第2课时 对数函数及其性质的应用
1.了解函数图象的变换． 2.理解对数函数的图象和性质． 3.掌握对数函数性质的应用．
[学生用书P55]
1．对数型复合函数的单调性
(1)对于形如y＝loga[g(x)](a＞0且a≠1)的一类函数的单调性，在定义域上，当a＞1时，与函数y＝g(x)的单调性相同，当0＜a＜1时，则相反．
(2)判断复合函数的单调性可以借助图象来判断．
(3)求复合函数单调区间的步骤：①求定义域；②分解成y＝logau，u＝g(x)两个函数；③求u的单调区间(注意定义域)，并判断y＝logau的单调性；④利用同一区间上“同增异减”得出结论．
2．对数型复合函数的定义域、值域
由图可知对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，值域为R，反过来，要使函数y＝logax的值域为R，由图可知，x必须取遍(0，＋∞)内所有的值(一个也不能少)．因此，
(1)若y＝loga[φ(x)]的定义域为R，则对于任意实数x恒有φ(x)＞0，特别是当φ(x)＝a1x2＋bx＋c(a1≠0)时，要使y＝loga[φ(x)]的定义域为R，则有a1＞0，且Δ＜0.
(2)若已知y＝loga[φ(x)]的值域为R，则φ(x)必须取遍(0，＋∞)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t＝φ(x)而言，必须有t＝φ(x)的值域包含(0，＋∞)(此时y＝loga[φ(x)]的定义域一般包含于t＝φ(x)的定义域之中)．反之，若φ(x)≥m(m＞0)，则当a＞1时，有y＝loga[φ(x)]≥logam；当0＜a＜1时，有y＝loga[φ(x)]≤logam，因此其值域一定不为R.特别地当φ(x)＝a1x2＋bx＋c(a1≠0)，要使y＝loga[φ(x)]的值域为R，则有a1＞0，且Δ≥0，同时φ(x)>0.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
关于函数f(x)＝log的判断有如下说法：
(1)在R上是增函数．( )
(2)是奇函数．( )
(3)值域为R.( )
(4)在区间上是减函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为________．
解析：因为x≥1，所以log2x≥0，
所以y＝2＋log2x≥2.
答案：[2，＋∞)
3．若0
1，则logx3________logy3.(填“>”“＝”或“<”)
解析：因为0因为y>1，所以logy3>0，
所以logx3答案：<
4．不等式log3(1－x)＞log3(x＋2)的解集是________．
解析：原不等式等价于
解得－2＜x＜－.
答案：
与对数函数有关的图象变换[学生用书P55]
根据表格回答下面的问题.
x
y
1
2
4
8
y＝log2x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝|log2x|
3
2
1
0
1
2
3
(1)比较函数y＝log2x，y＝|log2x|的函数值之间的关系，从中你发现了什么规律？
(2)在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝|log2x|的图象，并比较这两个图象之间的关系；
(3)通过上述两个问题，你发现函数y＝f(x)与y＝|f(x)|的函数值之间、图象之间有什么关系？
【解】 (1)当x＝1，2，4，8时，函数y＝log2x与y＝|log2x|的函数值对应相等；当x＝，，时，函数y＝log2x与y＝|log2x|的函数值互为相反数．
(2)在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝|log2x|的图象，如图所示，函数y＝|log2x|的图象可以看作将y＝log2x的图象在x轴上方(包括在x轴上的点)的部分保持不变，而将x轴下方的部分作关于x轴的对称变换而得到．
(3)当x＝a时，若f(a)≥0，则两个函数的函数值都为f(a)；若f(a)<0，则两个函数的函数值相反，即y＝f(x)的函数值为f(a)，y＝|f(x)|的函数值为－f(a)．函数y＝|f(x)|的图象可看作由函数y＝f(x)的图象在x轴上方(包括在x轴上的点)的部分保持不变，而将x轴下方的部分作关于x轴的对称变换而得到．
函数图象的对称变换是一种常见的变换，本例题由特殊到一般归纳总结出f(x)与|f(x)|图象之间的关系．
1.函数y＝loga(x－1)＋3(a>0且a≠1)恒过定点并求出．试说明该函数是函数y＝logax经过怎样的变换得到的？
解：因为y＝logax的图象恒过定点(1，0)，所以y＝loga(x－1)的图象恒过定点(2，0)，它是由y＝logax的图象向右平移1个单位得到的．又因为y＝loga(x－1)＋3的图象是由y＝loga(x－1)的图象向上平移3个单位得到的，即函数的图象恒过定点(2，3)．
对数型复合函数的单调性[学生用书P56]
求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
【解】 要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，
所以x2＜1，则－1＜x＜1，
因此函数的定义域为(－1，1)．
令t＝1－x2，x∈(－1，1)．
x∈(－1，0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，
所以x∈(－1，0]时，y＝log(1－x2)是减函数；
当x∈[0，1)时，y＝log(1－x2)是增函数．
故函数y＝log(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值ymin＝log(1－02)＝0.
求形如y＝logaf(x)函数的单调区间的步骤
(1)求出函数的定义域；
(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性；
(3)判断出函数的增减性求出单调区间．
2.求函数y＝log(6＋x＋2x2)的单调增区间．
解：由6＋x＋2x2＝2＋＞0，
即函数定义域是R.
令u(x)＝2x2＋x＋6，
则函数u(x)＝2x2＋x＋6的单调增区间为，单调减区间为.
又因为y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
所以函数y＝log(6＋x＋2x2)的单调增区间为.
对数函数性质的综合[学生用书P56]
已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取得最大值时x的值．
【解】 因为f(x)＝2＋log3x，
所以y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
＝logx＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
因为f(x)的定义域是[1，9]，
所以函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，
必须所以1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，所以6≤(log3x＋3)2－3≤13.
所以当log3x＝1即x＝3时ymax＝13.
综上可知，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是13，相应的x值是3.
本题综合考查了对数函数、对数运算、对数型复合函数定义域及闭区间上二次函数求最值问题．常见错误是忽视已知函数定义域的限制条件，误认为y＝[f(x)]2＋f(x2)
的定义域也是[1，9]．
3.已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明．
解：(1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
则解得－1＜x＜1，
故所求定义域为(－1，1)．
(2)f(x)为奇函数，证明如下：
由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]
＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
1．函数y＝logaf(x)可看作是y＝logat与t＝f(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a＞1时，若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为增函数，若f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为减函数；当0＜a＜1时，若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为减函数，若t＝f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为增函数．
2．解决对数函数综合问题的方法
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
若函数f(x)＝loga(2－ax)在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解] 因为a>0，a≠1，所以y＝2－ax是减函数．
又因为f(x)＝loga(2－ax)是减函数，所以对数函数y＝logax必是增函数，得a>1.
又由2－ax>0，得x<，
由题意，得[0，1]?，
所以1<，即a<2.
故a的取值范围是(1，2)．
(1)错因：本题易认为底数a>0，a≠1，故y＝2－ax是减函数，从而由已知得y＝logax为增函数，故a的取值范围是(1，＋∞)．此解法忽视了单调区间必是函数定义域的子区间，造成了解题的失误．
(2)防范：对于复合函数，外函数为对数函数的情况，研究问题时不仅要注意复合函数单调性的问题，还要注意内函数满足为真数的要求，如y＝logaf(x)，必须满足f(x)>0.
1．函数y＝loga(2－x)是x的增函数，则a的取值范围是________．
解析：u＝2－x是x的减函数，故y＝logau为u的减函数，所以0答案：(0，1)
2．函数y＝1＋log2(x＋1)(0解析：y＝1＋log2(x＋1)在区间(0，3]上为增函数，所以值域为(1，3]．
答案：(1，3]
3．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值等于________．
解析：当0＜a＜1时，因为y＝ax在[0，1]上为减函数，y＝loga(x＋1)在[0，1]上也是减函数，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝；同理，当a＞1时，f(x)在[0，1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝，与a＞1矛盾．综上，a＝.
答案：
4．函数f(x)＝log2(3－ax)在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝log2(3－ax)在(－∞，1)上是减函数，
又因为y＝log2u是增函数，
所以u＝3－ax在(－∞，1)上是减函数，
由已知，解得1答案：(1，3]
[学生用书P114(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
解析：选B.因为loga2＜0，logb2＜0，
所以0＜a＜1，0＜b＜1，又loga2＜logb2，
所以a＞b，故0＜b＜a＜1.
2．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A.
B．(0，1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选D.f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
3．函数y＝log(1－3x)的值域为( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：选C.因为3x＞0，所以－3x＜0，
所以1－3x＜1.
又y＝logt(t＝1－3x)是关于t的减函数
所以y＝logt＞log1＝0.选C.
4．函数y＝f(x)＝lg的图象的对称性为( )
A．关于直线y＝x对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于原点对称
解析：选D.因为y＝f(x)＝lg＝lg，所以f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，又因为函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，则函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称．
若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
解析：由lg(2x－4)≤1得
lg(2x－4)≤lg
10，
所以0＜2x－4≤10，
解之得2＜x≤7.
答案：(2，7]
6．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是________．
解析：因为0＜a＜1，所以f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
所以f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(x≥1)的值域是[0，＋∞)，则b的值为________．
解析：因为x≥1，
所以f(x)≥lg(2－b)．
又因为f(x)≥0，
lg(2－b)＝0，即b＝1.
答案：1
8．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________．
解析：因为a＞1，
所以f(x)＝logax在[a，2a]上递增，
所以loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，所以a＝2，a＝4.
答案：4
9．根据下列条件，分别求实数x的值：
(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；
(2)32x＋1－6x＝22x＋2.
解：(1)原方程可化为log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝.经检验知，原方程的解为x＝.
(2)原方程可化为3×32x－2x×3x－4×22x＝0，因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，
则3×3x－4×2x＝0，
即＝，
解得x＝log.
10．已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断并证明f(x)的单调性．
解：(1)由a＞1，a－ax＞0，
即a＞ax，得x＜1.
故f(x)的定义域为(－∞，1)．
由0＜a－ax＜a，可知loga(a－ax)＜logaa＝1.
故函数f(x)的值域为(－∞，1)．
(2)f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：
任取1＞x1＞x2，因为a＞1，所以ax1＞ax2，
所以a－ax1＜a－ax2，
所以loga(a－ax1)＜loga(a－ax2)，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在(－∞，1)上为减函数．
[B 能力提升]
若函数f(x)＝loga(2x＋1)(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则a的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝loga(2x＋1)的定义域为，
当x∈时，2x＋1∈(0，1)，由题意知0＜a＜1.
答案：0函数y＝logax在x∈[2，＋∞)时恒有|y|>1，则a应满足的条件是________．
解析：若0若a>1，当x≥2时，logax>0，所以logax>1.由题意loga2>1，
所以a∈(1，2)．
综上可知答案：求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
(2)y＝log2；
(3)y＝log2(x2－4x－5)．
解：(1)因为x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log2(x2－4x＋6)≥log22＝1.所以函数的值域是[1，＋∞)．
(2)因为－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3≤3，
所以<0(舍)或≥.
因为真数大于0，f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
所以log2≥log2.所以函数的值域是.
(3)因为x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，
所以x2－4x－5能取得所有正实数．
所以函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
4．(选做题)设函数f(x)＝
(1)当a＝时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，
f(x)＝
当x＜1时，f(x)＝x2－3x是减函数，
所以f(x)＞f(1)＝－2；
当x≥1时，f(x)＝logx是减函数，
所以f(x)≤f(1)＝0，
综上，函数f(x)的值域是R.
(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
则
解得≤a≤，
故a的取值范围是.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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R
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本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第1课时 对数函数的概念、图象及性质
1.了解对数函数的概念． 2.会画对数函数的图象，记住对数函数的性质．
3．掌握对数函数图象和性质的应用．
[学生用书P52]
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数的定义域是(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
定
义
y＝logax(a>0且a≠1)
底
数
a>1
0图
象
定义域
{x|x>0}
值
域
R
单调性
增函数
减函数
共点性
图象过点(1，0)，即loga1＝0
函数值
x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称
趋
势
a值越大图象越靠近x，y轴
a值越小图象越靠近x，y轴
x趋于零，y趋于－∞；x趋于＋∞，y趋于＋∞
x趋于零，y趋于＋∞；x趋于＋∞，y趋于－∞
3.y＝ax称为y＝logax的反函数，反之，y＝logax也称为y＝ax的反函数，一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数．( )
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
(3)当0＜a＜1时，若x＞1，则y＝logax的函数值都大于零．( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．函数y＝log4.3x的值域是________．
答案：R
3．函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________．
答案：3
4．函数f(x)＝log5(1－x)的定义域是________．
答案：{x|x<1}
与对数函数有关的定义域问题[学生用书P52]
求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝log(2x－1).
【解】 (1)要使函数有意义，
需即所以－1＜x＜1.
所以函数的定义域为(－1，1)．
(2)由解得x＞，且x≠1，
所以函数的定义域为∪(1，＋∞).
若将例题(2)函数改为“y＝log(2x－1)”，则其定义域应为________．
解析：由解得x＞，且x≠1，所以函数的定义域为∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
(1)求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则
①分母不能为0；
②根指数为偶数时，被开方数非负；
③对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(2)求函数定义域的步骤
①列出使函数有意义的不等式(组)；
②化简并解出自变量的取值范围；
③确定函数的定义域．
1.求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝(a＞0，且a≠1)．
解：(1)由得
所以x＞－1，且x≠999，
所以函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠999}．
(2)loga(4x－3)≥0?loga(4x－3)≥loga1.
当a＞1时，
有4x－3≥1，x≥1
.
当0＜a＜1时，
有0＜4x－3≤1，解得＜x≤1.
综上所述，当a＞1时，函数的定义域为[1，＋∞)，
当0＜a＜1时，函数的定义域为.
对数函数的图象和性质[学生用书P53]
(1)
如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值可为，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的底数a的值依次为________．
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________，________.
【解析】 (1)由底数对对数函数图象的影响，可知C4的底数(2)因为函数的图象恒过定点(3，2)，
所以将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，
得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a>0，a≠1时，loga1＝0恒成立，
所以loga(3＋b)＝0，所以b＝－2，c＝2.
【答案】 (1)，，， (2)－2 2
(1)对数函数的性质可以结合图象去理解记忆．
(2)对数函数图象的画法有两种：一是描点法；二是通过图象变换画出．
2.已知a＞0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析：选B.法一：若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1，0)，以上图象均不符合．
若a＞1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0，1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1，0)，只有B中图象符合．
法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在x轴上方，函数y＝loga(－x)的图象只可能在y轴左方，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．
法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B.
利用对数函数的单调性比较大小[学生用书P53]
比较下面各组数中两个值的大小．
(1)log33.4，log38.5；
(2)log0.21.8，log0.22.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0且a≠1)．
【解】 (1)考察对数函数y＝log3x，
因为它的底数3＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，
于是log33.4＜log38.5.
(2)考察对数函数y＝log0.2x，因为它的底数0.2＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.21.8＞log0.22.7.
(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件并未明确指出底数a与1哪个大，因此要对底数a进行讨论：
当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
于是loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
于是loga5.1＞loga5.9.
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．
(2)如果不同底，一种方法是化为同底对数，另一种方法是寻找中间变量．
(3)如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小的关系解决或利用换底公式化为同底，再进行比较．
(4)若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．
3.比较下列各组数的大小：
(1)log0.20.4，log0.20.3，log0.23；
(2)log3，log3，log3；
(3)log23，log45，log76.
解：(1)因为函数y＝log0.2x是区间(0，＋∞)上的单调减函数，且0.3<0.4<3，
所以log0.20.3>log0.20.4>log0.23.
(2)因为函数f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，
又0<<<<1，
所以log3即<<<0，
所以log3(3)log23＝log49>log45>1，
而log76故log761．关于对数函数概念的两点说明
(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．
2．a对对数函数的图象的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
(2)底数的大小决定了图象对应位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
函数f(x)＝的定义域为________．
[解析] 要使函数有意义，则解得x>2.
[答案]
(2，＋∞)
(1)解答本题只注意被开方数大于零，而忽视真数大于零．
(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1.若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．
1．下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；
④y＝ln
x；⑤y＝logx(x＋2)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B.形如y＝logax(a＞0且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有③、④，其他的均不符合．
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞)
D．[－1，1)∪(1，＋∞)
解析：选C.要使函数式有意义，需解得x＞－1，且x≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.
3．函数y＝2x的反函数为________．
解析：由对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)和y＝ax(a＞0，a≠1)互为反函数知y＝2x的反函数为y＝log2x.
答案：y＝log2x
4．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1，0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，
则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
[学生用书P112(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝( )
A．－1
B．5
C．－1或5
D．1
解析：选B.由对数函数的定义可知，
解得a＝5.
2．已知a＝log0.60.5，b＝ln
0.5，c＝0.60.5，则( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
解析：选B.a＝log0.60.5＞log0.60.6＝1，
b＝ln
0.5＜0，
0＜c＝0.60.5＜0.60＝1，
故a＞c＞b.
3．函数y＝lg(x－1)＋lg(x－2)的定义域为M，函数y＝lg(x2－3x＋2)的定义域为N，则( )
A．M?N
B．N?M
C．M＝N
D．M∩N＝?
解析：选A.y＝lg(x2－3x＋2)
＝lg[(x－1)(x－2)]，
所以或，
即x>2或x<1.
所以N＝{x|x>2或x<1}．
又M＝{x|x>2}．
所以M?N.
4．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图象过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有解得a＝4和m＝3，则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是{x|x>3}，则函数不具有奇偶性．很明显函数f(x)在定义域上是增函数．
5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x
B．
C．logx
D．2x－2
解析：选A.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
6．下列四个数：0.2－0.1，log1.20.3，log0.20.3，log0.20.5，由小到大的顺序为________．
解析：因为0.2－0.1>1，log1.20.3<0，
0所以log1.20.3答案：log1.20.37．已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________．
解析：当x＋3＝1，即x＝－2时，
对任意的a>0，
且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，
所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A，
若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，
则－＝3－2＋b，所以b＝－1.
答案：－1
8．已知loga3>logb3>0，则a，b的大小关系是________．
解析：因为loga3>logb3>0，所以a>1，b>1.
由换底公式有>>0，
所以log3b>log3a>0.
所以b>a.
答案：b>a
9．求下列函数的定义域：
①y＝log3(3x)；②y＝log
；
③y＝；④y＝
.
解：①由3x>0，得x>0，
所以函数y＝log3(3x)的定义域为(0，＋∞)．
②由>0，得x>，
所以函数y＝log
的定义域为.
③由x>0及logx≠0得x>0且x≠1，所以函数y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．
④log2(2x＋6)≥0，得2x＋6≥1，即x≥－，所以函数y＝的定义域为.
10．解不等式：loga(2x－5)>loga(x－1)．
解：当a>1时，
原不等式等价于
解得x>4.所以原不等式的解集为{x|x>4}．
当0解得综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>4}；当0[B 能力提升]
已知函数f(x)＝lg|x|，设a＝f(－3)，b＝f(2)，则a与b的大小关系是________．
解析：f(x)＝lg|x|定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
a＝f(－3)＝f(3)，b＝f(2)，因为f(3)>f(2)，所以a>b.
答案：a>b
已知f(x)＝|lg
x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是________．
解析：
先作出函数y＝lg
x的图象，再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|lg
x|的图象，如图．
由图可知，f(x)＝|lg
x|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f＞f(a)＞f(b)，而f＝＝|－lg
c|＝|lg
c|＝f(c)．所以f(c)＞f(a)＞f(b)．
答案：f(c)＞f(a)＞f(b)
已知函数f(x)＝log(2a－1)(2x＋1)在区间上满足f(x)>0，试求实数a的取值范围．
解：当x∈时，2x＋1>4>1.因为log(2a－1)(2x＋1)>0＝log(2a－1)1，所以2a－1>1，即2a>2，解得a>1.即实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(选做题)已知函数f(x)＝log2.
(1)求证：f(x1)＋f(x2)＝f；
(2)若f＝1，f(－b)＝，求f(a)的值．
解：(1)证明：左边＝log2＋log2
＝log2
＝log2.
右边＝log2
＝log2.
所以左边＝右边．
(2)因为f(－b)＝log2＝－log2＝，
所以f(b)＝log2＝－，
利用(1)可知：f(a)＋f(b)＝f，
所以f(a)－＝1，
解得f(a)＝.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
{x|x>0}
R
增函数
减函数
(1，0)
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本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破