章末复习提升课
[学生用书P74])
[学生用书P74])
1．根式的性质
(1)＝0(n∈N
)．
(2)()n＝a(n∈N
)
(3)＝a(n为奇数，n∈N
)．
＝|a|＝(n为偶数，n∈N
)．
2．分数指数幂
(1)a＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)．
(2)a－＝＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．对数的运算性质
已知a>0，b>0，a≠1，M>0，N>0，m≠0.
(1)logaM＋logaN＝loga(MN)．
(2)logaM－logaN＝loga.
(3)logbn＝logab.
4．换底公式及常用结论
已知a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0，m>0，m≠1，c>0，c≠1.
(1)logaN＝；
(2)logab＝＝loganbn；
(3)alogaN＝N；
(4)logab·logba＝1；
(5)logab·logbc·logca＝1.
5．指数函数的图象与底数的关系
(1)底数的取值与图象“升降”的关系：
当a>1时，图象“上升”；当0
(2)底数的大小决定图象位置的高低：
在y轴右侧“底大图高”；在y轴左侧“底大图低”，如图所示有a>b>1>c>0.
6．对数函数的图象与底数的关系
(1)对于底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．
(2)作直线y＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小，如图，a>b>1>c>d>0.
7．f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内零点个数的关系
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点的个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)．
(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定有f(a)·f(b)<0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0.
1．对数的运算应注意的问题
(1)注意对数运算性质和换底公式的灵活应用，还要注意alogaN＝N的应用．
(2)注意真数的变化和运算符号，以及公式运用过程中范围的变化．
2．判断y＝af(x)(或y＝logaf(x))型函数单调性需要注意的问题
(1)研究u＝f(x)的单调性时，定义域是x的取值集合，即y＝af(x)(或y＝logaf(x))的定义域．
(2)研究y＝au(或y＝logau)的单调性，要注意定义域是u的取值集合，即u＝f(x)的值域．
3．求对数函数定义域应注意的问题
求对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
有关指数、对数的运算问题[学生用书P75]
计算下列各式：
(1)7－3－6＋
；
(2)log3·log5[4log210－(3)－7log72]．
[解] (1)原式＝7×3－3×3×2－6×3－＋(3×3)＝3－2×3＋3＝2×3－2×3＝0.
(2)原式＝log3·log5[2log210－(3)－7log72]
＝·log5(10－3－2)
＝·log55
＝－.
指数与对数函数综合问题[学生用书P75]
已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1，2]上有解，求m的取值范围．
[解] (1)证明：任取x1f(x1)－f(x2)＝log2(2x1＋1)－log2(2x2＋1)＝log2，
因为x1所以0<<1，所以log2<0，
所以f(x1)(2)由g(x)＝m＋f(x)得
m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2＝log2，
当1≤x≤2时，≤≤，
所以≤1－≤，
所以m的取值范围是.
函数的零点与方程根的关系及应用[学生用书P76]
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．从图象上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，思考时要多加注意．
(1)若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝|ln
x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
[解析] (1)分三种情况，在同一坐标系中画出y＝|ax|和y＝x＋a的图象如图．结合图象可知方程|ax|＝x＋a有两个解时，有a>1.
(2)①当0x＝1，解得x＝.
②当1x＋2－x2单调递减，值域为(ln
2－2，1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
③当x≥2时，f(x)＋g(x)＝ln
x＋x2－6单调递增，值域为[ln
2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．
综上所述，原方程有4个实根．
[答案] (1)(1，＋∞) (2)4
1．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
解析：选C.f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.由f(x)>3得02．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
解析：设x1，x2是函数f(x)的零点，
则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有即
解得0答案：(0，1]
3．若关于x的方程logx＝在区间(0，1)上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：要使方程有解，只需在函数y＝logx(0因为x∈(0，1)，所以logx>0.所以>0.所以0答案：04．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x(x∈N
)台的收入函数为R(x)＝3
000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4
000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
解：由题意知，x∈[1，100]，且x∈N
.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝3
000x－20x2－(500x＋4
000)＝－20x2＋2
500x－4
000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2
500(x＋1)－4
000－(－20x2＋2
500x－4
000)＝2
480－40x.
(2)P(x)＝－20＋74
125，当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为74
120(元)．
因为MP(x)＝2
480－40x是减函数，所以当x＝1时，MP(x)的最大值为2
440(元)．
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值．
5．已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a>0，且a≠1)，g(x)＝.
(1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标；
(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1，2)上有唯一零点．
解：(1)因为函数y＝logax的图象恒过点(1，0)，
所以函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1)．
(2)证明：F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋2)－1－，
因为函数F(x)的图象过点，
所以F(2)＝，即loga4－1－＝，
所以a＝2.所以F(x)＝log2(x＋2)－－1.
所以函数F(x)在(1，2)上是增函数．
又因为F(1)＝log23－2<0，F(2)＝>0，
所以函数F(x)在(1，2)上有零点，故函数F(x)在(1，2)上有唯一零点．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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本部分内容讲解结束
知识网络体系构建
织网·把脉·贯通
分数指数幂}(1)根式;(2)分数指数幂、有理数指数幂
指数与指数函数
指数函数(1)定义;(2)图象和性质;(3应
用〕
指数
数
对数(1对数的概念;(2)对数的性质和运算法则
对数与对数函数
对数
对数函数}(1)定义;(2)图象和性质;(3)应用
函数
和幂
幂函数(1)定义;(2图象和性质;(3)应用
函数
函数与方程(1)二次函数与一元二次方程;(2)用二分法求方程的近似解
函数的应用
函数模型及其应用
知识要点易错提醒
要点·梳理·清错
y
y-a
主题串讲,综合提高
情研·悟道·突破
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