3.3 幂函数
1.了解幂函数的概念． 2.掌握y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝x－1、y＝x－2、y＝x的图象和性质．
3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．
[学生用书P58]
1．幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象与性质
(1)五种常见幂函数的图象
(2)五类幂函数的性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值
域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1，1)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．( )
(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( )
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝
B．y＝x3
C．y＝2x
D．y＝x－1
答案：C
3．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．
答案：3
4．若幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，9)，那么函数f(x)的单调增区间是________．
答案：[0，＋∞)
幂函数的概念[学生用书P58]
(1)下列函数为幂函数的序号是________．
①y＝－x2；②y＝2x；
③y＝xπ；④y＝(x－1)3；
⑤y＝；⑥y＝x2＋.
(2)若幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，则f(9)＝________．
【解析】 (1)①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，则2α＝2，
所以α＝，所以f(x)＝x.所以f(9)＝9＝33＝27.
【答案】 (1)③⑤ (2)27
幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．
1.已知函数f(x)＝(m2＋2m－2)·xm2－m－1是幂函数，则m＝( )
A．1
B．－3
C．1或－3
D．1或3
解析：选C.由题意知，若f(x)为幂函数，
则m2＋2m－2＝1.
即m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3.
幂函数的图象[学生用书P59]
已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．
【解】 因为图象与x，y轴都无交点，
所以m－2≤0，即m≤2.
又m∈N，所以m＝0，1，2.
因为幂函数图象关于y轴对称，所以m＝0，或m＝2.
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图1；
当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图2.
(1)幂函数y＝xα的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．
(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．
2.已知当n取±2，±四个值时，幂函数y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为________．
解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C1的指数n＞1，C2的指数0＜n＜1，即C1的指数n取2，C2的指数n取.再取x＝2，由2－＞2－2知C3的指数n取－，C4的指数n取－2.
答案：2，，－，－2
幂值的大小比较问题[学生用书P59]
比较下列各组数的大小：
(1)1.3，1.4，(－2)；(2)1.7，0.7，0.72.
【解】 (1)考察幂函数y＝x，因为>0，所以y＝x在区间[0，＋∞)上是单调增函数，
由于0<1.3<1.4，所以0<1.3<1.4，
又因为(－2)<0，所以1.4>1.3>(－2).
(2)考察幂函数y＝x.因为>0，所以y＝x在区间[0，＋∞)上是单调增函数．
由于0.7<1.7，所以0.7<1.7，
再考察指数函数y＝0.7x，因为0<0.7<1，所以y＝0.7x是R上的单调减函数．由于0<<2，所以0.7>0.72，
综上1.7>0.7>0.72.
当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．
3.比较下列各组数的大小：
(1)2.1，2.2，0.2；(2)3.5，0.5，0.5.
解：(1)考察幂函数y＝x，因为>0，所以y＝x在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.1<2.2，又因为0.2<1，所以2.2>2.1>0.2.
(2)考察幂函数y＝x.因为>0，所以y＝x在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.5<3.5，再考察指数函数y＝0.5x，因为0<0.5<1，所以y＝0.5x是R上的单调减函数，由于0<<，所以0.5>0.5，综上3.5>0.5>0.5.
1．指数函数与幂函数的区别
函数名称
解析式
解析式特征
指数函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
底数是常数，自变量在指数位置上
幂函数
y＝xα(α∈R)
指数是常数，自变量在底数位置上
2.幂函数的性质归纳
(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)．
(2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；
当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．
(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
[解析] 当α＝1，3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数，当α＝－1时，y＝的定义域是{x|x≠0，x∈R}．
当α＝时，
y＝x＝的定义域是{x|x≥0}．
[答案] 1，3
(1)y＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x|x≠0}．
(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f(x)＝xα的定义域为R且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3
B．y＝x－3
C．y＝2x3
D．y＝x3－1
答案：B
2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )
A．y＝
B．y＝x2
C．y＝
D．y＝x3
答案：D
3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
解析：因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝＝－.
答案：－
4．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
解析：因为y＝x－1图象在第一、三象限，y＝x与y＝x3图象都经过第一、三象限，
y＝x图象仅经过第一象限，故α∈时，图象不可能经过第二、四象限．
答案：二、四
[学生用书P116(单独成册)])
[A 基础达标]
1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
解析：选D.A、C的定义域和值域都是R；B的定义域和值域都是[0，＋∞)；D的定义域是R，值域是[0，＋∞)．故选D.
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝( )
A.
B．1
C.
D．2
解析：选A.因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，所以k＝1，f＝＝，即α＝－，所以k＋α＝.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x－2
B．y＝x－1
C．y＝x2
D．y＝x
解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
4．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则( )
A．m>n
B．mC．m＝n
D．m与n的大小不确定
解析：选B.设f(x)＝x－1，已知a≠0，
则a2＋3>3>0，
f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
则f(a2＋3)即(a2＋3)－1<3－1，
故m5．函数y＝x|x|的图象大致是( )
解析：选A.由题可得，y＝x|x|＝从而可知A为正确选项，另外，易知函数y＝x|x|为奇函数．
如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则m，n与0的大小关系是________．
解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，
故m＜0，n＜0.
取x＝2，则有2m＞2n，
故n＜m＜0.
答案：n＜m＜0
7．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图象在直线y＝x的下方，则α的取值范围是________．
解析：幂函数y＝x，y＝x－1，y＝x0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f(x)＝xα在(1，＋∞)上的图象都在直线y＝x下方，故α的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.
答案：α＜0
9．已知函数f(x)＝x－m＋3(m∈N
)是偶函数，且f(3)解：由f(3)所以<1＝.
因为y＝是减函数，
所以－m＋3>0.
解得m<3.
又因为m∈N
，
所以m＝1或2；
当m＝2时，f(x)＝x－m＋3＝x为奇函数，
所以m＝2舍去．
当m＝1时，f(x)＝x－m＋3＝x2为偶函数，
所以m＝1，
此时f(x)＝x2.
10．已知f(x)＝x，g(x)＝x，设F(x)＝f(x)＋g(x)，试判断F(x)的奇偶性与单调性．
解：因为f(x)，g(x)的定义域均为R，
所以F(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋x的定义域为R.
又F(－x)＝－x＋(－x)＝－(x＋x)＝－F(x)，
所以F(x)是奇函数．
因为f(x)与g(x)在R上均为增函数，
所以F(x)在R上也为增函数．
[B 能力提升]
1．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜－1，0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＞1
D．n＜－1，m＞1
解析：选B.在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m＜1，n＜－1.
给出下列四个函数：
①y＝x；②y＝x－；③y＝x－1；④y＝x，
其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)
解析：函数y＝x的定义域和值域都为R；函数y＝x－与y＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y＝x的定义域为R，值域为[0，＋∞)．
答案：①②③
已知幂函数y＝xm2＋2m－3
(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
解：由幂函数的性质可知
m2＋2m－3＜0?(m－1)(m＋3)＜0?－3＜m＜1，
又因为m∈Z，
所以m＝－2，－1，0.
当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，
定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
因为－3＜0，
所以y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，
又因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
所以y＝x－3是奇函数．
当m＝－1时，y＝x－4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
因为f(－x)＝(－x)－4＝＝＝x－4＝f(x)，
所以函数y＝x－4是偶函数．
因为－4＜0，
所以y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．
又因为y＝x－4是偶函数，
所以y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．
4．(选做题)已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明；
(3)试在(－∞，0)上解不等式f(x)解：(1)因为f(4)＝－，
所以－4m＝－，m＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：
任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1所以f(x2)－f(x1)＝－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋(x1－x2)＝(x1－x2).
因为x1－x2<0，x1x2>0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)＝－x在(0，＋∞)上是减函数．
(3)因为f(x)的定义域关于原点对称，
f(－x)＝＋x＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．
所以f(x)解得x<－1.
所以f(x)PAGE
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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图2
