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北师大版数学八年级上二次根式
第二课时导学案
课题
二次根式
第二课时
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
通过对公式的反向运用，得到并且掌握二次根式的乘法、除法运算法则；
会运用二次根式运算法则进行二次根式混合运算，并能适当运用运算律简化运算。
重点
难点
会运用二次根式运算法则进行二次根式混合运算，并能适当运用运算律简化运算
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
积的算术平方根用式子表示为：
；
商的算式平方根用式子表示为：
.
2、把上面两个式子等号的左右两边对换得二次根式的
和
，它们
是：
和
.
合
作
探
究
探究1
例3
计算：
（1）
×；（2）
；（3）
例4
计算：
（1）3
×2
；(2）
-5；（3）（
1）?；
（4）（
3）（
3）；（5）（
）×
；（6）
探究2
例5
计算：
（1）
；(2）
；（3）
（
）×
.
总结：
1、几个二次根式化为
后，若
相同，则这几个二次根式就叫做
.
2、判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：
（1）
；（2）
.
3、二次根式的加减法的步骤：
.
例6
计算：
（1）
；
(2）；
（3）
（
÷
；（4）
-
.
议一议：
求代数式
的值，其中a=3，b=2.
想一想：
你能化简吗？
做一做
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法?与同伴交流．
当
堂
检
测
1、下列二次根式中，不能与合并的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、a是-5的整数部分，则a为（
）
A．-1
B．1
C．0
D．-2
3、化简：
（1）（+2）（1-）；
（2）(-)(+)；
（3）(2?)2。
4、计算：x?x2+6x，其中x=5。
课
堂
小
结
二次根式的乘除
（a≥0，b≥0），（a≥0，
b＞0）．
2、二次根式的加减，即为对同类二次根式的合并。
先化为最简二次根式，再把同类二次根式合并。
参考答案
自主学习：
1、=
×（a≥0，b≥0），（a≥0,b＞0）
2、乘法；除法；×=；（a≥0,b＞0）
合作探究：
探究1
例3
解：（1）
×=
2；
（2）
=
=
=
；
（3）
=
=
=
例4
解：（1）3
×2
=-3×2×
=6
；
(2）
-5=
-5=
6-5=1；
（3）（
1）?=
（
）?+2
+1=5
?+2
+1=6
+2
；
（4）（
3）（
3）=
（
）?-3?=13-9=4；
（5）（
）×
=
×
；
（6）
=
+
=2+35.
探究2
例5
解：
（1）
=
=4
=5
；
(2）
=
=
；
（3）
（
）×
=
+
=2
+3
=5
.
总结：
1、最简二次根式；被开方数；同类二次根式
2、（1）先化简；（2）再观察。
3、（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
例6
解：
（1）
-
；
(2）=
；
（3）
（
÷
=
÷
÷
=
=
=
=
=
（4）
-
=
-
=
-
=
议一议
解：由题意知
a＞0，b＞0.
===
=
当a=3，b=2时
原式=
想一想
(
=
)
做一做
（1）直接求法
由图形知AB//CD，过点D作DE⊥AB于E.
在三个小直角三角形中，利用勾股定理可分别求出：
DC=
,AB=5,DE=3.
则梯形ABCD的面积=（5+）×3=18
（2）间接求法
如图，将梯形ABCD补成一个长方形
.
用长方形的面积减去四周三个小三角形的面积就是梯形的面积.
则梯形ABCD的面积=5×7－×5×5－×4×2－×1×1=18
当堂检测：
C；2、D；
3、解：（1）（+2）（1-）=-3+2-2=-1-；
（2）(-)(+)
=5-7=-2；
(2?)2
=8+3-4=11-4。
4、解：原式=x?3?-x2?+6x?
=2x?
-x?+3x?=（2x-x+3x）?=4x?,
当x=5时，原式=4×5×=20。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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2.7
二次根式
第二课时
北师大版
八年级上
新知导入
当x是多少时，在实数范围内有意义。
分析：根据被开方数大于等于0以及分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解。
解：依题意有x≥0且2x-1≠0，
解得x≥0且x≠
故当x≥0且x≠
时，在实数范围内有意义。
新知讲解
（a≥0，b≥0），
=
×
（a≥0,b＞0）
分别把下面两个式子
等号的左边与右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：
（a≥0，b≥0），
×=
=
（a≥0,b＞0）
新知讲解
例3
计算：
（1）
×；（2）
；（3）
解：（1）
×=
2；
（2）
=
=
=
；
（3）
=
=
=
新知讲解
同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。
新知讲解
例4
计算：
（1）3
×2
；(2）
-5；（3）（
1）?；
（4）（
3）（
3）；（5）（
）×
；（6）
解：（1）3
×2
=-3×2×
=6
；
(2）
-5=
-5=
6-5=1；
（3）（
1）?=
（
）?+2
+1=5
?+2
+1=6
+2
；
新课讲解
解：（4）（
3）（
3）=
（
）?-3?=13-9=4；
（5）（
）×
=
×
；
（6）
=
+
=2+3
5.
新课讲解
例5
计算：
（1）
；(2）
；（3）
（
）×
.
解：（1）
=
=4
=5
；
(2）
=
=
；
（3）
（
）×
=
+
=2
+3
=5
.
新课讲解
几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如(1)化简之后的4
，(2)中化简之后的，均为同类二次根式。
同类二次根式：
新课讲解
注意：被开方数与最简二次式前面的因式及符号无关。
1、先化简：把各个二次根式都化为最简二次根式。
2、再观察：化简后的二次根式的被开方数是否相同。
判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：
新课讲解
二次根式的加减法的步骤
（3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
注意：对被开方数相同的二次根式进行合并，实质是对被开方数相同的二次根式的系数进行合并。
新课讲解
例6
计算：
（1）
；
(2）；
（3）
（
÷
；（4）
-
.
解：
（1）
-
；
(2）=
；
新课讲解
解：（3）
（
÷
=
÷
÷
=
=
=
=
=
（4）
-
=
-
=
-
=
对于第（3）题，你还有哪些做法？试一试，看一看结果是否一致？
化成最简根式后与化简后的被开方数不可能相同，因此，结果保留，不必将它化成最简二次根式.
新课讲解
议一议：求代数式
的值，其中a=3，b=2.
当a=3，b=2时
原式=
解：由题意知
a＞0，b＞0.
新课讲解
想一想：你能化简吗？
=
新课讲解
做一做：
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法?与同伴交流．
（1）直接求法
由图形知AB//CD，过点D作DE⊥AB于E.
在三个小直角三角形中，利用勾股定理可分别求出：
则梯形ABCD的面积
＝18
.
E
新课讲解
（2）间接求法
如图，将梯形ABCD补成一个长方形
.
用长方形的面积减去四周三个小三角形的面积就是梯形的面积.
则梯形ABCD的面积
＝18
.
课堂练习
1、下列二次根式中与合并的二次根式的是（
）
B.
C.
D.
2、估算×
×
的结果在（
）
A.6至之间
B.
7至
C.
8至9之间
D.9至10之间
D
B
课堂练习
3、
计算：
（1）×
（2）3×2
(3);
(4)
（5）
2；（6）(
+(-)
解：（1）×
==×=7
（2）3×2
3×2
=6
=6×
=30
课堂练习
解：
(3)=
===;
（4）
=
=
=
=
；
（5）
2
=
4
=14
;
（6）
(
+(-)
=
2-
=3
+
拓展提高
在Rt△ABC中，∠C=900，AC=
，BC=
，
求它的面积及斜边长。
解：Rt△ABC的面积S=
×AC×BC=
×（
）
×（
）=
。
根据勾股定理得：AB=
=
所以Rt△ABC的面积为
，斜边长为
课堂总结
2、二次根式的加减，即为对同类二次根式的合并。
先化为最简二次根式
把同类二次根式合并
1、二次根式的乘除
（a≥0，b≥0），
×=
=
（a≥0,b＞0）
板书设计
课题：2.7
二次根式（2）
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、二次根式的乘除
二、二次根式的加减
作业布置
基础作业
教材第45页作业题第1题
能力作业
教材第48页作业题第1题
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