5.3万有引力定律与天文学的新发现
跟踪训练（含解析)
1．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0、在赤道的大小为g，地球自转的周期为T。则地球的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．计算天体质量必须用到引力常量G
B．引力常量G是牛顿首先测量的
C．地球对物体的引力与地球对月球的引力不是同一性质的力
D．月球绕地球运动，其向心力的来源是月球对地球的引力
3．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径是地球直径的两倍，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的（ ）
A．0.25倍
B．0.125倍
C．2倍
D．0.5倍
4．假设地球为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0、在赤道处的大小为g，地球半径为R，则地球自转的周期T为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．我们可以采用不同方法“称量”地球。例如，卡文迪许在实验室里通过测量铅球之间的作用力，推算出引力常量G，就可以“称量”地球。已知引力常量G，利用下列数据可以“称量”地球质量的是（ ）
A．月球绕地球做圆周运动的周期和速度
B．月球绕地球做圆周运动的周期和月球的半径
C．地球绕太阳做圆周运动的周期和速度
D．地球绕太阳做圆周运动的周期和地球与太阳的距离
6．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，该星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比（ ）
A．1：36
B．1：6
C．36：1
D．6：1
7．已知地球与月球的质量之比及半径之比分别为a、b，则关于近地卫星与近月卫星做匀速圆周运动的下列判断正确的是（ ）
A．周期之比约为
B．加速度之比约为
C．速度之比约为
D．从近地轨道进入到地月转移轨道，卫星必须减速
8．一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为
A．
B．
C．
D．
9．若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
10．一物体从一行星表面某高度处自由下落（不计阻力）.自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图所示，则根据题设条件可以计算出
A．行星表面重力加速度大小
B．行星的质量
C．物体落到行星表面时的速度大小
D．物体受到星球引力的大小
11．2004年1月4日，“勇气”号成功登陆火星。已知火星半径与地球半径之比R火：R地=1：2，火星质量与地球质量之比m火：m地=1：10，火星到太阳的距离与地球到太阳的距离之比r火：r地=3：2；若火星、地球绕太阳运动均可视为匀速圆周运动，则火星表面重力加速度g火与地球表面重力加速度g地之比g火：g地=_____，火星绕日公转周期T火与地球绕日公转周期T地之比T火：T地=_____。
12．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为________________．
13．一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则行星运动的加速度为_________，恒星的质量为___________。
14．我国的火星探测器计划于2020年前后发射，进行对火星的科学研究．假设探测器到了火星上空，绕火星做匀速圆周运动，并测出探测器距火星表面的距离为h，以及其绕行周期T和绕行速率V，不计其它天体对探测器的影响，引力常量为G，求：
(1)火星的质量M．
(2)若，求火星表面的重力加速度g火大小．
15．已知某星球表面重力加速度大小为，半径大小为R自转周期为T，万有引力常量为求：
该星球质量；
该星球同步卫星运行轨道距离星球表面的高度；
该星球同步卫星运行速度的大小．
参考答案
1．B
【解析】
在地球两极表面，万有引力等于物体的重力，则有
在赤道处，万有引力和重力的合力提供物体做圆周运动向心力，有
联立解得
选项B正确，ACD错误。
故选B。
2．A
【解析】
A．若不考虑它的自转时，天体表面上质量为m的物体所受的重力mg等于天体对它的万有引力，即
解得
由于绕行天体或卫星匀速圆周运动的向心力来源于万有引力，则有
解得
综上分析可知，计算天体质量必须用到引力常量G，故A正确；
B．引力常量G的数值是由卡文迪许测量出来的，故B错误；
C．地球对物体的引力与地球对月球的引力是同一性质的力，都是万有引力，故C错误；
D．月球绕地球运动，其向心力的来源是地球对月球的引力，故D错误。
故选A。
3．B
【解析】
ABCD．设地球质量为M，半径为R，宇航员的质量为m，地球对宇航员的万有引力
该星球对宇航员的万有引力
ACD错误B正确。
故选B。
4．B
【解析】
地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，地球半径为R，则
地球表面的重力加速度在赤道处的大小为g，地球自转的周期为T，则
联立解得：
故B项正确，ACD错误；
故选B。
【点睛】
在考虑地球自转时，随着纬度的增加，重力加速度增加。
5．A
【解析】
A．根据月球绕地球做圆周运动的周期和速度由可求解月球到地球的距离r，根据可求解地球的质量，选项A正确；
B．根据，则已知月球绕地球做圆周运动的周期T和月球的半径R不能求解地球的质量，选项B错误；
C．已知地球绕太阳做圆周运动的周期和速度由可求解地球到太阳的距离r，根据可求解太阳的质量，选项C错误；
D．根据，已知地球绕太阳做圆周运动的周期和地球与太阳的距离，可求解太阳的质量，选项D错误。
故选A。
6．C
【解析】
在地球表面附近重力与万有引力近似相等，则有
解得
所以
选项C正确，ABD错误。
故选C。
7．A
【解析】
A．根据
解得
可得
故A正确；
B．根据
解得
可知
故B错误；
C．根据
解得
可知
故C错误；
D．从近地轨道进入到地月转移轨道，要做离心运动，所以要加速，故D错误。
故选A。
8．D
【解析】
当压力为零时，
，
又
，
联立解得
，
所以ABC错误；D正确．
9．AB
【解析】
A．根据平抛运动规律：
L＝v0t
h＝g月t2
联立解得g月＝，A正确；
B．由：
mg月＝G
解得：m月＝＝，B正确；
C．v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，C错误；
D．月球的平均密度：
ρ＝＝
D错误。
故选AB。
10．AC
【解析】
根据离行星表面的高度落地时间求出行星表面的重力加速度，从而再求出落地的速度．
【详解】
物体离行星表面的高度为25m，落地时间为2.5s，根据，得出重力加速度g，再根据公式v=gt，求出落地的速度，故AC正确；由于不知道行星的半径，所以不能求出行星的质量，故B错误；由于不知道物体的质量，所以不能求出物体受到行星的引力大小，故D错误．所以AC正确，BD错误．
【点睛】
本题主要考查了根据运动学公式求出行星表面的重力加速度和落地速度．以及知道万有引力等于重力，因为不知行星的半径，不能求出中心天体的质量，以及不知物体的质量m，而不能求出引力大小．
11．
【解析】
[1]星球表面的重力等于万有引力
可得
同理可得地球和火星表面的重力加速度分别为
联立并代入数据解得
[2]火星、地球绕太阳运动均可视为匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力
可得
代入数据可得
12．
;
【解析】
令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：，
由于地球的质量为：M=ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成：．根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度为：g′=
Gρπ（R-d）．所以有：.
点睛：本题考查万有引力定律的应用，要注意抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在矿井底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．
13．
【解析】
(1)行星运动的加速度为
(2)根据
恒星的质量
14．（1）
（2）
【解析】
(1)设探测器绕行的半径为r，则：
得：
设探测器的质量为m，由万有引力提供向心力得：
得：
(2)设火星半径为R，则有
又得：
火星表面根据黄金代换公式有：
得：
【点睛】（1）根据周期与线速度的关系求出半径，再根据万有引力提供向心力求解火星质量；
（2）根据黄金代换公式可以求出．
15．（1）；（2）；（3）；
【解析】
由
解得星球质量为：????
由??
且
解得：
由???
解得：
点睛：本题首先明确在星球表面万有引力等于重力，其次要会用万有引力提供向心力的各种表达式，基础题．5.3万有引力定律与天文学的新发现
跟踪训练（含解析)
1．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为；地球自转的周期为，引力常量为。地球的密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知木星的质量为M，半径为R，密度为ρ，自转周期为T0，赤道处的重力加速度为g，万有引力常量为G。木星的一颗卫星质量为m，到木星中心的距离为r，绕木星做匀速圆周运动的周期为T，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．A、B两颗行星，质量之比为MA/MB=p，半径之比为RA/RB=q，则两行星表面的重力加速度为（
）
A．p/q
B．pq2
C．p/q2
D．pq
4．某宇航员在某星球表面，将一质量为m的小球由静止释放，小球做自由落体运动，测得小球下落高度为h，所用的时间为t，若该星球的半径为R，万有引力常量为G，则该星球的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1:2，两行星半径之比为2:1，则下列选项正确的是（ ）
A．两行星密度之比为4:1
B．两行星质量之比为2:1
C．两行星表面处重力加速度之比为2:1
D．两卫星的速率之比为:1
6．为了验证拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力以及地球、众行星与太阳之间的作用力是同一性质的力，同样遵从平方反比定律，牛顿进行了著名的“月地检验”．已知月地之间的距离为60R（R为地球半径），月球围绕地球公转的周期为T，引力常量为G．则下列说法中正确的是（ ）
A．物体在月球轨道上受到的地球引力是其在地面附近受到的地球引力的
B．由题中信息可以计算出地球的密度为
C．物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的
D．由题中信息可以计算出月球绕地球公转的线速度为
7．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为（???
）
A．
B．R
C．
D．2R
8．已知引力常量G和下列某几组数据，就能计算出地球的质量，这几组数据是（ ）
A．飞船绕月球运行的周期及飞船离月球中心的距离
B．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
C．月球绕地球运行的周期及月球离地心的距离
D．人造地球卫星的线速度及卫星到地心的距离
9．火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的1/9，那么
(
)
A．火星的密度约为地球密度的9/8
B．火星表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的9/4
C．火星表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的4/9
D．火星上的第一宇宙速度约为地球上第一宇宙速度的/3
10．2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测得到卫星绕地球运动的周期T，已知地球的半径R和地球表面处的重力加速度g。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，不计地球自转的影响，由此可以计算出（ ）
A．“张衡一号”的密度
B．“张衡一号”所受万有引力的大小
C．“张衡一号”在轨运行时角速度的大小
D．“张衡一号”在轨运行时距离地面的高度
11．现有两颗人造地球卫星A、B的质量之比mA∶mB
=
1∶2，轨道半径之比rA∶rB
=
1∶3，则此时它们的线速度之比vA∶vB
=________，向心加速度之比aA∶aB
=_______，向心力之比FA∶FB
=__________.
12．某星球的质量为地球的9倍，半径为地球的一半，则在该星球表面上的重力加速度为地球表面上__________倍，若从地球上高h处平抛一物体，物体射程为60m，从同样的高度，以同样的初速度在星球上平抛同一物体，射程应为_________m．
13．假设地球可视为质量均匀分布的球体。经测量，某质量为m的重物在两极的重力大小为F0、在赤道的重力大小为F，地球自转的转速为n。则离地高度等于地球半径的轨道重力加速度为__，地球的半径为__。
14．宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为v，已知该星球质量均匀，半径为R，引力常量为G，求：
（1）小球落地时竖直方向的速度vy的值；
（2）该星球的质量M的值。
15．宇航员登上一半径为R的星球表面，为测定该星球的质量，他用长细线一端拴一小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动常称为圆锥摆运动），如图所示。若测得O点到圆面距离为h，圆锥摆的周期为T，已知万有引力常量为G。请推导出：
(1)该星球表面重力加速度g的表达式；
(2)该星球质量M的表达式。
参考答案
1．B
【解析】
在两极处的物体所受的重力等于万有引力，即
在赤道处的物体做圆周运动的周期等于地球的自转周期，则
则密度
故ACD错误，B正确。
故选B。
2．C
【解析】
A．根据开普勒第三定律
可知，式中的r为卫星的轨道半径，T为卫星公转的周期；而R0是星球半径，T0为星球自转的周期，故该关系式不成立，故A错误；
B．在星球表面上的物体，若不考虑星球自转，则万有引力等于重力，则有
解得；由题知，星球自转的不可忽略，故该关系式不成立，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力，则有
解得
根据密度公式有
联立解得，故C正确；
D．在赤道上的物体，对其受力分析，则有
解得，故D错误。
故选C。
3．C
【解析】
置于星球表面的物体，万有引力等于重力，即
解得
A、B两颗行星，质量之比为MA/MB=p，半径之比为RA/RB=q所以
故选C。
【点睛】
要求物理量之比，先据物理规律求出对应物理量的表达式，再用已知物理量借助表达式来进行比较
4．B
【解析】
小球下落的过程中根据自由落体运动规律有
解得
质量为m的物体，在星球表面，星球对它的引力等于其重力，有
解得星球质量
故B正确，ACD错误。
故选B。
5．A
【解析】
A．任一卫星绕行星表面做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，得
则得行星的质量
行星的密度
两个卫星的周期之比为，由上式可得，两行星密度之比为，故A正确；
B．行星质量为
已知两个卫星的周期之比为，两行星半径之比为，由此可得，两行星质量之比为，故B错误；
C．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力，得
解得
结合两行星半径之比为，质量之比为，解得两行星表面处重力加速度之比为，故C错误；
D．根据圆周运动公式
可得两卫星的速率之比为，故D错误。
故选A。
6．C
【解析】
试题分析：根据万有引力定律可得物体在地面附近受到地球的引力为，物体在月球轨道上受到的地球引力为，故A错误；根据公式可得，解得地球质量，地球的体积，故地球的密度，B错误；根据公式解得，故物体在月球轨道上绕地球公转的向心加速度是其在地面附近自由下落时的加速度的，C正确；根据公式可得月球绕地球公转的线速度为，D错误
考点：考查了万有引力定律的应用
【名师点睛】做本题的关键是对公式的灵活应用，万有引力这块公式较多，涉及的物理量较多，在使用的时候一定要注意各个物理量表示的含义，然后选择正确的公式分析解题，假设拉住月球使它围绕地球运动的力与地球上物体受到的引力是同一种力，根据已知量结合牛顿第二定律求出月球绕地球运行的加速度进行比较分析
7．A
【解析】
设地球的质量为M，某个物体的质量为m，则在地球表面有：
??
①
在离地面h高处轨道上有：
??
②
由?①②联立得：
h=（-1）R
A．，与结论相符，选项A正确；
B．R，与结论不相符，选项B错误；
C．，与结论不相符，选项C错误；
D．2R，与结论不相符，选项D错误；
8．CD
【解析】
根据
解得
则已知行星（或卫星）的周期T和半径r可计算中心天体的质量M。
A．已知飞船绕月球运行的周期及飞船离月球中心的距离可计算月球的质量，选项A错误；
B．已知地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离可计算太阳的质量，选项B错误；
C．已知月球绕地球运行的周期及月球离地心的距离可计算地球的质量，选项C正确；
D．由
可得
可知，已知人造地球卫星的线速度及卫星到地心的距离可计算地球的质量，选项D正确。
故选CD。
9．CD
【解析】
A.密度
可得
故A错误；
BC.重力加速度
，，
故B错误，C正确；
D.第一宇宙速度
，
故D正确．所以CD正确，AB错误。
故选CD正确。
10．CD
【解析】
A．“张衡一号”的密度
由于卫星质量、体积未知，无法求出卫星密度，故A错误；
B．“张衡一号”所受万有引力的大小
由于卫星质量未知，无法求出所受万有引力的大小，故B错误；
C．根据
可以求得卫星在轨运行时角速度的大小，故C正确；
D．对于地球表面物体有
由此可得
设“张衡一号”在轨运行时距离地面的高度为h，则卫星绕地球运动有
解得
可以求得“张衡一号”在轨运行时距离地面的高度，故D正确。
故选CD。
11．
9:1
9:2
【解析】
由得：所以：
由得：
由牛顿第二定律可得
12．36
10
【解析】
根据万有引力提供向心力，，所以重力加速度，因为某星球的质量为地球的9倍，半径为地球的一半，则在该星球表面上的重力加速度为地球表面上36倍，，重力加速度是地球重力加速度的36倍，所以平抛运动的时间为地球上物体的1/6，，所以射程为地球射程的1/6，即10m
故答案为36
10
13．
【解析】
[1]在两极有：
离地高度等于地球半径的轨道，有：
解得：
[2]在赤道，有：
解得地球的半径为：
14．（1）；（2）
【解析】
（1）小球做平抛运动，则落地时水平速度为v0，则
（2）小球竖直方向上
vy=gt
则
星球表面万有引力等于重力，则有
解得
15．(1)；(2)
【解析】
（1）小球做匀速圆周运动，由所受合外力提供向心力得
解得
（2）在星球表面，万有引力提供重力得
解得
