解直角三角形应用
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(共17张PPT)
解直角三角形的应用:
利用解直角三角形解测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度即仰角俯角；方向角或方位角；坡度、坡角、水平距离，垂直距离等问题是现今中考的热点。 （1）应用中要弄明白它们的概念，理解题目所述的实际意义，弄清已测与所求之间的关系，能根据题意正确画图或识图，从图中确定要解的直角三角形，解直角三角形时，充分使用原始数据，正确选择关系式，使运算尽可能简便、准确。
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，转化为直角三角形，间接地解出。
（3）、在解一些较复杂图形时，注意借助于几何图形的性质，可使得问题得到解决。
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
1、在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
一、复习引入
2、仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
3、方向角：指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的水平角叫做方向角
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
4、坡度、坡角
l
h
α
（1）坡度
i＝
h
l
tanα＝
i
（α为坡角）
（2）
例1、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60° ．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据 =1.414， =1.732 ）
二、例题演练
，
解：根据题意得:
，
所以，
，所以，
所以AB=PB
在
中，
PC=450，
所以PB =
所以
答：略
（m)
练习1、 为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°。问距离 B点8米远的保护物是否在危险区内？
C
D
B
E
30°
60°
A
解：过点C作CE AB于E.
在Rt CBE中,tan30 =
BE=CE tan30 =
在Rt CAE中,tan60 =
AE=CE tan60 =
AB=AE+EB= 6.92(米） 8(米）
距离 B点8米远的保护物不在危险区.
例2、（2008山东青岛）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈9/25，tan21.3°≈2/5， sin63.5°≈9/10，tan63.5°≈2）
东
北
68.7°
D
解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设BD＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CD/BD，
∴CD＝x ·tan63.5°．
在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝CD/AD，
∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°．
∴x·tan63.5°＝(60x)·tan21.3,
解得，x＝15．
练习2、外国船只,除特许外,不得进入我国海洋100海里以内的区域.如图,设A、B是我们的观察站,A和B之间的距离为160海里,海岸线是过A、B的一条东西直线.一外国船只在P点,在A点测得北偏东450,同时在B点测得北偏西300,问此时是否要向外国船只发出警告,令其退出我国海域.
A
B
P
⌒
⌒
45°
60°
┓
C
例3、一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD。（单位是米，结果保留根号）
A
B
C
D
E
F
4
6
α
练习3拦水坝横断面为梯形ABCD(图中i=1: 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比）根据图中数据求: (1)坡角α和β. (2)斜坡AB的长.
B
A
C
D
E
F
α
β
i=1:
i=1:1
6m
谈谈今天的收获
三、小结
1、应用解直角三角形的知识解决实际问题时要注意：当已知条件或求解中有斜边时，用正弦或余弦，无斜边，用正切;计算结果的精确度要求，一般来说中间量要多取一位有效数字；在题目中求未知量时，应尽量选用直接由已知量求未知量；当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线），再用直角三角形中的边角关系解决。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
四、作业：
见 教科书第97页第9、10题
解直角三角形的应用:
利用解直角三角形解测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度即仰角俯角；方向角或方位角；坡度、坡角、水平距离，垂直距离等问题是现今中考的热点。 （1）应用中要弄明白它们的概念，理解题目所述的实际意义，弄清已测与所求之间的关系，能根据题意正确画图或识图，从图中确定要解的直角三角形，解直角三角形时，充分使用原始数据，正确选择关系式，使运算尽可能简便、准确。
（2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，转化为直角三角形，间接地解出。
（3）、在解一些较复杂图形时，注意借助于几何图形的性质，可使得问题得到解决。
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
1、在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
一、复习引入
2、仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
3、方向角：指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的水平角叫做方向角
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
4、坡度、坡角
l
h
α
（1）坡度
i＝
h
l
tanα＝
i
（α为坡角）
（2）
例1、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60° ．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据 =1.414， =1.732 ）
二、例题演练
，
解：根据题意得:
，
所以，
，所以，
所以AB=PB
在
中，
PC=450，
所以PB =
所以
答：略
（m)
练习1、 为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区。现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°。问距离 B点8米远的保护物是否在危险区内？
C
D
B
E
30°
60°
A
解：过点C作CE AB于E.
在Rt CBE中,tan30 =
BE=CE tan30 =
在Rt CAE中,tan60 =
AE=CE tan60 =
AB=AE+EB= 6.92(米） 8(米）
距离 B点8米远的保护物不在危险区.
例2、（2008山东青岛）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈9/25，tan21.3°≈2/5， sin63.5°≈9/10，tan63.5°≈2）
东
北
68.7°
D
解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设BD＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝CD/BD，
∴CD＝x ·tan63.5°．
在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝CD/AD，
∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°．
∴x·tan63.5°＝(60x)·tan21.3,
解得，x＝15．
练习2、外国船只,除特许外,不得进入我国海洋100海里以内的区域.如图,设A、B是我们的观察站,A和B之间的距离为160海里,海岸线是过A、B的一条东西直线.一外国船只在P点,在A点测得北偏东450,同时在B点测得北偏西300,问此时是否要向外国船只发出警告,令其退出我国海域.
A
B
P
⌒
⌒
45°
60°
┓
C
例3、一段河坝的横断面为等腰三角形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD。（单位是米，结果保留根号）
A
B
C
D
E
F
4
6
α
练习3拦水坝横断面为梯形ABCD(图中i=1: 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比）根据图中数据求: (1)坡角α和β. (2)斜坡AB的长.
B
A
C
D
E
F
α
β
i=1:
i=1:1
6m
谈谈今天的收获
三、小结
1、应用解直角三角形的知识解决实际问题时要注意：当已知条件或求解中有斜边时，用正弦或余弦，无斜边，用正切;计算结果的精确度要求，一般来说中间量要多取一位有效数字；在题目中求未知量时，应尽量选用直接由已知量求未知量；当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线），再用直角三角形中的边角关系解决。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
四、作业：
见 教科书第97页第9、10题