章末复习提升课
[学生用书P35])
[学生用书P35])
1．函数的三要素
定义域、对应关系、值域．
2．函数的表示方法
解析法、列表法、图象法．
3．函数的单调性
(1)奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
(2)在公共区域上：增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数＝增函数，减函数－增函数＝减函数．
4．函数的奇偶性
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称．
(2)奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．
(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：
奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数．
1．关注新元的范围
用换元法求函数解析式时要注意新元的范围，一般把函数定义域写出来．
2．单调性定义应用时的两个关注点
(1)利用定义证明函数单调性时，在给定区间内所取的两个自变量的值应是该定义区间内的任意两个值，不能用特殊值代替．
(2)利用单调性定义判断函数单调性时切忌“循环论证”，即利用所要证明的结论作为论证问题的依据．
3．判断函数奇偶性的关注点
一般不化简函数解析式，若要化简时要注意化简前后的等价性．
函数的基本概念[学生用书P36]
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，在函数解析式中，要保证二次根式的被开方数不小于零，分式的分母不等于零等．函数的值域是函数值的范围，重视二次函数、函数单调性及图象的作用．
函数y＝的定义域是________．
[解析] 要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3，1]．
[答案] [－3，1]
已知f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝________．
[解析] 因为当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，所以a＝1.
因为当a＜0时，f(a)＝4a＝2，所以a＝(舍去)．
[答案] 1
若函数f()＝x＋1，则f(x)＝________.
[解析] 令＝t，则x＝t2(t≥0)，
所以f(t)＝t2＋1，故f(x)＝x2＋1(x≥0)．
[答案] x2＋1(x≥0)
函数的图象[学生用书P36]
函数的图象是变量间的直观反映，形象直观，借助于图象易于分析出变量间的变化规律，更是研究和记忆函数性质(最值、单调性)的有力工具，尤其是在“多考一点想，少考一点算”的指导下，函数图象将成为考查学生理性思维的一个切入口．这就要求熟记基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)图象的大致形状，掌握函数作图的基本方法(描点法：列表、描点、连线)和图象变换法(平移变换、对称变换等)．
某同学一天早上从家里去学校上学，开始骑自行车，中途自行车爆胎，他只能推着自行车步行赶到学校．若将这天早上他从家里出来后离学校的距离d表示他出发后的时间t的函数d＝f(t)，则函数d＝f(t)的大致图象是下图中的( )
[解析] 因为d表示为某同学出发后离学校的距离，所以d＝f(t)应是关于t的减函数，且当他到达学校时，离学校的距离为零，故排除A、C；开始由于骑自行车走，速度快，因而离学校的距离在单位时间内的变化较大，当自行车爆胎推车步行后，离学校的距离在单位时间内的变化较小，由此应排除B，故较符合该生走法的图象是D.
[答案] D
函数的性质及应用[学生用书P36]
(1)与函数单调性有关的问题主要有：①由函数单调性的定义判断或证明某一个函数在一个区间内的单调性；②通过图象求函数的单调区间；③应用函数的单调性解(证明)不等式、比较数的大小等．
(2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，高考考查的重点有：用定义法判断函数的奇偶性，奇偶性的应用，特别是在画函数图象、求解析式、解不等式等方面的应用．
设函数f(x)＝－5x＋a为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
[解] (1)因为f(x)是奇函数，x≠0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以－＋5x＋a＝－＋5x－a，
所以2a＝0，所以a＝0，
经检验a＝0为所求．
(2)由(1)知，f(x)＝－5x，所以f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，没有单调增区间．
当x>0时，设0
＝－
＝＋5(x2－x1)
＝(x2－x1)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
1．f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：选C.f(x)的定义域为{x|x≠1}．又f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数．
2．已知点P1(x1，2
018)和P2(x2，2
018)在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析：选C.依题意得x1＋x2＝－，f(x1＋x2)＝f(－)＝a(－)2＋b(－)＋9＝9.
3．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋2是偶函数，则f(m＋1)＝________．
解析：因为f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋2是偶函数，所以m＝0，则f(x)＝－x2＋2，所以f(m＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
4．若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f＜2.
解：(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，所以f(1)＝0.
(2)因为f(6)＝1，
所以f(x＋3)－f＜2＝f(6)＋f(6)，
所以f(3x＋9)－f(6)＜f(6)，即f＜f(6)．
因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
所以解得－3＜x＜9.
即不等式的解集为(－3，9)．
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－x2.
(1)求x<0时，f(x)的解析式；
(2)问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为？若存在，求出所有a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－2x－x2，
又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x＋x2，
即x<0时，f(x)＝2x＋x2(x<0)．
(2)分下述三种情况：
①若01，而当x≥0，f(x)的最大值为1，故此时不可能使g(x)＝f(x)；
②若0③若1≤a?
考虑到1≤a综上所述，
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第2章 函 数
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本部分内容讲解结束
知识网络体系构建
织网·把脉·贯通
概念(1)定义域;(2)对应法则;(3)值域
表示)()解析法;(2图象法;(3列表法
函数
定义
单调性
最值
图象特征:
上升或下降
性质
定义
奇偶性
图象特征:对称性
知识要点易错提醒
要点·梳理·清错
主题串讲,综合提高
情研·悟道·突破
[热考强化训练]