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北师大版数学八年级上2.7
二次根式
第一课时
导学案
课题
2.7
二次根式
第一课时
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
了解二次根式的定义并能用其确定未知数的取值范围；
了解最简二次根式的意义，并能做出准确的判断；
能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
重点
难点
能用定义确定未知数的取值范围，把二次根式化为最简二次根式。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
阅读教材第41~42页，回答下列问题
一般的，形如（a≥0）的式子叫做
。
计算下列
各式：
=
，
×
=
；
=
，
；
=
，
.
总结：=
（a≥0，b≥0）；（a≥0，b≥0）
3、最简二次根式的两个特点：①
；②
.
合
作
探
究
探究1
1、观察下列代数式
：
，
，
，
，
（其中b=24，c=25）
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）你发现它们有什么共同特征了吗？
总结：（1）一般的，形如（a≥0）的式子叫做
；a叫做
。
（2）二次根式的特点：
.
例1
判断下列代数式中哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
x(5)
例2：当x
是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
思考：当
x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
呢？
(1)当
x
时，
在实数范围内有意义。
(2)当
x
时，
在实数范围内有意义。
探究2
做一做
（1）计算下列式子，你能得到什么猜想？
=
，
×
=
；
=
，
；
=
，
.
猜想：
.
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
与
×
与
.
总结：=
（a≥0，b≥0）
（a≥0,b＞0）
例3
化简：
（1）
；（2）
；（3）
.
总结：（1）一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做
.
（2）最简二次根式的特点：
.
例4
化简：
（1）
；（2）
（3）
.
总结：化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是
或者
时，先
，然后利用
的性质，将式子化简。
（2）如果被开方数是
时，先利用
的性质，将其变成二次根式相除的形式，然后利用
，将式子化简。
当
堂
检
测
1．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，一定是二次根式的有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.
若a是小于零的实数，则下列二次根式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.化简：
（1）；
（2）
（3）
课
堂
小
结
1、二次根式的定义
2、二次根式有意义的条件
3、算术平方根的积和商的计算
4、化简
参考答案
自主学习：
二次根式
2、6；6；；；；
总结：×；3、被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
合作探究：
探究1
1、（1）分别表示5,11,7.2，
，
）
的算术平方根。
（2）都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
总结：（1）二次根式；被开方数．
（2）①表示a的算术平方根；②a可以是数,也可以是式；③形式上含有二次根号；
④a≥0,
≥0(
双重非负性，这是判断是否为二次根式的依据。)⑤既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例1
（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是；（5）是；（6）是
例2
解：要使
在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥-2。
∴ 当x≥-2时，
在实数范围内有意义。
思考：（1）为任意实数；（2）为非负数
探究2
做一做
（1）6；6；；
猜想：=
×（a≥0，b≥0）
（a≥0,b＞0）
（2）
×
.
总结：×
例3
解：（1）
×
=9×8=72；
（2）
=
×
5
；
（3）
=
=
.
总结：（1）最简二次根式；（2）被开方数不含分母;
被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
例4
解：（1）
=
5
；
（2）
（3）
.
总结：（1）正数；整式；分解因数；积的算术平方根；（2）分数；商的算术平方根；分母有理化。
当堂检测：
C；2、D；
3、解：（1）5；（2）；（3）
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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2.7
二次根式
北师大版
八年级上
新知导入
1、求下列各数的平方根：
（1）36；（2）；（3）6.25；（4）?
2、填空：
（1）面积为5
的正方形的边长为_______，面积为a
的正方形的边长为_______。
（2）一个长方形围栏，长是宽的2
倍，面积为22m2，则它的宽为______m。
新知导入
观察下列代数式
：
，
，
，
，
（其中b=24，c=25）
（2）你发现它们有什么共同特征了吗？
都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示5,11,7.2，
，
）
的算术平方根。
新知讲解
1.二次根式的概念
一般地，形如
式子叫做二次根式．a叫做被开方数．
（2）a可以是数,也可以是式；
（3）
形式上含有二次根号
；
（4）
a≥0,
≥0
（5）既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
（1）表示a的算术平方根；
(
双重非负性，这是判断是否为二次根式的依据。)
2.二次根式的特点：
新知讲解
例1
判断下列代数式中哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4)
x(5)
是
不是
是
是
是
新知讲解
∴ 当x≥-2时，
在实数范围内有意义。
解：要使
在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥-2。
例2：当x
是怎样的实数时，
在实数范围内有意义？
新知讲解
(2)当
x
时，
在实数范围内有意义。
(1)当
x
时，
在实数范围内有意义。
思考：当
x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
呢？
为任意实数
为非负数
新知讲解
做一做
（1）计算下列式子，你能得到什么猜想？
=
，
×
=
；
=
，
；
=
，
.
6
6
结论×
，.
思考：你能用字母表示你的猜想吗？
（a≥0，b≥0）
=
×
（a≥0,b＞0）
新知讲解
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
与
×
与
.
×
.
新知讲解
（a≥0，b≥0）
×
=
（a≥0,b＞0）
语言表述：
算术平方根的商，等于各个被开方数商的算术平方根。
语言表述：
算术平方根的积，等于各个被开方数积的算术平方根。
新知讲解
例3
化简：
（1）
；（2）
；（3）
.
解：（1）
×
=9×8=72；
（2）
=
×
5
；
（3）
=
=
.
被开方数中都不含字母，也不含能开得尽方的因式.
新知讲解
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式
1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2、最简二次根式的特点:
1、最简二次根式的概念:
化简时，通常要求最终结果中分母不含根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
新知讲解
例4
化简：
（1）
；（2）
（3）
.
解：（1）
=
5
；
（2）
（3）
.
新知讲解
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是正数或者整式时，先分解因数，然后利用积的算术平方根的性质，将式子化简。
（2）如果被开方数是分数时，先利用商的算术平方根的性质，将其变成二次根式相除的形式，然后利用分母有理化，将式子化简。
课堂练习
1.在根式①
②
中，最简二次根式是（
）。
A.①②
B.③
C.①③
D.①
2、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A.x≥3
B.x≤3
C.x＞3
D.x＜
3、对任意实数a，则下列等式一定成立的是（
）
A.
a
B.
-a
C.
=±a
D
=
C
A
D
课堂练习
4、化简：
（1）
（2）
（3）
解：（1）=
；
（2）
（3）
.
拓展提高
5、已知y=+2，求xy的值。
解：由题意得，3-x≥0且x-3≥0，
解得x≤3且x≥3，所以，x=3，y=2，
所以xy=32=9
课堂总结
1、二次根式的定义
2、二次根式有意义的条件
4、化简
3、算术平方根的积和商的计算
板书设计
课题：2.7
二次根式
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、二次根式的定义
二、二次根式有意义的条件
三、算术平方根的积和商的计算
四、化简
作业布置
基础作业
教材第43页作业题第1、2、3题
能力作业
教材第43页作业题第4题
谢谢
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