第2课时 函数模型的应用
1.通过对函数模型应用实例的学习，会对收集到的相关数据所作出的散点图进行拟合，并建立适当的数学模型．
2．会运用常见的函数模型来解决一些简单的实际问题．
[学生用书P70]
1．解答应用问题的基本思想和程序
2．根据收集的数据解决问题的过程
通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：
第一步：收集数据．
第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
第四步：选择其中的几组数据求出函数模型．
第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．
第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．
以上过程可用程序框图表示如下：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)中，系数k的取值会影响函数的性质．( )
(2)在幂函数模型的解析式y＝axn＋b(a≠0)中，a的正负会影响函数的单调性．( )
答案：(1)√ (2)√
2．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A．y＝20－x，0
B．y＝20－2x，0C．y＝40－x，0D．y＝40－2x，0答案：A
3．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金________元．
答案：5.6
4．(2019·南京高一检测)某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是____________．
答案：y＝
用一次函数解决实际应用题[学生用书P71]
某市自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4
t时，每吨为1.80元，当用水超过4
t时，超过部分每吨3.00
元，某月甲，乙两用户共交水费y元，已知甲，乙两用户该月用水量分别为5x，3x.
(1)求y关于x的函数．
(2)若甲，乙两用户该月共交水费26.4元，分别求出甲，乙两用户该月的用水量和水费．
【解】 (1)当甲的用水量不超过4
t时，即5x≤4，
乙的用水量也不超过4
t，此时
y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x.
当甲的用水量超过4
t，乙的用水量不超过4
t，即3x≤4且5x>4时，
y＝4×1.80＋3x×1.80＋3×(5x－4)＝20.4x－4.8.
当甲、乙的用水量都超过4
t，即3x>4时，
y＝24x－9.6，
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增函数，
所以当x∈时，y≤f＝11.52<26.4；
当x∈时，y≤f＝22.4<26.4，
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，
所以5x＝7.5，甲用户用水量为7.5
t，
付费s1＝4×1.80＋3.5×3＝17.70(元)；
3x＝4.5，乙用户用水量为4.5
t，
付费s2＝4×1.80＋0.5×3＝8.70(元)．
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)，在现实生活中较为常见，例如：匀速直线运动中路程和时间的关系，力的大小与弹簧的伸缩之间的关系等，均用到一次函数模型，在这些问题中，k和b都有实际意义．
(2)若已知函数类型，则一般用待定系数法求出解析式．
甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由．
解：(1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b，经过点(1，1)和(6，2)，可求得k＝0.2，b＝0.8，所以y甲＝0.2(x＋4)，
同理可得y乙＝4.
第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为
26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小，原因是：第1年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
当x＝＝2.25≈2时，y甲·y乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2
最大．即第2年规模最大，为31.2万只．
用二次函数解决实际应用题[学生用书P72]
据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
【解】 (1)设y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，
y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.
解得a＝.所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10，25]，
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
利用二次函数模型解决问题的方法
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
2.某工厂生产某种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台这样的机器需再增加可变成本0.25万元．据市场调研分析，此种机器的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－x2(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，该工厂所得利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？
解：(1)当x≤5时，产品能全部售出；
当x>5时，只能售出500台，故利润函数为
L(x)＝R(x)－C(x)＝
＝
(2)当0≤x≤5时，L(x)＝－x2＋x－，
当x＝时L(x)max＝10.781
25(万元)．
当x>5时
，L(x)<12－1.25＝10.75(万元)．
所以生产475台时利润最大．
(3)由或
得x≥4.75－≈0.11(百台)或x≤48(百台)，
所以产品年产量在11台到4
800台时，工厂不亏本．
用指数、对数型函数解决实际应用题[学生用书P72]
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1
m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
【解】 (1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1
m/s.
(2)由v2－v1＝1，即log3
－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
保持本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8
100个单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
解：(1)将θ＝8
100代入函数解析式，
得v＝log381＝×4＝2
(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8
100个单位时，它的游速是2
m/s.
(2)令v＝0，得log3＝0，
即＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
解决指数、对数型函数模型的方法
(1)有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．
(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
一种放射性元素，最初的质量为500
g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(精确到0.1)．
解：(1)最初的质量为500
g，
经过1年，w＝500(1－10
%)＝500×0.91，
经过2年，w＝500×0.92，由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t＝250，得0.9t＝0.5，
lg
0.9t＝lg
0.5，tlg
0.9＝lg
0.5，t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．
2．实际问题的建模方法
(1)认真审题，准确理解题意．
(2)从实际问题出发，抓住数量关系，恰当引入变量或建立直角坐标系，应用已有的数学知识和方法，将数量关系用数学符号表示出来，建立函数关系式．
(3)研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出解答．
(4)数学建模系统图，如图所示．
如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)．在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积．
[解] 设四边形EFGH的面积为S，
由题意得：S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DHG＝(a－x)·(b－x)，
由此得S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x＝－2＋，
S＝－2＋，由题意可得函数的定义域为{x|0b>0，所以0若≤b，即a≤3b时，x＝，使面积S取得最大值；
若>b，即a>3b时，函数S(x)在(0，b]上是增函数，
因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2.
综上可知，若a≤3b，当x＝时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a>3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2.
(1)错因：本题得出面积S的函数表达式后容易忽略实际问题中自变量x的取值范围：0b>0，所以当a>3b时，>b，自变量x不能取得，面积S不能取得最大值.
(2)实际问题中自变量x的取值范围及实际意义对函数模型的影响不可忽略.
1．某商店将原价每台2
640元的彩电以9折出售后仍获利20%，则彩电每台进价为________元．
解析：设进价为a，则2
640×90%－a＝20%a，解得a＝1
980.
答案：1
980
2.
如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；
(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
解析：(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．
(3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5，6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则
解得故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
3.
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
解析：由三角形相似，
即＝，得x＝×(24－y)，
所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，
故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：15，12
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．
解析：由
得
所以y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75万件
[学生用书P123(单独成册)])
[A 基础达标]
1．某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3
000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，则y与x之间的函数解析式为( )
A．y＝3
000－2.5x(100≤x≤1
200)
B．y＝3
000－2.5x(100200)
C．y＝3
000－2.5x(0＜x＜1
200)
D．y＝3
000－2.5x(0≤x≤1
200)
解析：选A.因为3
000÷2.5＝1
200，
所以100≤x≤1
200.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元
B．300元
C．290元
D．280元
解析：选B.设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1
300)，
则
解得
所以y＝500x＋300，
当x＝0时，y＝300.
所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90℃的物体，放在10
℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50
℃，那么t的值约等于(参考数据：ln
3≈1.099，ln
2≈0.693)( )
A．1.78
B．2.77
C．2.89
D．4.40
解析：选B.由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln
＝－ln
2＝－0.693，解得t≈2.77.
4．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只
B．400只
C．500只
D．600只
解析：选A.由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
5．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元
B．0.90元
C．1.20元
D．0.80元
解析：选B.设x为通话时间，y为通话费用，则y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是大于x的最小整数，x＞0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.90.故选B.
某工厂年产量逐年递增，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率为________．
解析：设平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，所以x＝－1.
答案：－1
7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2
km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)
的关系，其中甲在公园休息的时间是10
min，那么y＝f(x)的解析式为________．
解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝
答案：y＝f(x)＝
8．三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
解析：根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，是指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，是对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，是幂函数型变化．
答案：y3 y2 y1
9．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围？
解：(1)由题意得
y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×[1
000×(1＋0.6x)](0整理，得y＝－60x2＋20x＋200(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，根据题意必须满足即
解不等式组，得0故为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是010．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在有盈利的条件下，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N
)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
解：(1)设未赠礼品时的销售量为m，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)m×1.1n(0)．
(2)令yn＋1－yn≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0，解之得n≤9，
所以y1即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8，所以y9＝y10>y11>…>y19，
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
[B 能力提升]
1如图所示，要在一个边长为150
m的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到70%，则道路的宽为________m．(精确到0.01
m)
解析：设道路宽为x，则＝30%，解得x1≈24.50，x2≈275.50(舍去)．
答案：24.50
2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为________．
解析：由已知，得a＝a·e－50k，
所以e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
所以＝(e－k)t1＝＝，
所以＝，
即＝3，t1＝75.
答案：75
3．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
解：(1)依题意知y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，
由题意得所以a＝2，
所以y＝
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，
则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1
024，所以16≤x≤64.
当x＞64时，要使y∈[4，10]，
则x∈[4，10]，即40≤x≤100，
所以64＜x≤100.
综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元)．
4．(选做题)医学上为了研究传染病传播过程中病毒细胞的生长规律及其预防措施，将一种病毒细胞的m个细胞注入一只小白鼠的体内进行试验．在试验过程中，得到病毒细胞的数量与时间(h)的关系记录如下表：
时间(h)
1
2
3
4
5
6
7
病毒细胞总数
m
2m
4m
8m
16m
32m
64m
已知该病毒细胞在小白鼠体内超过m×106个时，小白鼠将会死亡，但有一种药物对杀死此种病毒有一定效果，在最初使用此药物的几天内，每次用药将可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(结果精确到小时，lg
2≈0.301
0)
解：(1)设第一次最迟应在第n小时注射药物．由病毒细胞生长规律可知，第n小时病毒细胞数为m×2n－1个，为了使小白鼠不死亡，应有m×2n－1≤m×106?2n－1≤106，
所以(n－1)lg
2≤6，n≤1＋≈20.9.
所以第一次最迟应在20小时注射药物．
(2)第20小时小白鼠体内的病毒细胞数为m×219(1－98%)
＝m个，设第一次注射药物后的第t小时必须注射药物，则m×2t≤m×106，
所以2t＋20≤108，(t＋20)lg
2≤8，所以t≤－20≈6.58，
所以第二次药物注射最迟应在注入病毒细胞后26小时，才能维持小白鼠的生命．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第1课时 函数模型
1.了解常见的六种函数模型的解析式及其性质． 2.理解直线上升，指数增长，对数增长等不同函数的增长的含义．
3．掌握建立函数模型的一般方法．
[学生用书P67]
1．常见函数模型
名
称
解析式
条
件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝a＋
a≠0
指数函数模型
y＝b·ax＋c
a＞0且a≠1，b≠0
对数函数模型
y＝mlogax＋n
a＞0且a≠1，m≠0
幂函数模型
y＝axn＋b
a≠0
2.函数模型的确定
(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系．
(2)利用待定系数法，确定具体函数模型．
(3)对所选定的函数模型进行适当的评价、比较，并选择最恰当的模型．
(4)根据实际问题对模型进行适当的修正．
3．四类函数的增长差异
y＝2x，y＝x2，y＝2x，y＝log2x在(0，＋∞)上的增长有明显的不同(如图)．
①y＝2x，直线上升，为匀速增长，其增长量固定不变；
②y＝x2，沿抛物线上升，其增长速率越来越快，随着自变量的不断增长，y＝x2的增长量与y＝2x的增长量的差距越来越大；
③y＝2x沿指数曲线上升，这种指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法比的．随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容．
④y＝log2x沿对数曲线上升，这种对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度．
一般地，函数y＝kx(k>0)，呈直线上升，y＝xn(n∈N
，n≥2)呈幂增长，y＝ax(a>1)为指数增长，y＝logax(a>1)为对数增长．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(3)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝100x
B．y＝log100x
C．y＝x100
D．y＝100x
答案：D
3．某厂原来月产量为a，1月份增产10%，2月份比1月份减产10%，设2月份产量为b，则a，b的大小关系为________．
答案：a>b
4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________．
答案：y＝2x(x∈N
)
函数模型的增长差异[学生用书P68]
函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln
x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，e，a，b，c，d为分界点)．
【解】 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln
x＋1.
由题图知，当0h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
1.函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点x1，x2为分界点且x1解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg
x.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
数据信息类函数模型的拟定[学生用书P68]
某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2016
2017
2018
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
【解】 建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．
(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝×－42，故g(4)＝×－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系．
不同函数模型的拟定标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x的变化的数据如下表
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
答案：y2
图形信息类函数模型的拟定[学生用书P69]
某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示．(单位：万元)
分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．
【解】 设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
由题意设f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由图①知f(1)＝，所以k1＝.
由图②知g(4)＝，所以k2＝.
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
用函数图象分析函数模型是一种常见的题型，是高考中一道亮丽的风景线．主要考查学生识图的能力，利用图象信息分析问题和解决问题的能力．这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值等)，即可得到完美的解决．
为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式．其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
解：(1)设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(300，35)，C(300，15)分别代入得k1＝，k2＝.
所以y1＝x＋29，y2＝x.
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，得x＝966.
当x＝966时，两种卡收费一致；
当x＜966时，y1＞y2，即“如意卡”便宜；
当x＞966时，y1＜y2，即“便民卡”便宜．
四类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型．
某厂两年内每月产值的增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了多少？
[解] 不妨设去年2月份的产值是b，
则去年3月份的产值是b(1＋a)，
去年4月份的产值是b(1＋a)2，
…
故今年2月份的产值是b(1＋a)12，
所以这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了＝(1＋a)12－1.
(1)本题易对增长率问题的公式y＝N(1＋P)x未能理解透彻，而造成指数写错．事实上，指数x是基数所在时间与所跨过的时间的间隔数．
(2)解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关：
①事理关：通过阅读、理解明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．
②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．
③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化．构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力．
1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )
A．y＝50
B．y＝1
000x
C．y＝0.4×2x－1
D．y＝ex
解析：选D.指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.
2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1
715
3
645
6
655
y2
5
29
245
2
189
19
685
177
149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4
则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3
B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1
D．y1，y3，y2
解析：选C.通过指数型函数，对数型函数，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
答案：甲
[学生用书P121(单独成册)])
[A 基础达标]
1．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数
B．幂函数
C．指数型函数
D．对数型函数
解析：选D.初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映y与x的关系，故选D.
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
解析：选D.从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双
B．400双
C．600双
D．800双
解析：选D.要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，
即10x－(5x＋4
000)≥0，解得x≥800.
4．若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg
x
B．2x>lg
x>x
C．x>2x>lg
x
D．lg
x>x>2x
解析：选A.结合y＝2x，y＝x及y＝lg
x的图象易知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg
x.
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
解析：选D.显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________．
解析：流速为＝，x分钟可流x，
则y＝22－x(0≤x≤200)．
答案：y＝22－x(0≤x≤200)
7．有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a
L
水，t
min后，剩余水y
L满足函数关系y＝ae－nt，那么乙桶的水就是y＝a－ae－nt，假设经过5
min，甲桶和乙桶的水相等，则再过________min，甲桶中的水只有
L.
解析：由题意可得，5
min时，ae－5n＝a，n＝ln
2，那么ae－ln
2＝a，所以t＝15，即再过10
min，甲桶中的水只有
L.
答案：10
8.
如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30
m2；
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是________．
解析：由题意知图象单调递增，底数大于1，又过点(2，4)，故①对；令t＝5，得y＝25＝32>30，故②对；若浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过的时间是1.5个月，则有12＝23.5，因为23.5＝8≠12，故③错；由指数函数模型的图象上升特征，可知④错．
答案：①②
9．一批商品按期望获得50%的利润定价，结果只销售出70%的商品，为了尽早销售剩下的商品，商场决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%，问打几折？
解：设商品的成本价为a，商品打x折，由题意，得×30%＝0.5a×82%－0.5a×70%，
解得x＝8.即商品打八折．
10.如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9
m，AB＝10
m，BC＝2.4
m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4
m，宽为
2
m
的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道右壁多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?
解：分析已知条件，得抛物线顶点坐标为(5，2.5)，C点坐标为(10，0)．
设抛物线方程为y＝a(x－5)2＋2.5，①
把(10，0)代入①，得0＝a(10－5)2＋2.5，
解得a＝－.所以y＝－(x－5)2＋2.5.
当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－(x－5)2＋2.5，
解得x1＝8，x2＝2.显然x2＝2不合题意，舍去．所以x＝8.OC－x＝10－8＝2(m)．
故汽车的右侧离隧道右壁至少2
m，才不至于碰到隧道顶部．
[B 能力提升]
某商家一月份至五月份累计销售额达3
860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7
000万元，则x的最小值是________．
解析：由题意得
3
860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7
000(x＞0)，
化简得x2＋300x－6
400≥0，
解得x≥20或x≤－320(舍去)，所以x≥20，
即x的最小值为20.
答案：20
从盛满30
L纯酒精的容器里倒出1
L酒精，然后用水填满，再倒出1
L混合溶液后再用水填满，这样继续进行，如果倒第k次(k≥1)时共倒出纯酒精x
L，倒第k＋1次时共倒出纯酒精f(x)L，则f(x)的函数关系式是________．
解析：每次倒出纯酒精应为混合溶液体积乘质量百分数．第k＋1次倒时，容器里还剩(30－x)L纯酒精，所以酒精的浓度为.而又倒出1
L混合溶液，故倒出的纯酒精为L，所以f(x)－x＝，
所以f(x)＝1＋.
答案：f(x)＝1＋x
3．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12
000米/秒时，
2
000·ln＝12
000，
所以ln＝6，所以＝e6－1.
答案：e6－1
4．(选做题)某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2010年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：
f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2017年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2017年的年产量．
解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．
由已知得
解得
所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N
.
(2)2017年预计年产量为f(8)＝1.5×8＋2.5＝14.5，
2017年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第2课时 用二分法求方程的近似解
1.结合实例，了解二分法求方程近似解的思想． 2.理解函数与方程相互转化的数学思想方法，会用二分法求简单的函数零点(方程的根)的近似解． 3.能够正确理解精确度与精确到的区别，掌握求方程近似解的一般方法．
[学生用书P63]
1．二分法
条件
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)<0
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
2.二分法求函数零点近似值的步骤
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( )
(3)二分法只可用来求函数的零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以选取的初始区间是 ( )
A．[－2，1]
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[1，2]
答案：A
3．下列函数中，必须用二分法求其零点的序号是________．
①y＝x＋7；②y＝5x－1；
③y＝log3x；④y＝－x.
答案：④
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln的零点时，第一次经计算f(0)<0，f>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案： f
二分法概念的理解[学生用书P64]
下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是________．(填序号)
【解析】 题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x轴的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件，判断是否可以使用二分法．
【答案】 ②
使用“二分法”所具备的条件
“二分法”与判定函数零点的知识密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．
(2019·苏州质检)下列图中4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是________(填序号)．
解析：①有一个零点为区间左端点，零点右侧函数值为正，左侧无函数值；②有零点但零点左右函数值同号，④的图象在R上不连续，它有三个零点均不是变号零点，③的图象连续且4个零点均为变号零点，可使用二分法．
答案：①②④
用二分法求方程的近似解[学生用书P65]
用二分法求方程x2－5＝0的正的近似解(精确到0.1)．
【解】 设f(x)＝x2－5，则
f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0.
所以x2－5＝0的正根x0∈(2.2，2.4)．
因为(2.2，2.4)的中点为x1＝2.3，而f(2.3)＝0.29>0，
所以f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2，2.3)．
再取区间(2.2，2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062
5>0.因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2，2.25)．因为(2.2，2.25)的中点为x3＝2.225，
f(2.225)≈－0.049<0.
因为f(2.225)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.225，2.25)，取(2.225，2.25)中点，
x4＝2.237
5，f(2.237
5)≈0.006>0.
因为f(2.225)·f(2.237
5)<0，所以x0∈(2.225，2.237
5)．
因为2.225与2.237
5精确到0.1的近似值均为2.2.
所以所求近似解为2.2.
利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(a，b)；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
方程为2x＝3－x，用二分法求方程的近似解．
解：如图所示，由函数y＝2x与y＝3－x的图象，可以发现，方程2x＝3－x有唯一解，并且这个解在(0，2)上，又当x＝1时，有21＝3－1＝2.
所以方程2x＝3－x有唯一解x＝1.
应用型问题[学生用书P65]
在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10
km长的线路，每隔50
m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？
【解】 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10
km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100
m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．
有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．
3.某电视台有一档娱乐节目猜物品的价格，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1
000元之间，选手开始报价：1
000元，主持人说：高了，紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
解：取价格区间[500，1
000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1
000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次可以猜中价格．
1．对二分法的理解
二分法是不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．零点所在区间的变化规律
(1)已知条件：函数y＝f(x)的零点x0∈[a，b]，c＝.
(2)零点所在区间的变化规律．(不妨设f(a)<0，f(b)>0)
f(c)
图示
零点所在区间
f(c)＝0
f(c)<0
(c，b)
f(c)>0
(a，c)
设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________．
[解析] 由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
解得b＝4，
c＝2.
所以f(x)＝
所以方程f(x)＝x等价于
或
分别解得x＝2，x＝－1，x＝－2.故应填3.
[答案] 3
本题易出现以下错解：
由f(－4)＝f(0)得：
－4b＋c＋16＝c，①
由f(－2)＝－2得：
－2b＋c＋4＝－2，②
由①②得b＝4，c＝2.
所以f(x)＝
由f(x)＝x得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－1或x＝－2.
所以应填2.
以上错解忽视了当x>0时，f(x)＝2.f(x)为分段函数，故方程f(x)＝x表示在不同限定条件下的多个方程，忽视这一点，则会导致错误结论．
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln
x
解析：选C.对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点，故选C.
2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
解析：选B.由f(a)f(b)<0，f(a)f>0可知ff(b)<0，根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．
解析：由零点存在性定理得方程的根落在区间(1.25，1.5)．
答案：(1.25，1.5)
4．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算，f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析：由二分法得，x0∈(0，0.5)，第二次应计算区间(0，0.5)中点处函数值的正负情况，即计算f(0.25)．
答案：(0，0.5) f(0.25)
5．求函数f(x)＝|x|－cos
x，x∈(－∞，＋∞)的零点个数．
解：问
题等价于求方程|x|＝cos
x在(－∞，＋∞)上根的个数．
设y1＝|x|，y2＝cos
x，在同一坐标系内作出y1、y2的图象，如图．
当x>时，y＝|x|>>1，y＝cos
x≤1，
当x<－，y＝|x|>>1，y＝cos
x≤1.
故两函数图象只在内有两个交点．
故函数f(x)＝|x|－cos
x在(－∞，＋∞)内只有两个零点．
[学生用书P119(单独成册)])
[A 基础达标]
1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
解析：选C.f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1，2)．
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的判断中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
解析：选A.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2，4)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．无法确定
解析：选B.因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
解析：选B.由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，易知函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.
5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4]
B．[－2，1]
C.
D．
解析：选D.因为第一次所取的区间是[－2，4]，
所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，
所以第三次所取的区间可能为，，，.
6．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1，4]内有零点，用二分法求解时，取(1，4)的中点a，则f(a)＝________．
解析：显然(1，4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
答案：－2.25
根据下表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
解析：令f(x)＝ex－x－2，则f(－1)＝0.37－1＜0，f(0)＝1－2＜0，f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，f(3)＝20.09－5＞0，所以f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)的一个零点位于区间(1，2)内，即方程ex－x－2＝0的一个根所在区间为(1，2)．
答案：(1，2)
8．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下表，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4)；⑤(4，5)；⑥(5，6)；⑦(6，＋∞)．
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
答案：③④⑤
9．求方程x2－2x－1＝0的正的近似解(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x2－2x－1，
画出函数图象的简图．(如图所示)
经计算知，f(2)<0，f(3)>0?x1∈(2，3)，
f(2)<0，f(2.5)>0?x1∈(2，2.5)，
f(2.25)<0，
f(2.5)>0?x1∈(2.25，2.5)，
f(2.375)<0，f(2.5)>0?x1∈(2.375，2.5)．
f(2.375)<0，f(2.437
5)>0?x1∈(2.375，2.437
5)，
因为2.375与2.437
5精确到0.1的近似值都为2.4，
所以此方程的正的近似解为x1≈2.4.
10．求方程x(x－1)(x＋1)＝1的所有近似解．(精确到0.1)
解：原方程可化为x3＝x＋1，作出函数y＝x3及y＝x＋1的图象如图所示，易知两函数图象仅有一个公共点，即方程x3＝x＋1有且只有一个解．设f(x)＝x3－x－1，则由f(1)<0，f(2)>0可知，方程x3＝x＋1的解位于区间(1，2)内，由二分法可求得近似解为1.3.
[B 能力提升]
1．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确到0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：选C.开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确到0.01，所以<0.01，
又n∈N
，所以n≥7，且n∈N
，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
2．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，当|an－bn|解析：设a∈，则－an＝<，则x0－a≤－an<.
答案：
3．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？
解：第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．所以最多称四次．
4．(选做题)求方程3x＋＝0的近似解(精确到0.1)．
解：原方程可化为3x－＋1＝0，即3x＝－1.
在同一平面直角坐标系中，分别画出函数g(x)＝3x与h(x)＝－1的简图，如图所示：
因为g(x)与h(x)的图象交点的横坐标位于区间(－1，0)且只有一个交点，所以原方程只有一解x＝x0.
令f(x)＝3x＋＝3x－＋1，
因为f(0)＝1－1＋1＝1>0，f(－0.5)＝－2＋1＝<0，所以x0∈(－0.5，0)．
用二分法求解，列表如下：
中点值
中点(端点)函数值
取值区间
f(－0.5)<0，f(0)>0
(－0.5，0)
－0.25
f(－0.25)≈0.426
5>0
(－0.5，－0.25)
－0.375
f(－0.375)≈0.062
3>0
(－0.5，－0.375)
－0.437
5
f(－0.437
5)≈－0.159
4<0
(－0.437
5，－0.375)
因为－0.437
5≈－0.4，－0.375≈－0.4，
所以原方程的近似解可取为－0.4.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
连续不断
f(a)·f(b)<0
一分为二
逼近零点
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本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破
2x
y
2
123
3-x第1课时 函数的零点
1.了解函数零点的概念及零点的分类． 2.理解函数零点存在定理，结合二次函数及对应的一元二次方程理解函数的零点及方程根的联系． 3.掌握判断函数零点所在区间、函数零点的个数等方法技巧．
[学生用书P60]
1．零点
一般地把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
2．二次函数与一元二次方程的关系
当a＞0时，Δ≥0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点与二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根是一致的．当Δ＜0时，二次函数无零点，一元二次方程无实数根．
3．函数零点的存在性定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数都有零点．( )
(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)＝log2(2x－1)的零点是( )
A．1
B．2
C．(1，0)
D．(2，1)
答案：A
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．
答案：a>1
4．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．
答案：(1.25，1.5)
求函数的零点[学生用书P61]
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；
(4)f(x)＝1－log3x.
【解】 (1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.
求函数y＝f(x)的零点常用的两种方法
一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1.(1)若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________．
(2)函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，求函数g(x)＝bx2－ax的零点．
解：(1)因为2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，
所以f(2)＝0，即22－m＝0，所以m＝4.故填4.
(2)由于函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得2a＋b＝0，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令－2ax2－ax＝0，可得x＝0或－，故g(x)的零点为0和－.
判断零点存在性及零点个数[学生用书P62]
(1)判断函数f(x)＝x2－3x－18在区间(1，8)上是否存在零点；
(2)求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
【解】 (1)法一：因为f(1)＝1－3－18＝－20<0，
f(8)＝64－24－18＝22>0，
所以f(1)·f(8)<0.
又因为函数f(x)的图象在区间[1，8]上是连续不断的，
所以函数f(x)＝x2－3x－18在(1，8)上存在零点．
法二：令f(x)＝x2－3x－18＝0，
即(x－6)(x＋3)＝0，解得x＝－3或x＝6.
因为6∈(1，8)，
所以函数f(x)＝x2－3x－18在(1，8)上存在零点．
(2)法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg
3－2≈2.48>0，
所以f(x)在(0，2)上必定存在零点．
又因为f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为单调增函数，故方程f(x)＝0有且只有一个根，即函数f(x)仅有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象，如图，由图象可知h(x)＝2－2x和g(x)＝lg
(x＋1)有且只有一个交点，所以f(x)＝g(x)－h(x)＝2x＋lg(x＋1)－2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点．
判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断；
(2)结合函数图象进行判断；
(3)借助函数零点存在性判定定理及单调性进行判断．
求函数f(x)＝log2(x－2)＋3的零点的个数．
解：f(x)的定义域为(2，＋∞)，f(x)在(2，＋∞)内为增函数．f＝log2＋3＝0.
又因为f(x)是单调函数，所以只有一个零点．
二次函数的零点问题[学生用书P62]
已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
【解】 (1)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0，1]上有两个相等的实数根，则有
此时无解．
(2)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实数根，
①当只有一根在(0，1)上时，f(0)·f(1)<0，
即2m(m＋2)<0，得－2②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，
根为x1＝0，x2＝－1，满足题意；
③当f(1)＝0时，m＝－2，方程化为x2＋3x－4＝0，
根为x1＝1，x2＝－4，满足题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2，0]．
f(x)在开区间(a，b)上存在零点与在闭区间[a，b]上存在零点的区别：若函数f(x)在[a，b]上存在零点，则x＝a，x＝b都有可能是零点．若f(x)在(a，b)上存在零点，则x＝a，x＝b不在讨论范围之内．
已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)且f(x)只有一个零点，求实数a的值．
解：由题意Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0?2a2－a－3＝0?a＝－1或a＝.
1．函数零点的本质
(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．
(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．
2．对函数零点存在性的探究
(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
(2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②若f(a)·f(b)<0，则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．如果f(x)在[a，b]上还具有单调性，则可判定f(x)
在(a，b)内有且只有一个零点．
(3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．
已知关于x的方程2x2＋x＋2a＝0的两个不相同的实数根都小于2，求a的取值范围．
[解] 如图所示，抛物线f(x)＝2x2＋x＋2a的开口向上，
要使方程2x2＋x＋2a＝0的两根都小于2，
则有
解得－5＜a＜.
所以a的取值范围是.
(1)错因：设关于x的方程2x2＋x＋2a＝0的两根为x1，x2，由x1＜2，x2＜2可以推出x1＋x2＜4，x1·x2＜4，但反推却不成立，例如x1＝－1，x2＝3满足x1＋x2＜4，x1·x2＜4，但不符合题意．
(2)防范：在讨论函数的根的分布过程中，不能仅凭想象根据给出的条件列出式子，要尽量画出函数的图象，其中二次方程根的分布应结合二次函数图象依据二次项系数的符号、判别式的符号、对称轴相对给定区间的位置和区间端点函数值的符号四个角度列出不等式组求解．
1．函数f(x)＝x＋的零点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)>0；
当x<0时，f(x)<0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
所以函数没有零点，故选A.
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的零点为1，3，则函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴是________．
解析：y＝a(x－1)(x－3)＝a(x－2)2－a.
答案：x＝2
3．已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)
有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：
函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．
分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示．
由图易知：当a>1时，两函数的图象有两个不同的交点，
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
[学生用书P118(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
3.4
2.6
－3.7
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，＋∞)
解析：选C.若f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0则f(x)在(a，b)上一定存在零点．因为f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上一定存在零点．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则该函数的零点个数是( )
A．1
B．2
C．0
D．无法确定
解析：选B.因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以该函数有两个零点，故选B.
3．函数f(x)＝ln
x－x2＋4x＋5的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C.由数形结合可知函数y＝ln
x图象与函数y＝x2－4x－5图象有2个交点．所以函数f(x)有2个零点．故C正确．
4．若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(－2，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，2)
解析：选C.构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上，所以ex＋x＝2的解在区间(0，1)上．
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)
在(1，2)上零点的个数为( )
A．至多有一个
B．有一个或两个
C．有且仅有一个
D．一个也没有
解析：选C.若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故f(x)在(1，2)上有且仅有一个零点．
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
答案：3 0
7．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2，0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)在[－2，0]上存在零点x0使f(x0)＝0，且f(x)单调，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－.所以，实数m的取值范围是.
答案：
8．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是________．
解析：由函数的二次项系数大于0可得函数图象开口向上，要满足一个零点大于1，一个零点小于1，只需f(1)<0即可，即a＞0.
答案：(0，＋∞)
9．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝2x－1；
(2)f(x)＝2x2＋4x＋2；
(3)f(x)＝x3－2x2－3x；
(4)f(x)＝x3－4x2＋4x－1.
解：(1)令f(x)＝0，即2x－1＝0，2x＝1，
所以x＝0，所以f(x)有一个零点0.
(2)令f(x)＝0，即2x2＋4x＋2＝0，x2＋2x＋1＝0，
所以x＝－1，所以f(x)有一个零点－1.
(3)令f(x)＝0，即x3－2x2－3x＝0，
x(x2－2x－3)＝0，x(x－3)(x＋1)＝0，
所以x1＝－1，x2＝0，x3＝3，
所以f(x)有三个零点－1，0，3.
(4)令f(x)＝0，
即x3－4x2＋4x－1＝(x－1)(x2＋x＋1)－4x(x－1)
＝(x－1)(x2－3x＋1)＝0，
所以x1＝1，x2＝，x3＝，
所以f(x)有三个零点1，，.
10．求函数f(x)＝ln(x－1)＋0.01x的零点的个数．
解：因为f(3)＝ln
2＋0.03＞0，
f(1.5)＝－ln
2＋0.015＜0，所以f(3)·f(1.5)＜0，
说明函数f(x)＝ln(x－1)＋0.01x在区间(1.5，3)内有零点．
又y＝ln(x－1)与y＝0.01x在(1，＋∞)上都是增函数，从而知f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以该函数只有一个零点．
[B 能力提升]
1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3)
B．(1，2)
C．(0，3)
D．(0，2)
解析：选C.由题意可得f(1)f(2)＝(0－a)(3－a)<0，
解得0故实数a的取值范围是(0，3)，故选C.
2．已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：分a>1与0由图知，当a>1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
3．已知函数y＝|3x－1|，试问k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解：作出y＝|3x－1|的图象，如图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|
的图象无交点，
即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，
所以方程有一解；
当0综上所述，当k<0时方程无解；当k＝0或k≥1时方程有一解；当04．(选做题)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解：(1)当x∈(－∞，0)时，
－x∈(0，＋∞)，
因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
所以f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，
f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x
＝1－(x＋1)2，最大值为1.
所以据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1)．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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解惑·探究·突破
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