(共13张PPT)
2.5
全等三角形（四）
1、全等三角形的定义
2.我们学习了几种三角形全等的判定方法？
SAS、ASA、AAS
情境问题:
小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办?
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。
①只给一条边：
②只给一个角：
2.给出两个条件：
①一边一内角：
②两内角：
③两边：
可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等。
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。
先任意画出一个△ABC再画一个△DEF，使AB=DE,BC=EF,AC=DF.把画好的△ABC剪下来，放到△DEF上，它们全等吗？
如何用符号语言来表达呢
在△ABC与△DEF中
A
B
C
D
E
F
AB=DE
AC=DF
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？
例7、如图，AB=CD,BC=DA,求证：∠B=∠D.
D
A
B
C
★证明：在△ABC和△CDA中
AB=CD
BC=DA
AC=CA
∴△ABC≌△CDA（SSS）
（已知）
（已知）
（公共边）
∴
∠B=
∠D
（全等三角形的对应角相等）
例8:
如图，在△ABC中AB＝AC，点D,E在BC上，且
AD=AE,BE=CD
D
E
C
B
A
求证：△ABD≌△ACE
在△ABD和△ACE中
AB=AC
BD=CE
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SSS）
证明：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE
即
DE=CE
2.
三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；
3.书写格式：①准备条件；
②三角形全等书
写的三步骤。
1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。
归纳总结
由"边边边“可知
只要三角形三边的长度确定那么这个三角形的形状和大小也就固定了。
三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形
的形状会改变。
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定，三角形的这个性质叫
三角形的稳定性。
练习1、已知：如图，AB=AD，BC=CD，求证：△ABC≌
△ADC
A
B
C
D
AC
AC
≌
AB=AD
BC=CD
∴
△ABC
△ADC（SSS）
证明：在△ABC和△ADC中
=
（已知）
（已知）
（公共边）
∴
△ABD
≌△DCB(
)
AB
=
CD
AC
=
BD
BC=CB
练习2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
A
B
C
D
SSS
解：△ABC≌△DCB
理由如下：(共14张PPT)
2.5
全等三角形（二）
一、什么是全等三角形？
二、全等三角形有哪些性质？
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，
A′C′＝AC，∠A′＝∠A
（即使两边和它们的夹角
对应相等）.
把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC
上，它们全等吗？
如图△ABC和△
DEF
中，
AB=DE=3
㎝，∠
B=∠
E=300
，
BC=EF=5
㎝
则它们完全重合吗？即△ABC≌△
DEF
？
如图△ABC和△
DEF
中，
AB=DE=3
㎝，∠B=∠
E=300
，
BC=EF=5
㎝
则它们完全重合，即△ABC≌△
DEF
。
归纳：三角形全等识别方法1
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
AB=DE
∠B=∠E
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
练习：
1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立
在△AOB和△DOC中
A0=DO（已知）
=
（对顶角相等）
BO=CO（已知）
∴
△AOB≌△DOC(
).
∠AOB
∠DOC
SAS
（已知）
＝
∠A=∠A（公共角）
=
A
D
C
B
E
∴△AEC≌△ADB
(
).
2.在△AEC和△ADB中
AB
AC
AD
AE
SAS
注意：SAS中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？
再次探究，释疑解惑
B
A
C
D
在△ABC与△ABD中
AB=AB
∠B=∠B
AC=AD
那么△ABC与△ABD全等吗？？？
注意：SAS中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。
例2已知：如图，AB和CD相交于点O，且AO=BO，
CO=DO。
求证：
△ACO
≌
△BDO
证明：在△ACO和
△BDO中
AO=BO
∠AOC=∠BOD
CO=DO
∴
△ACO≌△BDO（SAS）
{
2.
求证两个三角形中的边或角相等时，一般要先证明这两个三角形全等。
三角形全等的判定2：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(边角边或SAS)
？
A
B
C
D
练习1、已知:AD=CD，
BD
平分∠
ADC
。
求证：∠A=∠
C
要证明两个三角形中的边或角相等，可以先证明两个三角形全等。
练习2、如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明△AOB≌△COD的理由。
练习3、如图，AC=BD，∠CAB=
∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。
归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。(共17张PPT)
2.5
全等三角形（三）
1.什么是全等三角形？
2.判定两个三角形全等方法有哪些?
边角边：
有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。
三角形全等判定方法1
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
F
E
D
C
B
A
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角
与这条边的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
图1
图2
在图1中，
边AB是∠A与∠B的夹边，
在图2中，
边BC是∠A的对边，
我们称这种位置关系为两角夹边
我们称这种位置关系为两
角及其中一角的对边。
观察下图中的△ABC，画一个△A
B
C
，使A
B
=AB
,
∠A
=
∠A，
∠B
=
∠B
结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
′
′
′
′
′
′
′
观察：△A
B
C
与
△ABC
全等吗？怎么验证？
画法:
1.画
A
B
=AB；
2.在A
B
的同旁画∠DA
B
=
∠A
,∠EB
A
=
∠B,
A
D、B
E交于点C
′
′
′
′
′
′
′
′
′
A
′
E
D
C
B
′
′
′
思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？
′
′
′
′
′
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。
符号语言表示
已知：如图2-44，点A、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D
求证：△ABE≌△CDF
证明：∵AB∥CD
∴∠A=∠C
在△ABE和△CDF中，
∠A=∠C
AB=CD
∠B=∠D
∴△ABE≌△CDF（ASA）
例题
｛
有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。
符号语言：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
（ASA）
小结：
练习1、AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2。
求证：AB＝AD。
练习2
、如图
，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和△ACD全等吗？为什么？
证明:
在△ABE与△ACD中
∠B=∠C
（已知）
AB=AC
（已知）
∠A=
∠A
（公共角）
∴
△ABE
≌△ACD
（ASA）
练习3,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
利用“角边角定理”可知,带B
块去，可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。
(1)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
(2)
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
知识要点：
（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
数学思想：
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。
练习1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
求证：AC=AD
分析：要证AC=AD，只需证明△ACB≌△ADB，根据三角形内角和定理和“ASA”公理即可。
证明：
∵
∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD
(三角形内角和定理）
在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB
AB=AB
（公共边）
∠ABD=∠ACD
∴
△ACB≌△ADB
（ASA)
∴AC=AD（全等三角形对应边相等）
完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（
）
ASA
A
B
C
D
O
（
）
公共边
∠2=∠1
AAS
∠3＝∠4
∠2＝∠1
CB＝BC
练一练
(1)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
(2)
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
知识要点：
（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等），
角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
数学思想：
要学会用分类的思想，转化的思想解决问题。(共17张PPT)
2.5
全等三角形（一）
请欣赏图片（一）
你能再举一些生活中形状、大小相同的图形吗？
能够完全重合的两个图形称为全等形
两张纸重合后剪纸，得到的两个图形大小、
形状相同。
观察下列各组图形是不是全等图形?为什么?
1.
2.
3.
4.
不全等
全等
全等
不全等
1、两个能够重合的图形称为全等图形。
2、
全等图形的形状和大小都相同.
归纳
A
B
C
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
记作：△ABC≌△A1B1C1
A
B
C
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，
对应边：AB
A1B1，AC
A1C1，BC
B1C1
对应角：∠A
∠A1，
∠B
∠B1，
∠C
∠C1
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
A
B
C
D
E
F
各图中的两个三角形是全等形吗？
平移、翻折、旋转前后的两个三角形的位置改变，但形状、大小不变。
“全等”用符号“≌
”，表示图中的△ABC和△DEF全
等，
全等三角形的表示法
记作△ABC≌
△DEF，读作△ABC全等于△DEF
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
用全等符号表示下列全等三角形,指出对应的顶点,对应边,对应角.
发现：全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等．
全等三角形性质的几何语言
∵△ABC≌△DEF(已知）
∴AB=DE,
AC=DF,BC=EF(全等三角形对应边相等）
∠A=∠D,
∠B=∠E,
∠C=∠F(全等三角形对应角相等）
例1
如图2-37，已知△ABC
≌
△DCB，AB=3，DB=4，
∠A=60
°.
（1）写出△
ABC和△DCB的对应边和对应角。
（2）求AC、DC的长以及∠D的度数。
解：（1）AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；∠A与
∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DCB是对应角。
（2）∵AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，
∴AC=DB=4
AB=DC=3
∵∠A与∠D是全等三角形的对应角
∴∠D=∠A=60
°
O
（2）已知△ABC≌△CDA，
则ＡＣ边的对应边为
（1）已知△ABC≌△ADE，
则∠Ａ的对应角为
（3）已知△ABC≌△DEF，
则AB边的对应边为
∠C的对应角为
CA
∠Ａ
DE
∠F
2、请选择
(1)
△ABC≌
△BAD，点A和点B、点C和点D是对应，如果AB=6cm，BD=5cm，AD=7cm，那么BC的长是（ ）
（A）7cm
（B）6cm
（C）5cm
（
D）无法确定
(2)在上题中，
∠CAB的对应角是（ ）
(A)∠DAB
(B)
∠
DBA
(C)
∠
DBC
(D)
∠
CAD
Ａ
Ｂ
1、什么是全等形？什么是全等三角形？
2、如果两个三角形全等，你可以得到什么结论？你能用几何语言描述吗？
