第2课时 对数的运算性质及换底公式
1.了解对数的换底公式． 2.理解对数的运算性质． 3.掌握用对数的运算性质进行化简与证明．
[学生用书P49]
1．如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
2．换底公式
一般地，称logaN＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，N>0)为对数的换底公式.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积、商的对数可以化为这两个正数的对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( )
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得logab＝.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．已知a>0且a≠1，则loga2＋loga＝( )
A．0
B．
C．1
D．2
答案：A
3．(1)lg
＝________；
(2)已知ln
a＝0.2，则ln＝________．
答案：(1) (2)0.8
4.＝________．
答案：2
对数的运算性质及应用[学生用书P49]
计算下列各式：
(1)lg
－lg
＋lg
；
(2)；
(3)lg
25＋lg
8＋lg
5lg
20＋(lg
2)2.
【解】 (1)原式＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5＝(lg
2＋lg
5)＝lg
10＝.
(2)＝
＝＝＝1.
(3)原式＝2lg
5＋2lg
2＋(1－lg
2)(1＋lg
2)＋(lg
2)2
＝2(lg
5＋lg
2)＋1－(lg
2)2＋(lg
2)2＝2＋1＝3.
(1)对于同底的对数的化简，常用的方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(逆用运算性质)；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)(正用运算性质)．
(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg
2＋lg
5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
1.计算下列各式：
(1)lg
25＋lg
2＋lg＋lg(0.01)－1；
(2)2log32－log3＋log38－3log55.
解：(1)法一：原式＝lg[25×2×10×(10－2)－1]
＝lg(5×2×10×102)
＝lg
10＝.
法二：原式＝lg
52＋lg
2＋lg
10－lg
10－2
＝(lg
5＋lg
2)＋－(－2)
＝lg
10＋＋2＝1＋＋2＝.
(2)法一：原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3
＝log3(22×32×2－5×23)－3
＝log332－3
＝2－3＝－1.
法二：原式＝2log32－＋3log32－3
＝2－3＝－1.
换底公式的应用[学生用书P50]
(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
【解】 (1)法一：原式
＝
＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
法二：原式
＝
＝
＝＝13.
(2)法一：因为18b＝5，所以log185＝b，
又log189＝a，
于是log3645＝＝
＝＝＝.
法二：因为log189＝a，18b＝5，所以lg
9＝alg
18，
lg
5＝blg
18，
所以log3645＝＝＝
＝＝.
法三：因为log189＝a，所以18a＝9.
又因为18b＝5，所以45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.
令log3645＝x，则36x＝45＝18a＋b，
即36x＝＝18a＋b.
所以＝18a＋b，所以xlog18＝a＋b，
所以x＝＝，即log3645＝.
(1)具有换底功能的另两个结论：
①logac·logca＝1，②loganbn＝logab.(a＞0且a≠1，b＞0，c＞0且c≠1)
(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至找到它们之间的联系．
(3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题必须熟练掌握所学性质和法则，并学会运用整体思想．
2.(1)计算：(log43＋log83)log32＝________．
(2)计算：log2＋log279＝________．
解析：(1)原式＝log32
＝log32＝＋＝.
(2)原式＝＋＝＋＝2＋＝.
答案：(1) (2)
对数的综合应用[学生用书P50]
若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【解】 原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，
设t＝lg
x，则原方程可化为2t2－4t＋1＝0.
所以t1＋t2＝2，t1t2＝.由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg
a，t2＝lg
b，即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
所以lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)
＝
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
应用对数的运算性质解对数方程的三种方法
(1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f(x)＝ab求解．
(2)转化法：形如logaf(x)＝logag(x)(a＞0，a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解．
(3)换元法：适用于f(logax)＝0(a＞0，a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．
3.(1)方程log4(3x－1)＝log4(x－1)＋log4(x＋3)的解为________．
(2)已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg
2＋lg
x＋lg
y，求的值．
解：(1)原方程可化为3x－1＝(x－1)(x＋3)，
即x2－x－2＝0，
解得x＝2或x＝－1，
而x＝－1使真数3x－1和x－1小于0，
故方程的解是x＝2.故填x＝2.
(2)由已知条件得
即
整理得
所以x－2y＝0，所以＝2.
1．对对数的运算性质的理解
(1)利用对数的运算性质可以把求正数的乘、除、乘方的对数的运算转化为这些正数的对数的加、减、乘运算，反之亦然．但两个正数的和或差的对数没有运算性质．
(2)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
(3)能用语言准确叙述对数的运算性质
loga(M·N)＝logaM＋logaN→积的对数等于对数的和．
loga＝logaM－logaN→商的对数等于对数的差．
logaMn＝nlogaM(n∈R)→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．
2．关于换底公式的两点说明
(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．
(2)利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式．
已知lg
a＋lg
b＝2lg(a－2b)，求log2的值．
[解] 因为lg
a＋lg
b＝2lg(a－2b)，
所以lg
ab＝lg(a－2b)2，
ab＝(a－2b)2，a2－5ab＋4b2＝0，
即(a－b)(a－4b)＝0，
所以a＝b或a＝4b.
又因为a－2b>0，
所以a＝4b，log2＝log24＝2.
(1)错因：易忽视真数大于0的限制，导致出现增解．
(2)防范：将对数化简、变形，不能忘记真数大于0的限制．
1．化简log612－2log6的结果为( )
A．6
B．12
C．log6
D．
解析：选C.原式＝log6－log62＝log6＝log6.
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2
解析：选A.log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2.
3．(1)＝________．
(2)log2＝________．
解析：(1)原式＝log·log 9＝·＝－.
(2)原式＝log2(－
)2
＝log2
＝log2(6－4)
＝log22＝.
答案：(1)－ (2)
4．用lg
x，lg
y，lg
z表示下列各式：
(1)lg(xyz);
(2)lg；
(3)lg；
(4)lg.
解：(1)lg(xyz)＝lg
x＋lg
y＋lg
z；
(2)lg＝lg(xy2)－lg
z＝lg
x＋2lg
y－lg
z；
(3)lg＝lg(xy3)－lg
＝lg
x＋3lg
y－lg
z；
(4)lg＝lg－lg(y2z)
＝lg
x－2lg
y－lg
z.
[学生用书P111(单独成册)])
[A 基础达标]
1．lg
8＋3lg
5的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：选D.lg
8＋3lg
5＝lg
8＋lg125＝lg1
000＝3.
2．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为( )
A.
B．9
C．18
D．27
解析：选B.由题意得··
＝log416＝log442＝2，
所以＝2，
即lg
m＝2lg
3＝lg
9.
所以m＝9，选B.
3．若lg
x＝m，lg
y＝n，则lg－lg的值为( )
A.m－2n－2
B．m－2n－1
C.m－2n＋1
D．m－2n＋2
解析：选D.因为lg
x＝m，lg
y＝n，
所以lg－lg＝lg
x－2lg
y＋2＝m－2n＋2.故选D.
4．设lg
2＝a，lg
3＝b，则log512等于( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.log512＝＝＝
＝＝.故选C.
5．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
解析：选A.因为2x＝3，所以x＝log23.
又log4＝y，
所以x＋2y＝log23＋2log4
＝log23＋2(log48－log43)
＝log23＋2
＝log23＋3－log23＝3.故选A.
6．已知m>0，且10x＝lg(10m)＋lg
，则x＝________．
解析：lg(10m)＋lg
＝lg
10＋lg
m＋lg
＝1，
所以10x＝1＝100.所以x＝0.
答案：0
7．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．
解析：原方程可化为log3(x2－10)＝log3(3x)，所以x2－10＝3x，解得x＝－2，或x＝5.经检验知x＝5.
答案：x＝5
8．已知2m＝3n＝36，则＋＝________．
解析：m＝log236，n＝log336，
所以＝log362，＝log363，所以＋＝log366＝.
答案：
9．计算下列各式：
(1)lg
8＋log39＋lg
125＋log3；
(2)[log2(log216)](2log36－log34)；
(3)－45×2－11.
解：(1)原式＝lg
8＋lg
125＋log39＋log3
＝lg(8×125)＋log3＝lg
1
000＋log31＝3＋0＝3.
(2)原式＝(log24)(log336－log34)＝2log3＝2log39＝4.
(3)原式＝－210×2－11＝－2－1
＝－1－＝－.
10．解下列关于x的方程：
(1)lg＝lg(x－1)；
(2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．
解：(1)原方程等价于解之得x＝2.
经检验x＝2是原方程的解，所以原方程的解为x＝2.
(2)原方程可化为log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)．即log4＝log4.
整理得＝，解之得x＝7或x＝0.
当x＝7时，3－x＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x＝0满足，所以原方程的解为x＝0.
[B 能力提升]
若log5·log36·log6x＝2，则x等于________．
解析：由换底公式，得··＝2，
lg
x＝－2lg
5，x＝5－2＝.
答案：
计算log8(log2)的值为________．
解析：log8(log2)＝log8＝－2log82＝－.
答案：－
3．若logab＋3logba＝，则用a表示b的式子是________．
解析：原式可化为＋3logba＝，
整理得3(logba)2＋1－logba＝0，
即6(logba)2－13logba＋2＝0；
解得logba＝2或logba＝，
所以b2＝a或b＝a，
即b＝或b＝a6.
答案：
b＝或b＝a6
4．(选做题)已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg
E－11.4)．若A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，求A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的多少倍．
解：由R＝(lg
E－11.4)，
得R＋11.4＝lg
E，
故E＝10(R＋11.4)．
设A地和B地地震释放的能量分别为E1，E2，
则＝eq
\f(10（×9.0＋11.4）,10（×8.0＋11.4）)＝10，
即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的10倍．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第1课时 对数的概念
1.了解对数引入的背景． 2.理解对数的概念． 3.掌握指数式与对数式的互化．
[学生用书P46]
1．对数定义
一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数恒等式
(1)logaab＝b(a>0，a≠1，b∈R)；
(2)alogab＝b(a>0，a≠1，b>0)．
3．两个特殊对数
(1)常用对数：以10为底的对数称为常用对数，N的常用对数log10N简记作lg_N．
(2)自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记作ln_N，其中，e是一个重要常数，是无理数，它的近似值为2.718
28.在科学技术中常常使用自然对数．
4．对数的性质
(1)loga1＝0(a>0，a≠1)；
(2)logaa＝1(a>0，a≠1)．
(3)零和负数没有对数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样．( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a
B．logaM＝2
C．loga2＝M
D．log2a＝M
答案：B
3．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是__________．
答案：(1，＋∞)
4．log1＋log＝________．
答案：1
对数的概念[学生用书P47]
求使对数log(a－2)(7－2a)有意义的a的取值范围．
【解】 依题意，得解得2＜a＜且a≠3.
即a的取值范围为2＜a＜且a≠3.
在解决对数式有意义的题目时，只要注意满足底数和真数的条件，也就是对数式中的底数大于0且不为1，真数大于0，对数式才有意义，尤其要注意底数不为1这一条件，然后解不等式即可．
1.若有意义，则a的取值范围是________．
解析：a－2≥0且3－a>0且3－a≠1，可得a∈(2，3)．
答案：(2，3)
指数式与对数式的互化[学生用书P47]
将下列对数式化为指数式、指数式化为对数式．
(1)log216＝4； (2)log27＝－3；
(3)ln
10＝2.303； (4)43＝64；
【解】 (1)24＝16；(2)＝27；(3)e2.303＝10；
(4)log464＝3.
(1)在利用ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1)进行互化时，关键是弄清各个字母所在的位置．
(2)对数式与指数式的关系如图：
2.将下列指数式化为对数式、对数式化为指数式．
(1)3－2＝； (2)＝16；
(3)log64＝－6.
解：(1)因为3－2＝，所以log3＝－2.
(2)因为＝16，所以log16＝－2.
(3)因为log64＝－6，所以()－6＝64.
利用对数式与指数式的关系求值[学生用书P48]
求下列各式中的x的值：
(1)log27x＝－；(2)logx16＝－4；(3)lg
＝x；
(4)－ln
e－3＝x.
【解】 (1)因为log27x＝－，
所以x＝(27)－＝3－2＝.
(2)因为logx16＝－4，所以x－4＝16，
即x－4＝24.所以＝24，所以＝2，即x＝.
(3)因为lg
＝x，
所以10x＝10－3，所以x＝－3.
(4)因为－ln
e－3＝x，所以－x＝ln
e－3，
即e－x＝e－3，所以x＝3.
求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m；
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
3.求下列对数的值．
(1)ln
e2； (2)log81； (3)log1.52.25；
(4)lg； (5)log816； (6)ln
eln
1.
解：(1)设ln
e2＝x,
则ex＝e2，所以x＝2，所以ln
e2＝2.
(2)设log81＝x，
则＝81＝92，
即9－x＝92，所以x＝－2.即log81＝－2.
(3)因为1.52＝2.25，则log1.52.25＝2.
(4)因为10－4＝，所以lg＝－4.
(5)设log816＝x，则8x＝16，
即23x＝24，所以3x＝4，
即x＝，所以log816＝.
(6)因为ln
1＝0，所以ln
e0＝ln
1＝0，
故ln
eln
1＝0.
1．在对数logaN中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因
(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0.
(2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0.
(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1.
(4)由ax＝N，a＞0知N恒大于0.
2．对指数与对数的互化关系的理解
(1)由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：
式子
名称
意义
a
x
N
指数式ax＝N
底数
指数
幂
a的x次幂等于N
对数式logaN＝x
底数
对数
真数
以a为底N的对数等于x
(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)，logaab＝b(a>0且a≠1，b∈R)．
(3)指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效方法．
对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是________．
[解析] 由题意，得所以2＜a＜3或3＜a＜5.
[答案]
(2，3)∪(3，5)
(1)本题极易只注意真数大于0，即5－a＞0而忽视底数a－2大于0不等于1，从而得出a＜5的错误结论．
(2)在求解对数形式表达式中参数的取值范围时，应根据对数中的底数和真数满足的要求列出不等式组，进而求解即可．
1．若loga2b＝c则( )
A．a2b＝c
B．a2c＝b
C．bc＝2a
D．c2a＝b
解析：选B.loga2b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b.
2．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝9
解析：选A.因为2
log3x＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.
3．若a3＝10(a＞0，a≠1)，则loga10＝________．
解析：由对数定义知，若ab＝N，则logaN＝b.所以由a3＝10得loga10＝3.
答案：3
4．log22＝________，log24＝________，log28＝________，
log216＝________，log21＝________，log2＝________，
log2＝________，log2＝________．
解析：因为每个对数的底数都是2，且真数都是2的幂，所以令x＝log22n，由对数恒等式得x＝n.
答案：1 2 3 4 0 －1 －2 －3
[学生用书P109(单独成册)])
[A 基础达标]
1．如果a3＝N(a＞0，a≠1)，则有( )
A．log3N＝a
B．log3a＝N
C．logaN＝3
D．loga3＝N
答案：C
2．logab＝1成立的条件是( )
A．a＝b
B．a＝b且b＞0
C．a＞0，a≠1
D．a＞0，a＝b≠1
答案：D
3．已知log2x＝3，则x－等于( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D.因为log2x＝3，
所以x＝23＝8.
所以x－＝8－＝＝.
故选D.
4．已知logx16＝2，则x等于( )
A．±4
B．4
C．256
D．2
解析：选B.因为logx16＝2，
所以x2＝16，
即x＝±4，
又因为x＞0且x≠1，
所以x＝4.
5．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n等于( )
A．3
B．
C．9
D．
解析：选D.由已知得am＝，an＝3.
所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝.故选D.
已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是________．
解析：因为x2＋y2－4x－2y＋5＝0，
所以(x－2)2＋(y－1)2＝0,
即x＝2且y＝1，
故logx(yx)＝log21＝0.
答案：0
7．若a＞0，a2＝，则loga＝________．
解析：由a＞0，a2＝，可知a＝，
所以loga＝log＝1.
答案：1
8．已知f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________．
解析：由题意得①或②
解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，
解②得x＝3，符合x＞1.所以x＝3.
答案：3
9．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：因为logx＝m，所以＝x，x2＝.
因为logy＝m＋2，所以＝y，y＝.
所以＝＝＝＝16.
10.求下列各式的值．
(1)log93；(2)log20.25；
(3)log9；(4)log0.5.
解：(1)令log93＝x，则9x＝3，即32x＝3，
所以2x＝1，所以x＝，即log93＝.
(2)令log20.25＝x，则2x＝0.25，
即2x＝2－2，所以x＝－2，即log20.25＝－2.
(3)令log9＝x，则9x＝，即32x＝3.
所以2x＝，所以x＝，即log9＝.
(4)令log0.5＝x，则0.5x＝，即＝2，
所以2－x＝2，所以x＝－，
即log0.5＝－.
[B 能力提升]
1．若log2[log(log2x)]＝log3[log(log3y)]＝
log5[log(log5z)]＝0，则x，y，z的大小关系是________．
解析：由log5[log(log5z)]＝0，
得log(log5z)＝1，log5z＝，z＝5＝(56)，
由log3[log(log3y)]＝0，
得log(log3y)＝1，log3y＝，y＝3＝(310).
又由log2[log(log2x)]＝0，
得log(log2x)＝1，log2x＝，x＝2＝(215).
因为310＞215＞56，
所以y＞x＞z.
答案：
z＜x＜y
2．若log4{2log2[1＋log2(1＋log2x)]}＝，则x＝________.
解析：由原等式，得2log2[1＋log2(1＋log2x)]＝4＝2，所以log2[1＋log2(1＋log2x)]＝1.
所以1＋log2(1＋log2x)＝2.
故log2(1＋log2x)＝1，
所以1＋log2x＝2.
所以log2x＝1，所以x＝2.
答案：2
3．已知a>0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n.
求a2m＋n的值．
解：由?
所以a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
4．(选做题)设M＝{0，1}，N＝{lg
a，2a，a，11－a}，是否存在实数a，使M∩N＝{1}?
解：不存在实数a，使M∩N＝{1}．
若lg
a＝1，
则a＝10，此时11－a＝1，
从而11－a＝lg
a＝1，与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lg
a无意义；
若a＝1，此时lg
a＝0，从而M∩N＝{0，1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lg
a＝1，与集合元素的互异性矛盾．
综上，不存在实数a，使M∩N＝{1}．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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