第2课时 指数函数及其性质的应用
1.了解指数函数模型解决简单的实际问题． 2.理解图象的平移变换、对称变换．
3．掌握指数函数图象与性质的应用．
[学生用书P44]
与作函数图象相关的几种常见的变换
(1)平移变换
①沿x轴：将y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位以后，得到函数y＝f(x＋a)，(a≠0)的图象；
②沿y轴：将y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位以后，得到函数y＝f(x)＋b，(b≠0)的图象．
(2)对称变换
①y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称；
③y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称；
④y＝f(a＋x)的图象与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
⑤y＝f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称，x≥0时与y＝f(x)图象重合，所以x<0时的图象与x≥0时y＝f(x)的图象关于y轴对称；
⑥y＝|f(x)|＝y＝|f(x)|的图象是y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝－f(x)(f(x)<0)图象的组合．
1．已知指数函数f(x)的图象过点，则f(－3)＝________．
解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则a4＝，所以a＝.所以f(x)＝.所以f(－3)＝＝8.
答案：8
2．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)过定点(0，1)，函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，所以函数的图象过定点(3，4)．
答案：(3，4)
3．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．
解析：过点(0，1＋b)，因为b＜－1，
所以点(0，1＋b)在y轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
答案：一
4．函数y＝2x＋1的图象是________．
解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增．
答案：①
函数的图象变换[学生用书P44]
根据表格回答下面的问题：
xy
－2
－1
0
1
2
3
4
y＝3x
1
3
9
27
81
y＝3x－1
1
3
9
27
(1)比较函数y＝3x，y＝3x－1的函数值之间的关系，从中你发现了什么规律？
(2)在同一坐标系中作出函数y＝3x，y＝3x－1的图象，并比较这两个图象之间的关系．
(3)通过上述两个问题，你发现函数y＝f(x)与y＝f(x－1)的函数值之间、图象之间有什么关系？
【解】
(1)函数y＝3x在x＝－2，－1，0，1，2，3时的函数值与函数y＝3x－1在x＝－1，0，1，2，3，4时的函数值对应相等，即函数y＝3x在x＝a时的函数值与函数y＝3x－1在x＝a＋1时的函数值对应相等．
(2)在同一坐标系中作出函数y＝3x，y＝3x－1的图象(如图所示)，函数y＝3x－1的图象由函数y＝3x的图象沿着x轴向右平移1个单位得到．
(3)函数y＝f(x)在x＝a时的函数值与函数y＝f(x－1)在x＝a＋1时的函数值对应相等．函数y＝f(x－1)的图象由函数y＝f(x)的图象沿着x轴向右平移1个单位得到．
函数图象的平移是一种基本的图象变换，一般地，函数y＝f(x－a)的图象可由函数y＝f(x)的图象按照下列方式得到：若a>0，则向右平移a个单位；若a<0，则向左平移－a个单位．
1.若函数y＝ax＋m－1(a>0，a≠1)的图象经过第一、三、四象限，求a和m的取值范围．
解：y＝ax(a>0，a≠1)的图象经过第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图象经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下平移．当0
1时，图象向下平移才可能经过第一、三、四象限．当a>1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，所以m<0.
与指数函数有关的单调性问题[学生用书P45]
讨论函数f(x)＝的单调性，并求其值域．
【解】 法一：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1则f(x1)＝eq
\s\up12(x－2x1)，f(x2)＝eq
\s\up12(x－2x2).
所以＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x－2x2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x－2x1))＝eq
\s\up12(（x－2x2）－（x－2x1）)
＝.
①当x1因为x1＋x2－2<0，x2－x1>0，所以(x2－x1)(x2＋x1－2)<0，
则>1.
又对于x∈R，f(x)>0恒成立，所以f(x2)>f(x1)．
所以f(x)在(－∞，1]上是增函数．
②当1≤x12，
因为x1＋x2－2>0，x2－x1>0，所以(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，
所以0<<1.
所以f(x2)综上，函数f(x)＝在(－∞，1]上是增函数；
在[1，＋∞)上是减函数．
因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，0<<1，
所以0<≤＝3.
所以函数f(x)的值域是(0，3]．
法二：y＝，由y＝与u＝x2－2x复合而成．
当x∈(－∞，1]时，y＝是减函数，
u＝x2－2x也是减函数，
所以此时f(x)＝在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，y＝是减函数，
u＝x2－2x是增函数，
所以此时f(x)＝在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数f(x)＝在(－∞，1]上是增函数，
在[1，＋∞)上是减函数．(求值域方法同法一)
对于较复杂的函数的单调性问题既可按单调性的定义解也可按复合函数的单调性处理．在解具体问题时要视情况而定，如此题选用复合函数的单调性来解较简单．
2.(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性．
(2)求函数y＝2x2－2x－1的单调区间．
解：(1)设x1又由y＝2u的增减性得2g(x1)<2g(x2)，即f(x1)所以f(x)为R上的增函数．
(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，则u在区间[1，＋∞)上为增函数．
根据(1)可知y＝2x2－2x－1在[1，＋∞)上为增函数．
同理可得函数y在(－∞，1]上为减函数．
即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
指数函数的应用问题[学生用书P45]
某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．
【解】 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；
经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米；
…
经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．
故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N
.解决指数函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论． Ｋ
3.截止到现在，我国人口约为14亿，若今后能将人口年平均增长率控制在1%，经过x年后我国人口为y亿．
(1)求y与x之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出增、减的实际意义．
解：(1)y＝f(x)＝14(1＋1%)x＝14×1.01x，x∈N
.
(2)y＝f(x)＝14×1.01x是指数型函数，且是增函数．
即只要增长率为正数，随着时间的推移，我国人口总在增长．
1．函数图象变换分为平移变换与对称变换，要准确地进行变换，必须把握住图象中的关键“点”与关键“线”．
2．画图象时要注意关键“点”的确定．如果图象具有对称性，要注意对称轴或对称中心的确定
函数y＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．
[解析] y＝－＋1＝－
＋1＝＋，
因为x∈[－3，2]，所以≤≤8.
当＝时，ymin＝；当＝8时，
ymax＝57.
所以函数y的值域为.
[答案]
(1)利用换元法解题时易忽略新元的取值范围，其原因在于不注意问题的等价性．
(2)解决一些由指数函数、二次函数等构成的复合函数、方程或不等式时，多采用换元法，将问题转化为简单且易于处理的函数、方程或不等式．求解时应注意新元的取值范围，如本例中把当成一个整体进行代换，然后配方，最后根据指数函数的性质确定的范围，从而得出所求函数的值域．
1．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)
的图象大致为( )
解析：选D.设某林区森林木材原有蓄积量为a(a>0)，x年后为a(1＋0.113)x，
由题意得y＝＝1.113x，
因为x>0，所以图象为D.
2．函数y＝ax与y＝a－x的图象关于________对称．
答案：y轴
3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：因为a0＝1，所以f(1)＝4＋a1－1＝4＋1＝5，
即f(x)的图象恒过定点(1，5)．
答案：(1，5)
4．若函数y＝2x＋1＋b的图象不经过第二象限，则b应满足的条件是________．
解析：x＝0时，y＝b＋2≤0.所以b≤－2.
答案：b≤－2
[学生用书P107(单独成册)])
[A 基础达标]
1．函数y＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，1)
解析：选A.定义域为R.设u＝1－x，
则y＝.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选A.
2．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a＞1
C．a＜1
D．0＜a＜1
解析：选D.因为－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，
又f(x)＝a－x＝，所以＞，
所以＞1，所以0＜a＜1.
已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选B.由函数f(x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数f(x)为增函数，而已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．
4．若定义运算f(a
b)＝则函数f(3x
3－x)的值域是( )
A．(0，1]
B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：选A.由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y＝3x与y＝3－x＝的图象，由图象很容易看出函数f(3x
3－x)的值域是(0，1]．
为了得到函数y＝3×的图象，可以把函数y＝的图象向________平移________个单位长度．
解析：y＝3×＝.
答案：右 1
6．若关于x的方程2x＝3a＋1有负根，则a的取值范围是________．
解析：由x＜0，得0＜2x＜1，
所以0＜3a＋1＜1，
解得－＜a＜0.
答案：
7．已知函数f(x)＝ax在[－1，1]上恒有f(x)＜2，则实数a的取值范围为________．
解析：当a＞1时，f(x)在[－1，1]上是增函数．
因为在x∈[－1，1]上恒有f(x)＜2，所以1＜a＜2.
当0＜a＜1时，f(x)在[－1，1]上是减函数．
因为在x∈[－1，1]上恒有f(x)＜2，
所以＜2且0＜a＜1，所以＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是＜a＜1或1＜a＜2.
答案：∪(1，2)
8．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a的值为________．
解析：当0＜a＜1时，f(x)＝ax为减函数，最小值为a2，最大值为a，故a＝2a2，解得a＝.
当a＞1时，f(x)＝ax为增函数，最小值为a，最大值为a2.
故a2＝2a，解得a＝2.
综上，a＝或a＝2.
答案：或2
9．对于函数y＝.
(1)求其定义域、值域；
(2)确定其单调区间．
解：(1)设u＝x2－6x＋17，
由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域都是R，
故函数y＝的定义域为R.
因为u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
所以≤，又>0，
故函数的值域为.
(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x1、x2∈[3，＋∞)，且x1，
即y1>y2，所以函数y＝在[
3，＋∞)上是减函数，同理可知y＝在(－∞，3]上是增函数．
综上，y＝的单调增区间为(－∞，3]，
单调减区间为[3，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝满足f＝.
(1)求常数c的值；
(2)解关于x的不等式f(x)＞＋1.
解：(1)由f＝，得c·＋1＝，解得c＝.
(2)由(1)得f(x)＝
由f(x)＞＋1，得当0＜x＜时，x＋1＞＋1，解得＜x＜；
当≤x＜1时，2－4x＋1＞＋1，解得≤x＜.
综上，不等式f(x)＞＋1的解集为{x|＜x＜}．
[B 能力提升]
预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k为常数)，其中Pn为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，k为预测期内的年增长率，如果－1A．呈上升趋势
B．呈下降趋势
C．先上升后下降
D．先下降后上升
解析：选B.Pn＝P0(1＋k)n是指数型函数，
因为－1由y＝ax(0若将函数y＝f(x)的图象向左、向下分别平移1个单位就得出函数y＝3x的图象，则f(x)＝________．
解析：问题即把y＝3x的图象向右、向上分别平移一个单位就得出函数y＝f(x)的图象．
所以f(x)＝3x－1＋1.
答案：3x－1＋1
3．利用函数f(x)＝的图象，作出下列各函数的图象．
(1)f(x－1)；(2)f(x＋1)；
(3)－f(x)；(4)f(－x)．
解：图象如图所示．
(1)f(x－1)＝的图象可由f(x)＝的图象向右平移1个单位得到．
(2)f(x＋1)＝的图象可由f(x)＝的图象向左平移1个单位得到．
(3)－f(x)＝－的图象与f(x)＝的图象关于x轴对称．
(4)f(－x)＝＝2x的图象与f(x)＝的图象关于y轴对称．
4．(选做题)已知函数f(x)＝(a＞1)．
(1)判断该函数的奇偶性并说明理由；
(2)求该函数的值域；
(3)证明f(x)是R上的增函数．
解：(1)f(x)为奇函数．理由：
函数的定义域为R，
f(－x)＋f(x)＝＋
＝＝0.
所以函数f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝＝1－(a＞1)．
设t＝ax，则t＞0，
因为y＝1－(t＞0)的值域为(－1，1)，
所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
(3)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为a＞1，x1，x2∈R，且x1＜x2，
所以ax1－ax2＜0，ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，
所以＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)是R上的增函数．
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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解惑·探究·突破第1课时 指数函数的概念、图象及性质
1.了解指数函数的实际背景． 2.理解指数函数的概念、意义、图象和性质．
3．掌握与指数函数有关的函数定义域、值域、单调性问题．
[学生用书P41]
1．指数函数的定义
一般地，形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R．
2．指数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
(0，1)
单调性
增函数
减函数
性质
相应的y值
x>0时，y>1；x＝0时，y＝1；x<0时，0x>0时，01
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数y＝ax中，a可以为负数．( )
(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．( )
(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．下列函数：①y＝(－2)x；②y＝2x；③y＝2－x；④y＝3×2x.其中指数函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
答案：C
3．若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________．
答案：2
4．函数f(x)＝2x，x∈[0，2]的值域是________．
答案：[1，4]
指数函数的概念[学生用书P41]
下列函数中，哪些是指数函数．
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；
④y＝(2a－1)x；⑤y＝2×3x.
【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数．
②中指数不是自变量x，所以不是指数函数．
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数．
④因为a＞且a≠1，所以2a－1＞0且2a－1≠1，
所以y＝(2a－1)x为指数函数．
⑤中3x前的系数是2，而不是1，
所以不是指数函数．故只有④是指数函数．
只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式，其具备的特点为：
1.指出下列函数中，哪些是指数函数．
(1)y＝πx；(2)y＝－4x；
(3)y＝(1－3a)x；
(4)y＝(a2＋2)－x；(5)y＝2×3x＋a(a≠0)．
解：根据指数函数的定义，指数函数满足：①前面系数为1；②底数a＞0且a≠1；③指数是自变量．
(1)y＝πx，底数为π，满足π＞0且π≠1，前面系数为1，且指数为自变量x，故它是指数函数．
(2)y＝－4x，前面系数为－1，故它不是指数函数．
(3)y＝(1－3a)x，因为a<且a≠0，所以1－3a>0且1－3a≠1，前面系数为1，且指数为自变量x，故它是指数函数．
(4)y＝(a2＋2)－x＝，底数∈，前面系数为1，指数为自变量x，故它是指数函数．
(5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x前面系数为2≠1，故它不是指数函数．
故(1)(3)(4)为指数函数．
指数式的比较大小问题[学生用书P42]
比较下列各组数的大小．
(1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3；
(3)0.80.6，0.60.8.
【解】 (1)构造函数f(x)＝1.8x.
因为a＝1.8＞1，所以f(x)＝1.8x在R上是增函数．
因为－π＜－3，所以1.8－π＜1.8－3.
(2)因为y＝在R上是减函数，
所以＝＞＝1.
又因为1.7－0.3与1.9－0.3都大于0，
所以1.7－0.3＞1.9－0.3.
(3)取中间值0.80.8.
因为y＝0.8x在R上单调递减，而0.6＜0.8，
所以0.80.6＞0.80.8.
又因为＝＞＝1，且0.60.8＞0，
0．80.8>0，所以0.80.8＞0.60.8.所以0.80.6＞0.60.8.
对于同底数幂，应利用指数函数的单调性求解；对于同指数的两个函数值，应根据“在y轴的右侧，图象由上到下，底数越来越小”来判断数值的大小；对于不同底数，不同指数的两个函数值，可找一中间函数值，通过“搭桥”来达到比较两个数的大小的目的．
2.比较下列各组中两个数的大小：
(1)0.63.5和0.63.7；
(2)()－1.2和()－1.4；
(3)和；
(4)π－2和.
解：(1)考察函数y＝0.6x，因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.
(2)考察函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以()－1.2>()－1.4.
(3)考察函数y＝.因为>1，所以函数y＝在实数集R上是单调增函数．又因为<，所以<.
(4)因为π－2＝<1，＝31.3>1，
所以π－2<.
与指数函数有关的函数定义域与值域问题[学生用书P42]
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝
.
【解】 (1)x应满足x－4≠0，所以x≠4，
故函数y＝2的定义域为{x|x≠4}．
因为x≠4，所以≠0，所以2≠1.
所以y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)因为x应满足1－≥0，
所以≤1＝，所以x≥0.
所以函数y＝
的定义域为{x|x≥0}．
因为≤1，且>0，所以0<≤1.
所以0≤1－<1，即0≤y<1.
所以函数y的值域为{y|0≤y<1}．
函数y＝af(x)的定义域的求解方法
使f(x)有意义列不等式(组)求出x的取值范围；值域的求解方法：(1)根据定义域求出μ＝f(x)的值域；(2)根据指数函数的性质求出y＝aμ的值域，即为所求．
3.求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝4x＋2x＋1＋1；
(2)y＝.
解：(1)定义域为R.令2x＝t(t＞0)，
则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1.
所以值域为{y|y＞1}．
(2)定义域为R.
令u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，
则u≤1，
因为y＝为减函数，所以y＝≥，
即函数的值域为.
透析指数函数的图象与性质
(1)当底数a大小不确定时，必须分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论函数的图象和性质．
(2)当a＞1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0＜a＜1时，x的值越大，函数的图象越接近x轴．
(3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都经过第一、二象限．
如果函数y＝a2x＋2ax＋1(a>0，a≠1)在[－1，1]上的最大值为9，求a的值．
[解] 设ax＝t(t>0)，则y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.
若0所以当t＝a－1，即x＝－1时，
ymax＝a－2＋2a－1＋1.
于是由a－2＋2a－1＋1＝9，
解得a＝(a>0，a≠1)．
若a>1，则t＝ax∈[a－1，a]，
所以当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋2a＋1.
于是由a2＋2a＋1＝9，
解得a＝2(a>0，a≠1)．
综上所述，a＝或a＝2.
(1)本题换元(设ax＝t)后易出现两个错误：
①已知区间[－1，1]是x的取值范围，误认为是t的取值范围；②a的取值将影响指数函数t＝ax的单调性，从而影响t＝ax的取值范围，故应该分a>1与0(2)指数函数的单调性，由底数的取值范围确定，故当指数函数的底数含有字母时，要对字母的取值情况分类讨论．
1．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为 ( )
A．2
B．－2
C．－2
D．2
解析：选D.因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f＝8＝2.
2．已知函数f(x)＝ax(a>0)的图象经过点(－1，2)，则f(2)＝________．
解析：因为2＝a－1，即a＝，所以f(2)＝＝.
答案：
3．已知函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________．
解析：由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0答案：(0，1)
4．不等式<4的解集是________．
解析：<4即<.
又y＝在(－∞，＋∞)上为减函数．所以x>－2.
答案：(－2，＋∞)
[学生用书P106(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
解析：选C.由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.
B．(－∞，0)
C.
D．
解析：选B.由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.
3．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
解析：选A.因为g(x)＝－x＋a是R上的减函数，所以排除选项C，D.由选项A，B的图象知，a>1.因为g(0)＝a>1，故选A.
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为( )
A．[9，81]
B．[3，9]
C．[1，9]
D．[1，＋∞)
解析：选C.因为函数f(x)＝3x－b的图象经过点(2，1)，
所以32－b＝1，所以2－b＝0，b＝2，
所以f(x)＝3x－2.
由2≤x≤4得0≤x－2≤2，
所以30≤3x－2≤32，
即1≤3x－2≤9，所以函数f(x)的值域是[1，9]．
已知a＝20.4，b＝80.1，c＝，则a，b，c的大小顺序为________．
解析：a＝20.4，b＝20.3，c＝20.5.
又y＝2x在R上为增函数．
所以b答案：b函数f(x)＝的定义域，值域依次是____________________________．
解析：由函数f(x)＝的表达式得x≠0为其有意义的取值范围，≠0.所以≠1且＞0.
于是函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}，
值域为{y|y＞0且y≠1}．
答案：{x|x≠0，x∈R}，{y|y＞0且y≠1}
7.
y＝的值域为________．
解析：因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以≤＝16.
又因为＞0，
所以函数y＝的值域为(0，16]．
答案：
(0，16]
8．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：由题意知f(1)＝21＝2.
因为f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＋2＝0.
若a>0，则f(a)＝2a，2a＋2＝0无解；若a≤0，则f(a)＝a＋1.
所以a＋1＋2＝0，a＝－3.
答案：－3
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝.
解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，
所以函数y＝的值域为(0，9]．
10．已知指数函数f(x)＝ax在x∈[－2，2]上恒有f(x)<2，求实数a的取值范围．
解：当a>1时，f(x)＝ax在[－2，2]上为增函数，
所以f(x)max＝f(2)，
又因为x∈[－2，2]时，f(x)<2恒成立，
所以即解得1同理，当0解得综上所述，a的取值范围为∪(1，)．
[B 能力提升]
1．图中
所给的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________．
解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，知C2的底数答案： π
2．若方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，所以a≥1或a＝0.
答案：{a|a≥1，或a＝0}
3．将，2，，用“<”号连接起来．
解：先将这4个数分成三类：
(1)负数：；
(2)大于1的数：，2；
(3)大于0小于1的数：.
又因为<4＝2，
故<<<2.
4．(选做题)设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．
解：令t＝ax(a>0且a≠1)，
则原函数可化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．
令y＝f(t)，则函数f(t)＝(t＋1)2－2的图象的对称轴为直线t＝－1，开口向上．
①当0此时，f(t)在上为增函数，
所以f(t)max＝f＝－2＝14.
所以＝16，
所以a＝－或a＝.
又因为a>0，所以a＝.
②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上是增函数，
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14.
解得a＝3(a＝－5舍去)．所以a＝或a＝3.
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1(共35张PPT)
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
R
R
(0，＋∞)
(0，1)
y>1
y＝1
00y＝1
y>1
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解惑·探究·突破3.1.1 分数指数幂
1.了解分数指数幂的意义． 2.理解有理指数幂的含义． 3.掌握幂的运算法则．
1．n次实数方根
(1)定义
一般地，如果一个实数x满足xn＝a，那么x叫做a的n次实数方根，其中n＞1，且n∈N
．
(2)性质
①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号表示．
②当n是偶数时，正数的n次实数方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号－表示，正的n次实数方根与负的n次实数方根可合并写成±(a＞0)．
③0的n次实数方根等于0，记作＝0.
④负数没有偶次方根．
2．根式
(1)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)式子对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
3．分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a＞0，m、n∈N
，且n＞1)．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a＞0，m、n∈N
，且n＞1)．
(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
4．有理数指数幂的运算性质
(1)asat＝as＋t；
(2)(as)t＝ast；
(3)(ab)t＝atbt．
其中s，t∈Q，a>0，b>0.
5．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当n∈N
时，()n都有意义．( )
(2)
＝4－π.( )
(3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( )
(4)0的任何指数幂都等于0.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列等式一定成立的序号是( )
A．a·a＝a
B．a－·a＝0
C．(a3)2＝a9
D．a÷a＝a
答案：D
3．(1)4＝________；(2)＝________；
(3)(3)2＝________．
答案：(1)2 (2) (3)3
4．若x＜0，则|x|－＋＝________．
答案：1
根式的化简与求值[学生用书P39]
求下列各式的值．
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)
＋(a＜b＜0，n＞1，n∈N
)．
【解】 (1)＝－2.
(2)＝＝.
(3)＝|3－π|＝π－3.
(4)当n是奇数时，
原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n为偶数时，因为a＜b＜0，
所以a－b＜0，a＋b＜0，
所以原式＝－(a－b)－(a＋b)＝－2a.
所以＋
＝
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意点：
①正确区分()n与两式；
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
1.(1)下列式子中正确的是( )
A.＝
B.＝a
C.＝
D．a0＝1
(2)若＝，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)＝＝，＝|a|，a0＝1条件为a≠0，
故A、B、D错．
(2)＝|2a－1|，
＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，
故2a－1≤0，
所以a≤.
答案：(1)C (2)
分数指数幂的运算[学生用书P39]
(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(只填序号)．
①－＝(－x)(x＞0)；②＝y(y＜0)；③x－＝(x＞0)；④x－＝－(x≠0)．
(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a＞0，b＞0)．
①·；
②
；
③()2·.
【解】 (1)对于①，－＝－x，故①错误；对于②，当y＜0时，＞0，y＜0，故②错误；对于③，x－＝＝
(x＞0)，故③正确；对于④，x－＝，故④错误．综上，填③.
(2)①·＝a·a＝a；
②原式＝a·a·a＝a；
③原式＝·a·b＝ab.
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
计算下列各式：
(1)8×100－××；
(2)(2ab)(－6ab)÷.
解：(1)原式＝(23)×(102)－×(2－2)－3×
＝22×10－1×26×＝28××＝.
(2)原式＝4a＋－b＋－＝4ab0＝4a.
条件求值问题[学生用书P40]
已知x＋x－＝3，求的值．
【解】 因为x＋x－＝3，
所以(x＋x－)2＝9，
所以(x)2＋2x·x－＋(x－)2＝9，
所以x＋2＋x－1＝9，
所以x＋x－1＝7，
所以原式＝＝.
1．若将条件“x＋x－＝3”改为“x－x－＝1”，如何求值？
解：将x－x－＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，所以
x＋x－1＝3，则＝＝.
2．在本例条件下，如何求x2＋x－2的值？
解：将x＋x－＝3两边平方可得x＋x－1＋2＝9，则
x＋x－1＝7，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.
条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
已知x＋x－＝3，求的值．
解：由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，
又得x2＋x－2＝47，所以原式＝＝.
1．“根式记号”的关注点
(1)根式的概念中要求n＞1，且n∈N
.
(2)当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为(a∈R)，当n为大于1的偶数时，(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，从而(±)n＝a.
2．对分数指数幂的理解
(1)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
(2)指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化．
(3)通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在例如(－a)＝中的a，则需要a≤0.
化简：
.
(1)对于根式的计算结果，不强求统一的表示形式．一般地用分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按要求给出结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．
(2)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的．
1．化简的结果是( )
A．1－2x
B．0
C．2x－1
D．(1－2x)2
解析：选C.因为x＞，
所以2x＞1，
所以1－2x＜0
所以＝|1－2x|＝2x－1.
2．计算的结果为( )
A.
B．
C．－
D．－
解析：选A.＝＝＝.
3．已知10x＝2，10y＝3，则10＝________．
解析：10＝＝
＝＝＝.
答案：
[学生用书P105(单独成册)]
[A 基础达标]
1．下列说法正确的个数是( )
(1)49的平方根为7；(2)＝a(a≥0)；
(3)＝a5b；(4)＝(－3).
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A.49的平方根是±7，(1)错；(2)显然正确；＝a5b－5，
(3)错；＝3，(4)错．故选A.
2．化简的结果是( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选A.由题意知x＜0，则＝－＝－.
3．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得( )
A．－b2
B．b2
C．－b
D．b
解析：选A.原式＝
4．将化成分数指数幂为( )
A．x－
B．x
C．x－
D．x
解析：选B.原式＝(x·x－×)＝(x－)＝x－×()＝x.
5．[(－5)4]－150的值是________．
解析：[(－5)4]－150
＝(54)－150＝5－1＝4.
答案：4
6．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a2x＋＝________．
解析：a2x＋＝(ax)2·(ay)＝32·5＝9.
答案：9
7．当有意义时，化简
－的结果为________．
解析：由有意义得x≤2，
所以－
＝|x－2|－|x－3|
＝(2－x)－(3－x)＝－1.
答案：－1
8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)．
(1)； (2)a3·； (3)
.
解：(1)＝＝a－.
(2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(3)
＝＝b·＝b·(－a－2)
＝－ba－.
9．计算或化简：
(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
解：(1)原式＝(－1)－＋－＋1
＝＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
[B 能力提升]
设a－a－＝m，则＝( )
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
解析：选C.将a－a－＝m平方得(a－a－)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，
所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2，所以＝m2＋2.
2．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________．
解析：因为a2＝b4＝m(a>0，b>0)，
所以a＝m，b＝m，a＝b2.
由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，
解得b＝2或b＝－3(舍去)．所以m＝2，m＝24＝16.
答案：16
3．化简求值：
(1)2×(×)6＋()－4×－×80.25＋(－2
017)0；
解：(1)原式＝2×(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.
(2)由x＋x－＝3得x＋x－1＝7，
x2＋x－2＝47，
又因为x＋x－＝＋
＝(x＋x－1－1)
＝3×(7－1)＝18
所以原式＝＝.
4．(选做题)(1)已知a＝3，求＋＋＋的值；
(2)化简÷×.
解：(1)＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
(2)原式＝÷×a
＝××a
＝××a
＝a×a×a＝a.
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第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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第3章
指数函数、对数函数和幂函数
DI
SAN
ZHANG
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解惑·探究·突破
[解]
b-1
3
b、ab
(b°a-1)2·(ab-°)4]
11
=(a2bb2a-2a4b-4)2=(a4b-4)