合有2n－2个非空真子集．
3．集合间的三种运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}(读作“A并B”)．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}(读作“A交B”)．
(3)补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A?B?A∪B＝B.
(2)交集的性质：A?B?A∩B＝A.
(3)补集的相关性质：
A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A.
1．元素与集合关系的两个关注点
(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)要注意区分元素与集合的从属关系，以及集合与集合的包含关系．
2．处理集合问题的三个易错点
(1)易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
(2)运用图示法易忽视端点是实心还是空心．
(3)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
元素的性质[学生用书P14]
集合是一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成的，因此集合中元素具有确定性、互异性和无序性．在集合的运算或集合的包含关系中，要使集合中元素仍然具有元素的特性．当元素用字母表示时，在运算中求出具体的值，要代回集合验证，以保证集合元素的互异性．
若A＝{2，4，a3－2a2－a＋7}，
B＝，
且A∩B＝{2，5}，求实数a的值．
[解] 因为A∩B＝{2，5}，所以5∈A，A＝{2，4，5}．
由已知可得a3－2a2－a＋7＝5，所以a3－2a2－a＋2＝0，
所以(a2－1)(a－2)＝0，所以a＝2或a＝±1.
当a＝1时，B中元素a2－2a＋2＝1，与元素的互异性相违背，故应舍去a＝1.
当a＝－1时，B＝{0，1，2，4，5}，此时A∩B＝{2，4，5}与已知A∩B＝{2，5}相矛盾．故应舍去a＝－1.
当a＝2时，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，2，5，25}，
此时，A∩B＝{2，5}，满足题设，故a＝2为所求．
集合间的关系与运算[学生用书P14]
判断集合与集合间的关系或进行集合间的交、并运算，一般的策略是转化为判断元素与集合间的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及其特征，可将元素列举出来直观发现，或通过元素特征，求同存异，定性分析．应做到：(1)意义化，即分清集合的种类：数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解集等；(2)具体化，即具体求出相关的集合并化简；(3)直观化，即应用数形结合的思想方法，借助数轴、Venn图等进行分析，将复杂、抽象的问题直观化，当集合中的元素“离散”时用Venn图表示，当集合中的元素是“连续”的数集时用数轴表示，此时要注意端点的取舍．
已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2
[解析] 由交集的定义可得A∩B＝{－1，2}．
[答案] {－1，2}
1．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )
A．1
B．2 C．3
D．4
解析：选C.“book中的字母”构成的集合中有b，o，k共3个元素．
2.
已知全集U＝Z，P＝{－2，－1，1，2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{－1，－2}
B．{1，2}
C．{－2，1}
D．{－1，2}
解析：选A.因为Q＝{1，2}，所以P∩(?UQ)＝{－1，－2}，故选A.
3．已知集合A＝{0，1，3}，B＝{a＋1，a2＋2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：由a＋1＝1或a2＋2＝1可得a＝0.
答案：0
4．已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a的值是________．
解析：当a＝1时，方程x2－ax＋1＝0无解，集合B＝?，满足题意；当a＝2时，方程x2－ax＋1＝0有两个相等的实根1，集合B＝{1}，满足题意；当a＝3时，方程x2－ax＋1＝0有两个不相等的实根，，集合B＝，不满足题意．所以满足A∩B＝B的a的值为1或2.
答案：1或2
5．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}．
(1)若A≠?，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)分两种情况考虑：
①当a＝1时，A＝≠?；
②当a≠1时，则有Δ＝9＋8(a－1)≥0，
所以a≥－且a≠1，
综上，a的取值范围为a≥－.
(2)由A∩B＝A，得A?B.
分两种情况考虑：①当A＝?时，a<－；
②当A≠?时，若集合A中只有一个元素，则易知不符合题意，若集合A中有两个元素，则得到B中方程的解1和2为A的元素，即A＝{1，2}，
此时易得a＝0，
综上，a的取值范围为.
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第1章 集 合
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本部分内容讲解结束
知识网络体系构建
织网·把脉·贯通
集合元素的特性(确定性;(2互异性;()无序性
集合的分类(1)限集;(2)无限集;()空集
集合与集合
的表示方法
列举法
集合的表示方法}描述法
图示法」(1)Vem图法;(2)数轴法;(3)坐标系法
集
子集的概念
集合的基本关系
真子集的概念
性质
相等
交集
集合的基本运算并集}性质
补集
知识要点易错提醒
要点·梳理·清错
主题串讲,综合提高
情研·悟道·突破
[热考强化训练]
P第2课时 交集、并集、补集的综合应用
1.了解集合的实际应用． 2.了解区间的概念． 3.理解交集、并集的性质并会简单运用．
4．掌握用Venn图表示集合的关系及运算．
[学生用书P10]
1．并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪?＝A
A∩?＝?
A?B?A∪B＝B
A?B?A∩B＝A
2．区间的概念
设a，b∈R，且a名称
定义
符号
数轴表示
闭区间
{x|a≤x≤b}
[a，b]
半开半闭区间
{x|a≤x[a，b)
{x|a(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
开区间
{x|a(a，b)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x(－∞，b)
R
(－∞，＋∞)
3．Venn图
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数集问题的全集一定是R.( )
(2)集合?BC与?AC相等．( )
(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知集合A＝[0，5)，集合B＝(a，＋∞)，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________．
解析：由A∩B＝A得A?B.所以a<0.
答案：(－∞，0)
3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，求集合?U(A∪B)．
解：因为A＝{1，2}，所以B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4}，
所以?U(A∪B)＝{3，5}．
交集的性质及其应用[学生用书P10]
已知集合A＝{1，b，a}，B＝{1，a2}，问是否存在这样的实数a，使得B?A，且A∩B＝{1，a}？若存在，求出a值；若不存在，说明理由．
【解】 因为B?A，所以A∩B＝B.又A∩B＝{1，a}，B＝{1，a2}，所以a2＝a，解得a＝0或a＝1.
又因为由集合元素的互异性知a≠1，a≠b，所以当b＝0时，这样的实数a不存在；当b≠0时，这样的实数a存在，且a＝0.
应用交集性质A∩B＝B?B?A，把集合间的包含关系转化为集合相交问题，体现了转化思想．
1.已知集合A＝{x|x2－(a－1)x－a＝0}，B＝{x|x2－(a2－2a－1)x－a2＋2a＝0}，求实数a的值，使得A∩B＝A.
解：方程x2－(a－1)x－a＝0两根为－1，a；
方程x2－(a2－2a－1)x－a2＋2a＝0两根为－1，a2－2a.
因为A∩B＝A，所以A?B，所以a∈B.
所以a＝－1或a2－2a＝a，解得a＝－1，a＝0或a＝3.
经检验，可得a＝－1，0，3.
并集的性质及其应用[学生用书P11]
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C.求a与m的值或取值范围．
【解】 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}．
因为A∪B＝A，所以B?A.
又因为1∈B，所以B≠?，则a－1∈A.
所以a－1＝1或a－1＝2，解得a＝2或a＝3.
又因为A∩C＝C，所以C?A，
所以C有?，{1}，{2}，{1，2}四种情况．
当C＝?时，方程x2－mx＋2＝0的判别式Δ＝m2－8<0，
解得－2当C＝{1}时，将1代入关于x的方程x2－mx＋2＝0，得m＝3，但这时方程x2－mx＋2＝0有两个不相等的根，故这种情况不存在；
当C＝{2}时，也不成立；
当C＝{1，2}时，由根与系数的关系，得m＝1＋2＝3，代回方程x2－mx＋2＝0，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，符合题意．
由以上可得，a＝2，或a＝3；
m的取值范围是{m|－2(1)在求有关交集、并集、补集的问题中，要考虑到特殊情形——空集，这也是我们在解题中最容易忽视的地方．
(2)分类讨论的“标准”要统一，讨论时要不重不漏．
2.已知全集U＝R，集合A＝{x|a≤x≤1＋2a}，B＝{x|－1≤x≤2}．若A∪(?UB)＝?UB，求实数a的取值范围．
解：因为A∪(?UB)＝?UB.
所以A?(?UB)＝{x|x<－1或x>2}．
若A＝?，则a>1＋2a，
解得a<－1；
若A≠?，则a≤1＋2a<－1或22.
综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
集合的交、并、补综合运算[学生用书P11]
已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)．
【解】 将集合U、A、B分别表示在数轴上，如图所示．
则?UA＝{x|－1≤x≤3}；
?UB＝{x|－5≤x<－1，或1≤x≤3}；
法一：(?UA)∩(?UB)＝{x|1≤x≤3}．
法二：因为A∪B＝{x|－5≤x<1}，
所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)
＝{x|1≤x≤3}．
集合交、并、补运算的技巧
(1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥1}
解析：选C.因为S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}．
又T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}
＝{x|x≤1}．
集合中的实际应用问题[学生用书P12]
向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【解】 赞成A的人数为50×＝30，
赞成B的人数为30＋3＝33，
记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x，
则对A、B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
如图可知(30－x)＋(33－x)＋x＋＝50，
解得x＝21.
所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．
(1)本题是把复杂的实际问题通过建立集合这一数学模型，转化为数学问题解决的．其中，Venn图的直观作用使抽象繁冗的数量关系变得形象，方程的工具性作用将已知条件与未知结论密切联系在一起．
(2)应用数学知识去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步．建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，要通过观察和分析实际对象的特征和规律，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题．
4.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
解析：设同时参加数学和化学小组的有x人，则由题意可画出如图所示的Venn图，从而可得26＋9＋9－x＝36，
解得x＝8(人)．
答案：8
1．理解区间概念的注意点
(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立．
2．关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．
设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1[解] 根据题意可知，N≠?，又因为N?(?UM)，
所以讨论时考虑集合M有空集和非空两种情况：
若M＝?，则?UM＝R，N?(?UM)显然成立．
于是有3a－1≥2a，得a≥1.
若M≠?，则3a－1<2a，有a<1.
这时?UM＝{x|x≤3a－1，或x≥2a}，
由N?(?UM)得2a≤－1或3a－1≥3，
即a≤－或a≥，又a<1，故a≤－.
综上所述a≥1或a≤－.
即a的取值集合为.
(1)易忽视M＝?，从而漏掉一种情况．
(2)端点等号可以取得，即忽视了等号，导致错误而失分．
(3)忽视大前提a<1的情况，则易导致错误．
解答本题还应注意：①集合M的情况要分情况求解，其结果要取所有情况的并集；
②在由N?(?UM)得参数的不等关系时，要注意等号能否取得，这是解此类问题的难点；
③在最后给出结论时往往忽略了条件的限制，导致错误，所以在解题时得到的答案要回顾其限制条件是否满足，如本例中a<1易被忽视．
1．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0C．{x|x<0}
D．{x|x>1}
解析：选B.?UB＝{x|x≤1}，所以A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．
2．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________．
解析：因为?U(?UA)＝{x|1≤x＜2}＝A，
所以a＝2.
答案：2
3．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________．
解析：因为A∩B＝{－2}，
所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
所以A＝{1，－2}，
因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，
所以B＝{－2，5}，
所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
所以p＋q＋r＝－14.
答案：－14
4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解：把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2所以?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，
因为?RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以(?RA)∩B＝{x|2[学生用书P82(单独成册)])
[A 基础达标]
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{2，6}
B．{3，6}
C．{1，3，4，5}
D．{1，2，4，6}
解析：选A.由题知A∪B＝{1，3，4，5}，
所以?U(A∪B)＝{2，6}．故选A.
2．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，5}，?UB＝{4，5，6}，则A∩B＝( )
A．{1，2}
B．{5}
C．{1，2，3}
D．{3，4，6}
解析：选A.因为?UB＝{4，5，6}，所以B＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2，5}∩{1，2，3}＝{1，2}，故选A.
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0解析：选D.由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
故?U(A∪B)＝{x|04．已知全集U＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(?UB)＝( )
A．{3}
B．{4}
C．{3，4}
D．?
解析：选A.因为全集U＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以?UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(?UB)＝{3}．故选A.
5.
设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<1}
B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x≤2，或x>3}
D．{x|－2≤x≤2}
解析：选A.阴影部分所表示的集合为?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}．故选A.
6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设
喜欢篮球运动学生的全体为集合A，喜爱乒乓球运动学生的全体为集合B，全班学生构成全集U，画出Venn图，可知既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为：
15＋10＋8－30＝3，
故喜欢篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.
答案：12
7．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(?UA)∩B＝________．
解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(?UA)∩B＝{7，9}．
答案：{7，9}
8．已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的质数}，M?U，N?U，且M∩(?UN)＝{3，5}，(?UM)∩N＝{7，19}，(?UM)∩(?UN)＝{2，17}，则集合M＝________，N＝________.
解析：用图示法表示集合U，M，N(如图)，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内．由图可知，M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19}．
答案：{3，5，11，13} {7，11，13，19}
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1(1)求(?UB)∪P；
(2)求(A∩B)∩(?UP)．
解：借助数轴，如图．
(1)因为?UB＝{x|x≤－1或x>3}，
所以(?UB)∪P＝.
(2)A∩B＝{x|－1?UP＝，
所以(A∩B)∩(?UP)
＝{x|－1＝{x|010．已知集合U＝{x|1求：(1)(?UA)∩(?UB)；
(2)?U(A∪B)；
(3)(?UA)∪(?UB)；
(4)?U(A∩B)；
(5)从中发现什么规律？
解：利用数轴工具，可得到，
A∩B＝{x|3≤x<5，x∈R}，
A∪B＝{x|2≤x<7，x∈R}，
?UA＝{x|1?UB＝{x|1从而可求得
(1)(?UA)∩(?UB)＝{x|1(2)?U(A∪B)＝{x|1(3)(?UA)∪(?UB)＝{x|1(4)?U(A∩B)＝{x|1(5)认真观察不难发现：
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；
?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．
[B 能力提升]
1．已知M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩?RM≠?(R为实数集)，则a的取值范围是( )
A．{a|a≤3}
B．{a|a>－2}
C．{a|a≥－2}
D．{a|－2≤a≤2}
解析：选C.由题意知?RM＝{x|－2≤x＜3}，N＝{x|x≤a}．
因为N∩?RM≠?，所以a≥－2.
2．在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和球类比赛的有________人，只参加径赛的同学有________人．
解析：设
参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画出Venn图，如图所示．
在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x，
由题意得：9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.
即同时参加田赛和球类比赛的共有3人，只参加径赛的同学有9人．
答案：3 9
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，求实数m的值．
解：由已知，得A＝{－2，－1}，
由(?UA)∩B＝?，得B?A，
因为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，所以B≠?.
所以B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，
所以B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，
由这两式得m＝2.
经检验，知m＝1，m＝2均符合条件．
所以m＝1或2.
4．(选做题)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－2＜x＜2}，
则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．
(2)由A?B知，得m≤－2，
即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
(3)由A∩B＝?得：
①当2m≥1－m，即m≥时，B＝?，符合题意．
②当2m＜1－m，即m＜时，
则或
得0≤m＜或m不存在，即0≤m＜.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．
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第1章 集 合
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解惑·探究·突破第1课时 交集、并集
1.了解交集、并集的实际背景． 2.理解交集、并集的含义． 3.掌握求交集、并集的方法．
[学生用书P7]
1．交集
自然语言
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B
(读作“A交B”)
符号语言
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
2．并集
自然语言
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)并集定义中的“或”能改为“和”．( )
(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合． ( )
(3)集合M＝{直线}与集合N＝{圆}有交集．( )
(4)若A∩B＝C∩B，则A＝C.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( )
A．{－1，0，1}
B．{－1，0，1，2}
C．{－1，0，2}
D．{0，1}
解析：选B.M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1，0，1，2}．
3．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝________．
解析：因为A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，
所以A∩B＝{3，5}．
答案：{3，5}
集合交集的运算[学生用书P8]
(1)已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝________．
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝________．
【解析】 (1)作出Venn图如图，故A∩B＝{3，4，5，12，13}∩{2，3，5，8，13}＝{3，5，13}．
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图．
则由交集的定义，得A∩B＝{x|0≤x≤2}．
【答案】 (1){3，5，13} (2){x|0≤x≤2}
求交集的基本思路
求两个集合的交集时，首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定
义写出结果．有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．
1.(1)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{2，1}
B．{x＝2，y＝1}
C．{(2，1)}
D．(2，1)
(2)设集合M＝{m∈Z|－3解析：(1)A∩B＝＝{(2，1)}．
(2)因为M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，
所以M∩N＝{－1，0，1}．
答案：(1)C (2){－1，0，1}
集合并集的运算[学生用书P8]
(1)设集合A＝{x|－1A．{x|－1B．{x|－1C．{x|1D．{x|2(2)已知集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{y|y＝|x|－x，x∈A}，则A∪B＝________．
【解析】 (1)如图，A∪B＝{x|－1(2)把x＝－2，－1，0，1分别代入y＝|x|－x，得y＝4，2，0，0，所以B＝{4，2，0}，故A∪B＝{－2，－1，0，1，2，4}．
【答案】 (1)A (2){－2，－1，0，1，2，4}
求两个集合的并集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示
出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
2.(1)设A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B＝________．
(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________．
解析：(1)A∪B＝{4，5，6，8}∪{3，5，7，8}
＝{3，4，5，6，7，8}．
(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．
所以M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．
答案：(1){3，4，5，6，7，8} (2){x|x＜－5，或x＞－3}
交集、并集性质的应用[学生用书P8]
已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解】 ①当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
1．若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝A”，其他条件不变，则实数a的取值范围又是什么？
解：①当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3，
此时满足A∪B＝A.
②当B≠?时，需满足2a≤a＋3且a＋3<－1，或2a≤a＋3且2a>4.
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
2．若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝R，A∩B＝?”，其他条件不变，则实数a的取值范围又是什么？
解：由条件可知B≠?，所以2a利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝?的情况，切不可漏掉．
3.已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|x－k≤0}，
(1)若k＝1，求A∩(?UB)；
(2)若A∩B≠?，求k的取值范围．
解：(1)当k＝1时，B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}，
所以?UB＝{x|x>1}．
所以A∩(?UB)＝{x|1(2)因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|x≤k}，A∩B≠?，
所以k≥－1.
1．对交集概念的三点说明
(1)概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
(2)定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
(3)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A又属于B的元素组成的集合为A∩B，而只属于集合A或只属于集合B的元素不属于A∩B.
2．对并集概念的两点说明
(1)并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
(2)“x∈A，或x∈B”包含三种情况：
“x∈A，但x?B”；“x∈B，但x?A”；“x∈A且x∈B”．
用Venn图表示如下：
已知集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合B＝{y|y＝5－x2，x∈R}，求A∩B.
[解] 因为x2＋1≥1，所以A＝{y|y≥1，y∈R}．
因为5－x2≤5，所以B＝{y|y≤5，y∈R}．
所以A∩B＝{y|1≤y≤5}．
(1)错因：易弄错A∩B中的代表元素而出错．集合A，B都是以字母y表示集合中的元素，故都是数集，易误认为是求两抛物线的交点而错将数集看成点集．
(2)防范：求交集、并集时首先识别代表元素的形式，进而弄清集合的性质，再进行集合间的运算．
1．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C等于( )
A．{1，2，3}
B．{1，2，4}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，4}
解析：选D.因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，
所以A∩B＝{1，2}．
又C＝{2，3，4}，
所以(A∩B)∪C＝{1，2}∪{2，3，4}
＝{1，2，3，4}．
2．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝( )
A．{x|－1≤x＜3}
B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}
D．{x|x≥－1}
解析：选C.在数轴上表示两个集合，如图．
易知P∪Q＝{x|x≤4}．
3．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________．
解析：由题意有，N＝{0，4，8}，所以M∩N＝{0，4}．
答案：{0，4}
4．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
解析：由交集的定义有A∩B＝{2，3}．
由并集的定义有A∪B＝{1，2，3，4}．
答案：{2，3} {1，2，3，4}
[学生用书P80(单独成册)]
[A 基础达标]
设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( )
A．{0}
B．{0，2}
C．{－2，0}
D．{－2，0，2}
解析：选D.集合M＝{0，－2}，N＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，选D.
2．设S＝{x|2x＋1＞0}，T＝{x|3x－5＜0}，则S∩T＝( )
A．?
B．
C.
D．
解析：选D.由2x＋1＞0，得x＞－，
所以S＝.由3x－5＜0，
得x＜，所以T＝，
所以S∩T＝∩
＝.
3．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于( )
A．S∩T
B．S
C．?
D．T
解析：选B.因为(S∩T)?S，
所以S∪(S∩T)＝S.
4．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N
}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷多个
解析：选B.M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2
B．a>－2
C．a>－1
D．－1解析：选C.在数轴上表示出集合A、B即可知选C.
6．若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________；A∩B＝________．
解析：如图所示，借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x＜5}．
答案：R {x|4≤x＜5}
7．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________．
解析：当a＞2时，A∩B＝?；当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；当a＝2时，A∩B＝{2}．综上：a＝2.
答案：2
8．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝?，A∪B＝R，则m＝________．
解析：A∩B＝?，A∪B＝R，说明B＝?UA，故m＝1.
答案：1
9．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，x2－1}，若A∪B＝{1，2，3，5}，求x及A∩B.
解：因为B?(A∪B)，所以x2－1∈(A∪B)．
所以x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1，3}．
若x2－1＝5，则A∩B＝{1，5}．
10．集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解：(1)因为B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)C＝，B∪C＝C?B?C，所以－<2，所以a>－4.
[B 能力提升]
1．满足A∪{－1，1}＝{－1，0，1}的集合A共有( )
A．10个
B．8个
C．6个
D．4个
解析：选D.A∪{－1，1}＝{－1，0，1}，
所以A?{－1，0，1}，
且0∈A，
所以A＝{0}或A＝{0，－1}，{0，1}或A＝{0，－1，1}．
2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1解析：因为B∪C＝{x|－3所以A?(B∪C)．
所以A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．
所以a＝－1，b＝2.
答案：－1 2
3．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
解：由已知得M＝{2}，
(1)当m＝2时，N＝{1，2}，
所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}．
(2)若M∩N＝M，则M?N，
所以2∈N，所以4－6＋m＝0，m＝2.
4．(选做题)已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1，或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．
(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B)．
解：(1)若A＝?，则A∩B＝?成立．
此时2a＋1>3a－5，即a<6.
若A≠?，如图所示，
则解得6≤a≤7.
综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是
{a|a≤7}．
(2)因为A?(A∩B)，所以A∩B＝A，即A?B.
显然A＝?满足条件，此时a<6.
若A≠?，如图所示，
则或
由解得a∈?；
由解得a>.
综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是.
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第1章 集 合
第1章 集 合
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解惑·探究·突破1．2 子集、全集、补集
1.了解集合间的包含关系及全集的含义． 2.理解补集的概念及含义． 3.掌握求子集、补集的方法．
[学生用书P4]
1．子集的概念及表示
自然语言
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号语言
A?B或B?A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”
图形语言(Venn图)
2.真子集
如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
3．子集、真子集的性质
(1)任何一个集合A是它本身的子集，即A?A．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
4．补集与全集
(1)补集：设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作?SA(读作“A在S中的补集”)，即：?SA＝{x|x∈S，且x/∈A}．
(2)全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常用U表示．
5．补集的有关性质
(1)?S(?SA)＝A；
(2)?SS＝?；
(3)?S?＝S；
(4)A与?SA没有公共元素，并且A与?SA的所有元素“合”在一起，恰好是集合S的全部元素．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{0}是空集．( )
(2)若A＝B，则A?B.( )
(3)空集是任何集合的真子集．( )
(4)集合{1}有两个子集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，则能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
A．MB．M∈N
C．N?M
D．M?N
答案：D
3．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则?UA＝________．
答案：{2，4，7}
4．集合{0，1}的子集有________．
答案：?，{0}，{1}，{0，1}
两集合的包含关系[学生用书P5]
已知集合A＝{x|x＋1<4，x∈N}，且M?A，求集合M.
【解】 因为集合A＝{x|x<3，x∈N}＝{0，1，2}，又因为M?A，
所以集合M为：?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．
非空集合A的真子集中的元素都是A中的元素，空集一定是非空集合的真子集．
1.已知{1，2}?A?{1，2，3，4}，写出所有满足条件的集合A.
解：因为{1，2}?A，所以1∈A，2∈A.
又因为A?{1，2，3，4}，
所以集合A中还可以有3、4中的一个，
即集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}．
补集的运算[学生用书P5]
(1)设全集U＝{n|n是小于10的正整数}，A＝{n|n是3的倍数，n∈U}，求?UA；
(2)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3＜x≤2}，求?UA，?UB，并求?UA与?UB的关系．
【解】 (1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
A＝{3，6，9}，
所以?UA＝{1，2，4，5，7，8}．
(2)因为A＝{x|x≥－3}，所以?UA＝{x|x＜－3}．
又因为B＝{x|－3＜x≤2}，
所以?UB＝{x|x≤－3，或x＞2}．
画数轴如图：
所以，?UA??UB.
(1)当集合中元素离散时，可借助Venn图求解；当集合中元素连续时，可借助数轴求解．
(2)解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?UA)＝U.
2.(1)已知全集为R，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}，则?RA＝________．
(2)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，?UB＝{1，4，6}，求集合B.
解：(1)结合数轴可得?RA＝{x|1≤x＜5}．
故填{x|1≤x＜5}．
(2)法一：A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，
所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．
又?UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}．
法二：借助Venn图，如图所示，
由图可知B＝{2，3，5，7}．
由集合间的关系求参数的值或范围[学生用书P6]
(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}(a≥1)．若A?B，求a的取值范围．
(2)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合.
【解】 (1)若A?B，由图可知，a＞2.
故所求的a的取值范围是a＞2.
(2)由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
所以集合A＝{1，3}．
①当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.
②当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
因为B?A，所以＝1或＝3，
解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的集合为{0，1，3}．
由集合的包含关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
一般地，(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
3.已知集合A＝{1，3，－x3}，B＝{x＋2，1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
解：因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．
1．对子集概念的两点说明
(1)“A?B”的含义：若x∈A，则能推出x∈B.
(2)不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
2．子集与真子集的区别
(1)从定义上：集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和相等两种情况，真子集是子集的特殊形式．
(2)从性质上：空集是任何集合的子集，但不是任何集合的真子集；空集是任何非空集合的真子集．
(3)从符号上：A?B指A?B或A＝B.A＝A，A?A，??A都是正确的，A?A，??A是不正确的．
3．关于空集的两点说明
(1)空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素．注意?和{?}是有区别的，?是不含任何元素的集合，而{?}集合中含有一个元素?.
(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此遇到诸如A?B或A?B的问题时，务必优先考虑A＝?是否满足题意．
4．理解补集应关注三点
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)?UA包含三层意思：①A?U；②?UA是一个集合，且(?UA)?U；③?UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
(3)若x∈U，则x∈A或x∈(?UA)．
已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，求实数a的取值集合．
[解] 因为A＝{－1，1}，B?A，
所以当B＝?时，a＝0；
当B≠?时，由x＝∈A，得＝－1或＝1，
即a＝－1或a＝1.
故a的取值集合为{－1，0，1}．
(1)错因：一是忽视B＝?，这一情况；二是未用集合表示a的取值．
(2)求解集合与集合之间的关系问题时，要明确空集是否是所讨论的集合的子集，否则容易出错．
1．已知集合A＝{－1，0，1}，则下列关系中正确的是( )
A．A∈A
B．0?A
C．{0}∈A
D．??A
解析：选D.“∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A，C错误，“?”用来表示集合与集合之间的关系，故B错误，?是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集，故D正确．
2．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0，1或－1
解析：选D.由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，知a＝1或a＝－1.
3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则?UA＝________．
解析：因为A＝{1，2}，所以?UA＝{3，4，5}．
答案：{3，4，5}
4．已知集合A＝{x|x－3＞0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．
解析：A＝{x|x－3＞0}＝{x|x＞3}，B＝{x|2x－5≥0}＝.
结合数轴知A?B.
答案：A?B
[学生用书P79(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( )
①1∈A；②{－1}∈A；③??A；④{1，－1}?A.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选C.A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故①③④正确，②不正确．
2．满足{a}?M?{a，b，c，d}的集合M共有( )
A．6个
B．7个
C．8个
D．15个
解析：选B.依题意a∈M，且M?{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．
3．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|x>1}，则集合A的补集?UA＝( )
A．{x|x≤1}
B．{x|x<1}
C．{x|－3≤x≤1}
D．{x|－3≤x<1}
解析：选C.因为U＝{x|x≥－3}，A＝{x|x>1}，
如图所示：
所以?UA＝{x|－3≤x≤1}．
4．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，那么( )
A．若a＝1，则N?M
B．若N?M，则a＝1
C．若a＝1，则N?M，反之也成立
D．a＝1和N?M成立没有关系
解析：选A.显然a＝1时，集合N＝{1}，此时N?M；若N?M，则a2可以是集合M中的元素1或2，此时a可以取值1，－1，，－.即若N?M，则a＝1不成立．
5．集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N
B．M?N
C．M?N
D．M与N没有相同元素
解析：选C.因为＋＝(2k＋1)，＋＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以M?N.选C.
6．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1＜x＜m}(m＞1)，且B?A，则实数m的取值范围是________．
解析：因为
B?A，由图可知m≤4，又因为m＞1，所以实数m的取值范围是1＜m≤4.
答案：1＜m≤4
7．已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：因为??{x|x2－x＋a＝0}，
所以方程x2－x＋a＝0有实根，
所以Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤.
答案：a≤
8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x＜b}，?UA＝{x|x＜1，或x≥2}，则实数b＝________．
解析：因为?UA＝{x|x＜1，或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x＜2}．所以b＝2.
答案：2
9．写出满足条件??M?{0，1，2}的所有集合M.
解：因为??M?{0，1，2}，
所以M为{0，1，2}的非空真子集，M中的元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时，可以是{0}，{1}，{2}；
当M中含有2个元素时，可以是{0，1}，{0，2}，{1，2}．
所以所求集合M为{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}.
10.已知a∈R，x∈R，A＝{2，4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3，1}，求：
(1)使A＝{2，3，4}的x的值；
(2)使2∈B，B?A的a，x的值；
(3)使B＝C的a，x的值．
解：(1)由题意，知x2－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3.
(2)因为2∈B，B?A，所以
所以或
(3)因为B＝C，所以
解得或
[B 能力提升]
1．设集合A＝{x|a－1b＋2}．若A?B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3
B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3
D．|a－b|≥3
解析：选D.根据题意知A?B，作出如图所示的数轴，所以有b＋2≤a－1或b－2≥a＋1，解得a－b≥3或a－b≤－3，即|a－b|≥3.
2．若集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0}有且仅有2个子集，则实数a的值为________．
解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
①当a＝0时，
方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
②当a≠0时，
由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，
所以a＝±1.
此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．
综上，a＝0或a＝±1.
答案：0或±1
3．已知全集U＝{x|x≤5，且x∈N}，A＝{x|x2－5x＋a＝0，x∈U}，求集合?UA.
解：因为U＝{0，1，2，3，4，5}，
在A中，x∈U，
故x＝0，1，2，3，4，5分别代入x2－5x＋a＝0.
得a＝0或a＝4或a＝6，故有如下结果．
当a＝0时，A＝{0，5}，?UA＝{1，2，3，4}；
当a＝4时，A＝{1，4}，?UA＝{0，2，3，5}；
当a＝6时，A＝{2，3}，?UA＝{0，1，4，5}；
当a≠0，4，6时，A＝?，?UA＝U.
4．(选做题)设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，?UA＝{5}，求实数m.
解：因为?UA＝{5}，所以5∈U但5?A，
所以m2－m－1＝5，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3，5，6}，A＝{3，6}，满足?UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3，5，6}，A＝{6，7}，不满足A?U.
综上可知实数m的值为3.
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第1章 集 合
第1章 集 合
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本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破1．1 集合的含义及其表示
1.结合实例，了解集合的含义，元素与集合的关系． 2.理解集合元素的特征．
3．掌握集合的表示方法．
1．集合
(1)定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．
(2)记法：通常用大写拉丁字母表示．
(3)常用数集及表示符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N
或N＋
Z
Q
R
2.元素
(1)定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
(2)记法：通常用小写拉丁字母表示．
(3)特性：确定性、互异性、无序性．
3．元素与集合的关系
关系
定义
记法
读法
属
于
a是集合A的元素
a∈A
a属于A
不属于
a不是集合A的元素
a?A或a?A
a不属于A
4.集合的常用表示方法
表示方法
定义
一般形式
列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内
{a1，a2，…，an，…}
描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来
{x|p(x)}
Venn图法
用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合
5.集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等．
6．集合的分类
有限集
含有有限个元素的集合
无限集
含有无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合，记作?
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(
)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(
)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(
)
答案：(1)× (2)× (3)√
2．不等式x－3<2且x∈N
的解集用列举法可表示为( )
A．{0，1，2，3，4}
B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
答案：B
3．方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素．
答案：2
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝________，b＝________．
答案：4 －1
集合的概念[学生用书P2]
判断下列各组对象能否组成一个集合．
(1)新华中学高一年级全体学生；
(2)我国的大河流；
(3)不大于3的所有自然数；
(4)在平面直角坐标系中，到原点距离等于1的点．
【解】 (1)能，所指的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标准；(3)能，不大于3的所有自然数有0、1、2、3，其对象是确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判断是不是到原点的距离等于1，故能组成一个集合.
判断一组对象组成集合的依据
判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合．
1.判断下列各组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家；
(2)不超过20的非负数；
(3)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(4)直角坐标平面内第一象限的一些点．
解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(3)类似于(2)，也能构成集合．(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．
元素与集合的关系[学生用书P2]
(1)下列关系中，正确的有( )
①∈R；②?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 (1)是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．
因此，①②③正确，④错误．
(2)因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，
所以若a＝0，则4－a＝4，
此时A满足要求；
若a＝1，则4－a＝3，
此时A满足要求；
若a＝2，则4－a＝2，
此时A只含有1个元素，不满足要求．
故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.
【答案】 (1)C (2)C
判断一个元素是否属于某一个集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件．若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系．特别注意，符号“∈”与“?”只表示元素与集合的关系．
2.(1)已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，则( )
A．a>－4
B．a≤－2
C．－4＜a＜－2
D．－4＜a≤－2
(2)用适当的符号填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有
17________A；－5________A.
解析：(1)因为1?A，2∈A，
所以即－4(2)由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17，则k＝5∈Z
.所以17∈A.令3k＋2＝－5，
则k＝－?Z.所以－5?A.
答案：(1)D (2)∈ ?
集合中元素的特性[学生用书P3]
已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【解析】 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，
所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.
【答案】 －1
若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？
解：因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，
即a≠0且a≠1.
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
3.(1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
(2)若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，求实数x的值．
解：(1)选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.
(2)因为A＝B，
所以或
解得x＝±1.经检验，x＝1不满足集合元素的互异性，而x＝－1满足，所以x＝－1.
集合中元素的表示[学生用书P3]
用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【解】 (1)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.故可用列举法表示为{3，5，7，11}．
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．
(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
用描述法表示集合时，要认清代表元素的含义，弄清集合的属性，区分是数集、点集还是其他类型的集合．
4.设集合B＝.
(1)试判断元素1，2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
解：(1)当x＝1时，＝2∈N.
当x＝2时，＝?N.
所以1∈B，2?B.
(2)因为∈N，x∈N，所以2＋x只能取2，3，6.所以x只能取0，1，4.所以B＝{0，1，4}．
1．集合含义中的“研究对象”的理解
集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
2．集合中元素的三个特性
(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(2)互异性：对于给定集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．
3．对符号“∈”与“?”的理解
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
4．列举法表示集合时应注意的四点
(1)集合中的元素可以是任何对象，如数、点、式子或其他的类型等．
(2)元素之间没有顺序，但不能重复，也不能遗漏．
(3)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在花括号内表示内容时，应把“所有”“全体”或“全部”等词语删去．
(4)用列举法表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．
5．描述法表示集合时应注意的三点
(1)写清集合中的代表元素，可以是数、点、式子或其他类型．
(2)说明该集合中元素具有的性质，如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等．
(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
下列各组中M，P表示同一集合的序号是________．
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；
②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；
③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{x|x＝t2－1，t∈R}；
④M＝{y|y＝x－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}．
[解析] ①中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；②中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；④中，M是一次函数y＝x－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是一次函数y＝x－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
[答案] ③
(1)本题易误选①或②，其原因是未理解清楚集合中元素代表什么，只注意形式基本相同，从而导致错误．
(2)解答此类问题，要明确集合中的代表元素是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式．
1．下列各组对象能构成集合的是( )
A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点
B．大于－5且小于5的有理数
C．新华书店中有意义的小说
D．π(π＝3.141…)的近似值的全体
解析：选B.A、C、D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而B具有确定的标准，即“大于－5且小于5的有理数”．故能构成集合．
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3解析：选D.偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－33．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
解析：由题意知m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，
经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.
答案：3
4．已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝?，则实数a的取值范围是________．
解析：Δ＝4－4a<0得a>1.
答案：a>1
[学生用书P77(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列各组对象中能构成集合的是( )
A．2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目
B．某学校高一年级高个子的学生
C.的近似值
D．2018年全国经济百强县
解析：选D.由于集合中的元素是确定的，所以D中对象可构成集合．
2．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B.是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．故选B.
3．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
解析：选D.因为a，b，c，d为集合A中的四个元素，故a，b，c，d均不相同，故选D.
4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B.因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，
所以M中的元素有：5，6，7，8，共4个．故选B.
5．已知M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}，N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}，则( )
A．M是有限集，N是有限集
B．M是有限集，N是无限集
C．M是无限集，N是无限集
D．M是无限集，N是有限集
解析：选B.因为M＝{(x，y)|2x＋3y＝10，x，y∈N}＝{(2，2)，(5，0)}，
所以M为有限集．
N＝{(x，y)|4x－3y＝1，x，y∈R}中有无限多个点满足4x－3y＝1，故N为无限集．
6．若集合{1，a，b}与{－1，－b，1}是同一个集合，则a与b分别为________．
解析：由题意得或
解得或
当a＝1，b＝－1时，集合中有重复元素应舍去．故a＝－1，b＝0.
答案：－1，0
7．下列说法中①集合N与集合N
是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
解析：因为集合N
表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
8．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
解析：当a>0且b>0时，＋＝2；
当a·b<0时，＋＝0；
当a<0且b<0时，＋＝－2.
所以集合中的元素为2，0，－2.即元素的个数为3.
答案：3
9．判断下列对象能否构成一个集合．如果能，请采用适当的方法表示该集合；如果不能，请说明理由．
(1)小于5的整数；
(2)高一年级体重超过75
kg的同学；
(3)方程x＋y＝3的非负整数解；
(4)与π非常接近的有理数．
解：(1)能．{x|x<5，x∈Z}．
(2)能．{高一年级体重超过75
kg的同学}．
(3)能．{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．
(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确，不符合集合元素确定性的特点．
10．用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n，0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
解：(1)列举法：{0，2，4}；或描述法{x|x＝2n，0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0，0)，(2，0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
[B 能力提升]
1．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
解析：选C.集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C.
2．已知集合A＝，
则集合A用列举法表示为________．
解析：因为∈N，x∈N，所以6－x＝1，2，3，4，6，得x＝5，4，3，2，0.所以集合A＝{0，2，3，4，5}．
答案：{0，2，3，4，5}
3．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}，a为实数．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集，求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
解：(1)若A是空集，则所以a>1.
(2)若A是单元素集，则
①当a＝0时，此时A＝{x|2x＋1＝0，x∈R}＝；
②当a≠0时，有即a＝1，
此时A＝{x|x2＋2x＋1＝0，x∈R}＝{－1}．
所以综合①②得a＝0或a＝1.
(3)若A中至多只有一个元素，则A为空集或单元素集，所以a＝0或a≥1.
4．(选做题)设S是由满足下列条件中的实数所构成的集合：
①1?S；②若a∈S，则∈S.
请回答下列问题：
(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
(2)求证：若a∈S，则1－∈S；
(3)在集合S中，元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．
解：(1)因为2∈S，2≠1，
所以＝－1∈S.因为－1∈S，－1≠1，
所以＝∈S.
因为∈S，≠1，所以＝2∈S.
所以集合S中有另外两个数为－1和.
(2)证明：因为a∈S，所以∈S，
所以∈S，即＝＝1－∈S(a≠0)．
若a＝0，则＝1∈S，不合题意．
所以若a∈S，则1－∈S.
(3)集合S中的元素不能只有一个．
证明如下：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知a＝，
即a2－a＋1＝0.
因为Δ＝1－4<0，所以此方程无实数解，所以a≠.
所以集合S中不能只有一个元素．
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第1章 集 合
第1章 集 合
相同
有限个
无限个
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第1章
集合
DIYI
ZHANG
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破