(共21张PPT)
初中数学八年级(下)
5.4
分式方程（2）
学习目标
1
经历探索分式方程解法的过程。
会解可化为一元一次方程的分式方程。
2
会检验根的合理性,明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别。
3
还记得什么是方程的解吗？
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？
二元一次方程组
转化
一元一次方程
二元一次方程组呢？
去分母、
去括号、
移项、
合并同类项、
化系数为1
加减消元法、
代入消元法
问题导思
分式方程
转化
整式方程
你能设法求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
探究析思
探究析思
解：
方程可化为
两边都乘
，得
化简，得
解得
先约分，再去分母,可以使计算简便
探究析思
解方程
(1)
(2)
例1
探究析思
分式方程的增根
方程两边都乘
,得
解这个方程，得
x=2.
x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根
转化
化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别
区别：未知数的取值范围不同
方程两边都乘
,得
分式方程的增根
方程两边都乘
,得
解这个方程，得
x＝2.
x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根
产生增根的原因,是我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.
因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程
必须检验.
检验，当
x=2时，x-2=0,
x=2是原方程的增根，
所以，原方程无解。
解方程
(1)
(2)
例1
探究析思
检验：将x=3代入原方程，得
左边=1，右边=1，左边=右边.
所以，x=3是原方程的根.
（2）方程两边都乘
,
得
解这个方程，得
x=2.
检验：当
x=2时，x-2=0,
x=2是原方程的增根，
所以，原方程无解。
解：（1）方程两边都乘
,
得
x=3
解这个方程
，得
x=3.
(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
切记：解分式方程一定要验根噢！
检验
方法
分式方程
整式方程
x=a
a
是分式方程的根
a
不是分式方程的根
（a是分式方程的增根）
目标
去分母
解整式方程
最简公分母为0
最简公分母不为0
这里的检验要以解整式方程正确为前提
解方程：
例2
方程两边都乘2x，得
960-600=90x.
解这个方程,得
x=4.
经检验，
x＝4是原方程的根.
解：
去分母，两边同乘最简公分母
（先约分，再去分母可以使计算简便）
化为整式方程求解
检验
下结论
迁移拓思
自主测评
A
C
3、解方程：(1)
(3)
1、解分式方程
，去分母得( )
A．
B．
C．
D．
2、下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A．使所有的分母的值都为零的解是增根
B．分式方程的解为0就是增根
C．使最简公分母的值为0的解是增根
D．使分子的值为0的解就是增根
.
3、解方程：
方程两边都乘x(x－1)，
得
3x＝4(x－1)．
解这个方程，得x＝4.
检验：将x＝4代入原方程，得左边＝1＝右边．
所以，x＝4是原方程的根．
解：
方程两边都乘2x－3，
得x－5＝4(2x－3)．
解这个方程，得x＝1.
检验：将x＝1代入原方程，
得左边＝4＝右边．
所以，x＝1是原方程的根．
自主测评
3、解方程：(3)
方程两边都乘
(x+1)(x-1)，
得
2(x-1)+3(x+1)＝6．
解这个方程，得x＝1.
检验：当x＝1时，
(x+1)(x-1)=0，
所以，x＝1是原方程的増根，
所以，原方程无解。
解：
自主测评
1.去分母时，原方程的整式部分漏乘．
2.约去分母后，分子是多项式时，
要注意加括号．
3.没有检验，增根不舍掉.
4.符号问题.
5.
……
解分式方程容易犯的错误主要有：
总结经验掌握法宝百战百胜
数学知识
思想方法
1、解分式方程
2、分式方程的增根
分式
方程
去分母
整式
方程
解整式方程
类比、转化
检验
下结论
建构反思
课后作业
1、已知关于x的方程
的根是x＝1，求a的值．
2、当m的值为何值时分式方程
会产生增根?
课外延伸
谢谢！(共26张PPT)
初中数学八年级(下)
5.4
认识三角形（第3课时）
学习目标
◆
1.
会根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；
◆
2.
会根据具体问题的实际意义检验方程解是否合理；
◆
3.
会解决一些与分式方程有关的实际问题，发展分析问题，解决问题的能力和应用意识.
引入新课
八年级开展“诵读经典、共沐书香”活动，小颖和小明同读一本名著．根据他们的
对话，你能求出小颖和小明平均每天各能读这本名著多少页吗？
我平均每天比你多读10页
我读200页与你读300页所用的天数相同
本页停留5秒，请暂停视频，仔细读题，想好了再继续.
解得：
x=20
经检验x=20是所列方程的根
∴x+10=30
答：小明平均每天读这本名著20页，
小颖平均每天读这本名著30页.
解:设小明平均每天读这本名著x页，则
小颖平均每天读这本名著（x+10）页
检验：当x=20时，x(x+10)≠0，左边=右边
∴x=20是所列方程的根，且符合实际意义
审
找
设
解
验
答
列
小颖读300页的
时间
小明读200页的
时间
=
引入新课
二元一次方程组
分式方程
方程的应用
类
比
一元一次方程
列方程解应用题的
一般步骤
审、找、设、列、解、验、答.
问题情境
某单位将沿街的一部分房屋出租.
每间房屋的租金第二年比第一年
多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
2.根据这一情境你能提出哪些问题?
3.你能利用方程求出上面提出的问题吗?
②第二年每间房屋的租金－第一年每间房屋的租金
=500元
③第一年出租房屋间数
=
第二年出租的房屋间数
①出租房屋间数=
问题1、求出租的房屋总间数；
问题2、分别求这两年每间房屋的租金.
注：先找基础三者关系，再从
这三个量中分别寻找条件.
本页停留5秒，请暂停视频，仔细读题，认真思考.
解决问题
某单位将沿街的一部分房屋出租.
每间房屋的租金第二年比第一年
多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
问题1、求出租的房屋总间数;
解:设出租的房屋总间数为x间，
根据题意，得
间数
每间房屋的租金
总租金
第一年
第二年
解决问题
某单位将沿街的一部分房屋出租.
每间房屋的租金第二年比第一年
多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
问题1、求出租的房屋总间数;
解:设出租的房屋总间数为x间，
由题意得：
解得
：x=12.
经检验，x=12是所列方程的根.
答：出租的房屋总间数为12间.
千万不要忘记写检验哟！
解决问题
某单位将沿街的一部分房屋出租.
每间房屋的租金第二年比第一年
多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
问题2、分别求这两年每间房屋的租金.
解:设第一年每间房屋的租金为y元，则第二年每间房屋的租金为(y+500)元，根据题意，得
间数
每间房屋的租金
总租金
第一年
第二年
解决问题
某单位将沿街的一部分房屋出租.
每间房屋的租金第二年比第一年
多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
问题2、分别求这两年每间房屋的租金.
解:设第一年每间房屋的租金为y元，则第二年每间房屋的租金为(y+500)元，由题意得：
解得：
y=8000
经检验，y=8000是所列方程的根.
y+500=8500.
答：第一年每间房屋的租金为8000元，第二年每间房屋的租金为8500元.
现今水资源情况
目前，全世界有1
/6的人口、约10亿多人缺水。专家估计，到2025年世界缺水人口将超过25亿。
我国的人均水资源量只有2300立方米，仅为世界平均水平的1/4，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。
饮用水短缺
干旱
人为的浪费
现今水资源情况
保障饮水安全，维护生命健康
珍惜水、节约水、保护水
典型例题
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨
小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元.已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5
m3，求该市今年居民用水的价格.
等量关系：
②今年用水价格=去年用水价格×
③今年7月用水量－去年12月用水量=5m3
①用水量=
用水价格
用水量
总水费
去年12月
今年
7月
本页停留5秒，请暂停视频，写出完整解答过程.
设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的用水价格为(1＋
)
x元/m3,
由题意得：
解得：
经检验，
是所列方程的根.
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
典型例题
解：
化简，得
（1）审：审清题意；
（2）找：找出等量关系；
（3）设：设出未知数(直接设法、间接设法)；
（5）解：解分式方程；
（7）答：写出答案.
（4）列：用代数式表示等量关系，列出分式方程；
（6）检：必须检验根的正确性与合理性；
归纳
列分式方程解应用题的步骤
验！验！验！
最重要！
巩固练习
1.
小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元
买了一种文学书.
科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书
比所买的文学书少1本.
这种科普书和这种文学书的价格各是多少?
等量关系：
1.书本数=
2.科普书价格=文学书价格×1.5
3.所买文学书本数－所买的科普书本数=1
本页停留5秒，请暂停视频，完成后再看解答.
解:设文学书的价格是每本x元，则
科普书的价格是每本1.5x元.
由题意得：
解得
：
x=5
经检验，x=5是所列方程的根.
∴1.5x=1.5×5=7.5
答:文学书的价格是每本5元，
科普书的价格是每本7.5元.
巩固练习
2.
某商店销售一批服装，每件售价350元，可获利25%，求这种服装的成本价．
设这种服装的成本价为x元，则可列方程为（ ）
A．x＝350×25%
B．25%×x＝350
C．
D．350﹣x＝25%
本页停留5秒，请暂停视频，完成后再看解答.
3.港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳
门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间
3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，
则可列方程为
．
巩固练习
2.
某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x元，则得到方程（ ）A．x＝150×25%
B．25%×x＝150
C．
D．150﹣x＝25%
C
利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝
×100%
利润＝150－x
分式方程
整式方程
巩固练习
3.港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳
门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间
3小时，平均速度是原来的2.5倍，
如果设通车前的平均时速为x千米/小时，
则可列方程为
．
速度
时间
路程
通车前
通车后
通车前的时间－通车后的时间=3小时
表格法分析：
等量关系：
能力提升
4.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
哪个队的施工速度快？
表格法分析：
工作时间（月）
工作效率
工作总量“1”
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要x个月.
此时，列方程为：
本页停留5秒，请暂停视频，认真审题、仔细思考.
能力提升
4.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
哪个队的施工速度快？
解：设乙单独完成这项工程需要x个月.
记工作总量为1，甲的工作效率是
，
由题意得：
化简得：
解得
：x=1.
经检验x=1是所列方程的根.
∵乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，
∴乙队的施工速度快.
能力提升
4.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
哪个队的施工速度快？
想一想：本题的列方程所用的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
工作时间
工作效率
工作总量“1”
甲单独
两队合作
设乙单独完成这项工程需要x天.
此时，列方程为：
1
课堂小结
实际问题
找等量关系
设未知数、列方程
数学问题
(分式方程)
解方程
方程的解
检验
实际问题
的答案
建模
(1)收费问题：总价=单价×数量
(2)利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝
×100%
(3)行程问题：
路程＝速度×时间
(4)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间
……
基本等量关系
课堂小结
和（差）、倍（分）
当堂检测
利用分式方程解决下列问题：
为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的
单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．求A和B
两种图书的单价.
解：（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，由题意得：
解得：
x＝20，经检验，x＝20是所列方程的根，且符合题意，
∴1.5x＝30．答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
本页停留5秒，请暂停视频，完成后再看解答.
课后作业
课本P130
谢谢！(共26张PPT)
初中数学八年级(下)
5.4
分式方程（1）
学习目标
情境引入
钟南山院士乘坐的高铁列车从广州驶向武汉。已知这两地相距1100
km，乘高铁列车从广州到武汉比乘特快列车少用
7
h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.5倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为
x
km/h，那么
x
满足怎样的方程？
（3）如果设乘高铁列车从甲地到乙地需
y
h，那么
y
满足怎样的方程？
探究新知-1
广州与武汉两地相距1100km，乘高铁列车比乘特快列车少用
7
h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.5倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
答：等量关系有：
探究新知-1
3.特快时间﹣高铁时间=7
4.高铁速度=特快速度×
2.5
基本数量关系：速度×时间=路程
行程问题
高铁时间
1.
=
高铁速度
1100
特快时间
2.
=
特快速度
1100
广州与武汉两地相距1100km，乘高铁列车比乘特快列车少用
7
h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.5倍．
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为
x
km/h，那么
x
满足怎样的方程？
x
2.5x
1100
1100
表格分析：
设速度
表示时间
用时间关系列方程
探究新知-1
基本数量关系：速度×时间=路程
速度
（km/h）
时间
（h）
路程
（km）
高铁
特快
广州与武汉两地相距1100km，乘高铁列车比乘特快列车少用
7
h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.5倍．
（3）如果设乘高铁列车从广州到武汉需
y
h，那么
y
满足怎样的方程？
y
y
+7
1100
1100
设时间
表示速度
用速度关系列方程
探究新知-1
基本数量关系：速度×时间=路程
速度
（km/h）
时间
（h）
路程
（km）
高铁
特快
只要人人都献出一点爱
已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
某校为表达全校师生对一线抗疫战士的敬意，培养学生感恩社会的意识，号召全体师生自愿捐款，为抗疫贡献自己的力量。
情境引入-2
若已知七年级同学捐款总额为4800
元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多
20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为
x
人，那么
x
满足怎样的方程？
x
x+20
4800
5000
探究新知-2
基本数量关系：人均捐款额×人数=捐款总额
设人数
表示人均捐款额
用人均捐款额的关系列方程
人均捐款额
人数
捐款总额
七年级
八年级
若已知七年级同学捐款总额为4800
元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多
20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为
x
人，那么
x
满足怎样的方程？
y
4800
5000
探究新知-2
七年级人均捐款额为y元
y
y
基本数量关系：人均捐款额×人数=捐款总额
设人均捐款额
表示人数
用人数的关系列方程
人均捐款额
人数
捐款总额
七年级
八年级
点拨归纳
速度
×
时间
=
路程
单价
×
数量
=
总价
工作效率×
时间
=
工作总量
单位量
×
数量
=
总量
人均捐款额×
人数
=
总捐款额
√
模型特征：
基本数量关系：
议一议：比较左右两边的方程,
有什么不同?
特征识别
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程
整式方程
找找看，下列关于x的方程中哪些是分式方程：
（
）
（
）
（
）
（
）
否
是
是
否
跟踪练习
注意：1.有分母
2.分母中有未知数
1.下列关于x的方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？请你连连看。
巩固练习
2.受疫情影响，
今年1-2月我国消费、投资、工业生产均大幅收缩。数据显示，1-2月份，社会消费品零售总额52130亿元，比去年同期下降20.5%.设去年我国社会消费品零售总额为x亿元，请你写出x满足的方程。你能写出几个方程？其中哪些是分式方程？
巩固练习
为应对疫情，武汉仅用十天时间就建造了可容纳1000张床位的火神山医院，被赞“中国速度”，“难以置信的建设者”。在建设中，多个环节齐头并进，又无缝衔接，体现了人民巨大的智慧。其中搬运板房构件这一环节，由于受场地和时间限制，不能都用机械，故采用人工搬运与机械搬运相结合的方式。
已知若单独人工搬运6天可以完成一半任务，若人工与机械同时进行，2天就可以完成后一半任务。设单独采用机械搬运
x
天可以完成后一半任务，那么x满足怎样的分式方程？
突破·提升
已知若单独人工搬运6天可以完成一半任务，若人工与机械同时进行，2天就可以完成后一半任务。设单独采用机械搬运
x
天可以完成后一半任务，那么x满足怎样的分式方程？
基本数量关系：工作效率×工作时间=工作总量
工程问题
单位1
巩固练习
工作效率
工作时间
工作总量
人工
机械
合作
点拨归纳
速度
×
时间
=
路程
单价
×
数量
=
总价
工作效率×
时间
=
工作总量
单位量
×
数量
=
总量
人均捐款额×
人数
=
总捐款额
√
模型特征：
基本数量关系：
点拨归纳
实际问题
建立分式方程
找到数量关系
列分式方程解决实际问题的一般思路
抽象出数学模型
梳理总结
①从实际问题抽象出数学模型的建模思想
②体会分式方程在实际问题中的广泛应用
1.知识方面
2、技能方面
3.思想方法
①掌握分式方程的概念：分母中含有未知数的方程
②能够建立分式方程解决实际问题
①通过观察、对比的方法，归纳出分式方程的概念
②能借助表格分析数量关系
课堂检测
1．下列方程中是分式方程的是（ ）
A．
B.
C.
D.
2．某学校计划挖条长为300米的供热管道，开工后每天比原计划多挖5米，结果提前10天完成若设原计划每天挖x米，那么下面所列方程正确的是（ ）
A．
B.
C.
D.
3．为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为
．
4．李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物，用80
hm2耕地种植经济作物，为了增加粮食作物的种植面积，该村计划将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作物的种植面积与经济作物的种植面积之比为5：7，设有x
hm2种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
答案：1.D
2.A
3.
4.
建议做题时间10分钟
概念明晰
方程思想
建模思想
左边的这些方程有什么共同特点？
这样的方程怎么称呼?
议一议：比较左右两边的方程,
有什么不同?
整式方程
分式方程
概念明晰
广州与武汉两地相距1100km，乘高铁列车比乘特快列车少用
7
h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.5倍．
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为
x
km/h，那么
x
满足怎样的方程？
探究新知-1
3.特快时间﹣高铁时间=7
4.高铁速度=特快速度×
2.5
x
x
2.5x
2.5x
﹣
=7
基本数量关系：速度×时间=路程
谢谢！
