第2课时 函数奇偶性的应用
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法．
2．理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．
利用奇偶性求函数的解析式[学生用书P32]
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．
【解】 当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)，
所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1，
故f(x)＝
1．[变问法]在本例条件下，求f(－3)的值．
解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3－1)＝－2.
2．[变条件]将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式．
解：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x－1，
即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1.
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)利用已知区间的解析式代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
1.(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，求当x＜0时，f(x)的解析式．
(2)已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝，求f(x)，g(x)．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
所以f(－x)＝－x(1－x)．
因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以当x＜0时，f(x)＝－x(1－x)．
(2)由f(x)＋g(x)＝，①
把x换成－x，得f(－x)＋g(－x)＝，
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
又因为g(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)－g(x)＝－.②
由①②得f(x)＝，g(x)＝.
函数的奇偶性与单调性的综合问题[学生用书P33]
(1)(2019·兰州高一检测)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)
D．f(π)(2)已知定义在(－1，1)上的f(x)＝.
①试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
②解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.
【解】 (1)选A.因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．
(2)①因为f(x)＝，
所以任取x∈(－1，1)，则－x∈(－1，1)，
所以f(－x)＝＝－＝－f(x)．
故f(x)＝为奇函数．
任取x1，x2∈(－1，1)且x1＜x2，
所以f(x2)－f(x1)＝eq
\f(x2,x＋1)－eq
\f(x1,x＋1)＝eq
\f(x2（x＋1）－x1（x＋1）,（x＋1）（x＋1）)＝eq
\f(（x2－x1）（1－x1x2）,（x＋1）（x＋1）).
因为x2－x1＞0，1－x1x2＞0且分母x＋1＞0，x＋1＞0，
所以f(x2)＞f(x1)，故f(x)＝在(－1，1)上为增函数．
②因为定义在(－1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t－1)＋f(2t)＜0，
得f(t－1)＜－f(2t)＝f(－2t)．
所以有
解得0＜t＜.
故不等式f(t－1)＋f(2t)＜0的解集为.
[变问法]本例(2)中函数的值域是什么？
解：由于f(x)＝在(－1，1)上是增函数，且f(－1)＝－，f(1)＝，
所以函数值域为.
奇偶性与单调性综合问题的两种类型
(1)比较大小：
①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
(2)解不等式：
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式．
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
2.(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－10)
B．f(1)C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和f(－10)关系不定
(2)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
解析：(1)选A.因为f(x)是偶函数，所以f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，所以f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
(2)选C.因为f(x)为奇函数，<0，即
<0，
因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
所以当x>1时，f(x)<0.
因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x<－1时，f(x)>0.综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
1．函数的奇偶性和单调性的性质属性
函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的，而函数的单调性是相对于定义域的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．
2．具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并用定义证明．
【解】 (1)因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
所以＝－＝，
因此b＝－b，
解得b＝0.
又因为f(2)＝，
所以＝，
解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋，
f(x)在(－∞，－1]上为增函数，
证明：设x1则f(x1)－f(x2)＝
(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
因为x1所以x1－x2<0，x1x2>1.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在(－∞，－1]上为增函数．
(1)解答此类问题需要根据奇、偶函数的定义建立关于参数的恒等式，通过比较等式两边来确定关于参数的方程．
(2)解题时要挖掘隐含条件，具备式子变形能力．如本例由奇函数要挖掘出f(－x)＝－f(x)这一隐含条件．
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝－
解析：选B.对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－不是偶函数．故选B.
2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B．
C.
D．
解析：选A.由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)解得3．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a＋b________0(填“>”“<”或“＝”)．
解析：由f(a)＋f(b)>0得f(a)>－f(b)，
因为f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
所以f(a)>f(－b)，又f(x)为减函数，
所以a<－b，即a＋b<0.
答案：<
4.
设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0，1]上的图象如图，则它在[－1，0]上的解析式为________．
解析：由题意知f(x)在[－1，0]上为一条线段，
且过(－1，1)、(0，2)，设y＝kx＋b，
代入解得k＝1，b＝2.所以y＝x＋2.
答案：y＝x＋2
5．已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式．
解：因为x＜0，所以－x＞0，
所以f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)
＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|.
故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|.
[学生用书P99(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：选A.因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
2．如果偶函数f(x)在[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是( )
A．增函数，最小值是5
B．增函数，最大值为－5
C．减函数，最小值是5
D．减函数，最大值为－5
解析：选C.可先画出y＝f(x)在[3，7]上的大致草图，由于y＝f(x)是偶函数，根据偶函数的图象关于y轴对称，画出y＝f(x)在[－7，－3]上的图象，可知f(x)在[－7，－3]上为减函数，其最小值为5.
3．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f，c＝f的大小关系是( )
A．bB．bC．aD．c解析：选C.f(x)为偶函数，则a＝f(－)＝f()，又因为<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f()4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)( )
A．可能是增函数，也可能是常函数
B．是增函数
C．是常函数
D．是减函数
解析：选A.因为f(x)是偶函数，所以m＝±1，
当m＝1时，f(x)＝1是常函数；
当m＝－1时，f(x)＝－2x2＋1在(－∞，0]上是增函数．
5．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
解析：选A.令x＝y＝0，所以f(0)＝f(0)＋f(0)，
所以f(0)＝0.
又因为f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，故选A.
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，
所以f(－3)＝－f(3)＝－6，
所以(－3)2＋a(－3)＝－6，
解得a＝5.
答案：5
7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
解析：根据偶函数的性质，易知f(x)＞0的解集为(－2，2)，若f(x－1)＞0，则－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.
答案：(－1，3)
8．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，
因为图象关于y轴对称，且它的值域为(－∞，4]，
所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0(舍去)，
所以f(x)＝－2x2＋2a2，
又因为值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，
所以f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
9．已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
解：(1)由已知g(x)＝f(x)－a，得g(x)＝1－a－，
因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0＝1－－＝.
因为00，
从而<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
10．当x在实数集R上任意取值时，函数f(x)相应的值等于2x，2，－2x三个之中最大的那个值．
(1)求f(0)与f(3)；
(2)画出f(x)的图象，写出f(x)的解析式；
(3)证明f(x)是偶函数．
解：(1)当x＝0时，对应的三个值分别为0，2，0，故f(0)＝2；当x＝3时，对应的三个值分别为6，2，－6，故f(3)＝6.
(2)下图的实线部分就是函数f(x)的图象，其解析式为f(x)＝
(3)证明：当x＞1时，－x＜－1，
所以f(－x)＝－2(－x)＝2x，f(x)＝2x，有f(－x)＝f(x)；
当x＜－1时，－x＞1，f(－x)＝2(－x)＝－2x，f(x)＝－2x，有f(－x)＝f(x)；
当－1≤x≤1时，f(－x)＝2＝f(x)．
综上所述，对定义域中任意一个自变量x都有f(－x)＝f(x)成立．所以f(x)是偶函数．
[B 能力提升]
1．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是( )
A．f>f
B．fC．f≥f
D．f≤f
解析：选C.因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f≤f＝f.
2．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有( )
A．最小值－8
B．最大值－8
C．最小值－6
D．最小值－4
解析：选D.根据题意有f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，又因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(x)＋g(x)
是奇函数且f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，则F(x)在(－∞，0)上有最小值－6＋2＝－4，故选D.
3．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)．
解：由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
4．(选做题)已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．
解：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，
则f(－x)＝f(x)，即＝，
解得m＝0.
(2)由(1)知f(x)＝，
设任意的x1，x2∈(－∞，0]，
且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝eq
\f(1,1＋x)－eq
\f(1,1＋x)＝eq
\f(1＋x－1－x,（1＋x）（1＋x）)＝eq
\f(（x2＋x1）（x2－x1）,（1＋x）（1＋x）)，
因为x1＜x2≤0，则x2＋x1＜0，x2－x1＞0，(1＋x)(1＋x)＞0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
(3)由(2)知函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
又f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
所以f(x)在[－3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(－3)＝.
PAGE
1(共38张PPT)
第2章 函 数
第2章 函 数
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第1课时 函数奇偶性的概念
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系． 3.会利用函数的奇偶性解决简单问题．
[学生用书P29]
1．奇、偶函数的含义
(1)偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
(3)奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．
2．奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( )
(2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．( )
(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．( )
(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
答案：B
3．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a＝________．
答案：1
4．函数f(x)＝x4在定义域R上是______函数(填“奇”或“偶”)．
答案：偶
函数奇偶性的判断[学生用书P30]
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
(3)f(x)＝.
【解】 (1)函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，因为对定义域内的每一个x，
都有f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝为奇函数．
(2)因为x∈R，所以－x∈R.又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法
(2)图象法
[注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(2)f(x)＝＋
；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)因为x∈R，
所以－x∈R，
又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，
关于原点对称，且f(x)＝0，
又因为f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]．
即有－1≤x≤1且x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又因为f(－x)＝
＝－＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
奇、偶函数的图象[学生用书P31]
已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．
(1)画出函数f(x)在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f(x)＜0的x的取值集合．
【解】 (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值y＜0即f(x)＜0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．
1．[变问法]在本例条件下，试比较f(3)与f(－3)的大小．
解：由图象可知f(3)＜0，f(－3)＞0，故f(3)＜f(－3)．
2．[变条件]将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5，0]上的图象．
解：因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象．可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
[注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．
2.已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
解析：选D.因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.
利用函数的奇偶性求参数[学生用书P31]
(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．
(2)若已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝，求函数f(x)的解析式．
【解】 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
故填，0.
(2)因为f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，所以b＝0.
又因为f＝＝，
所以a＝1，所以f(x)＝.
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
3.(1)若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为( )
A．±1
B．－1
C．1
D．0
(2)已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________．
解析：(1)因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，
所以1－a2＝0.
所以a＝±1.
当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件；当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足．
(2)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＋f(1)＝0，
即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.
答案：(1)C (2)1
1．函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点
(1)定义域：奇、偶函数的定义域关于原点对称．
(2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1(f(x)≠0)．
2．函数奇偶性的三个关注点
(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合．
(3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
[注意] 函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
3．奇、偶函数图象的特征
(1)奇函数：图象关于原点对称，反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数：图象关于y轴对称，反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x，x∈(0，1]
C．y＝x3＋x
D．y＝x3＋1
解析：选C.对于A，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝f(x)，即f(x)为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；对于D，f(－x)＝－x3＋1≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B.因为函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
即(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(－m＋2)x＋(m2－7m＋12)，
即m－2＝－m＋2，解得m＝2.
3．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________．
解析：当x＞0时，f(x)＝x2＋，
所以f(1)＝1＋1＝2.
又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－2.
答案：－2
4．奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________．
解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．
答案：(－∞，－1]，[1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，
所以m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，x≠0.
因为f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
[学生用书P97(单独成册)]
[A 基础达标]
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3
B．y＝x5
C．y＝x2，x∈[0，1]
D．y＝x
解析：选A.对A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以f(x)是偶函数，B、D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.
2．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
解析：选C.因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
3．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a，0)∪(0，2a－2)上的偶函数，则f＝( )
A．1
B．3
C.
D．
解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1.于是f＝f(1)＝3.
4．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A.F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函数的定义．
5．(2019·武汉模拟)如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2
B．2
C．1
D．0
解析：选A.由图知f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
6．已知函数f(x)＝是奇函数，则实数b＝________．
解析：法一(定义法)：因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
整理得＝－，
所以－x＋b＝－(x＋b)，即2b＝0，
解得b＝0.
法二(赋值法)：因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
即＝－，
即＝－，
解得b＝0.
法三(赋值法)：因为f(x)为奇函数，且函数的定义域为R，所以f(0)＝0，即＝0，
解得b＝0.
答案：0
7．如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝________．
解析：设x<0，则－x>0，所以2×(－x)－3＝－2x－3.
又原函数为奇函数，所以f(x)＝－(－2x－3)＝2x＋3.
答案：2x＋3
8．(2019·保定高一检测)函数f(x)＝ax3＋bx＋＋5，满足f(－3)＝2，则f(3)的值为________．
解析：因为f(x)＝ax3＋bx＋＋5，
所以f(－x)＝－ax3－bx－＋5，
即f(x)＋f(－x)＝10.
所以f(－3)＋f(3)＝10，
又f(－3)＝2，所以f(3)＝8.
答案：8
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
解：(1)因为f(－x)＝3＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)因为x∈[－3，3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(3)因为f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，
f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
所以f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为R上的奇函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解：(1)由奇函数的性质可作出y＝f(x)在y轴右侧的图象，图①为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)由偶函数的性质可作出y＝f(x)在y轴右侧的图象，图②为补充后的图象．易知f(1)>f(3)．
[B 能力提升]
1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C.依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B错；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．故选C.
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1，故选C.
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，
所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
4．(选做题)已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值，并画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
解：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，所以m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知
f(x)＝
由图象可知，f(x)在[－1，1]上单调递增，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需解得1PAGE
1(共38张PPT)
第2章 函 数
第2章 函 数
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第2课时 函数的最值
1.理解函数最值的概念及几何意义． 2.掌握图象法、配方法、函数单调性法求函数最值．
[学生用书P27]
函数的最大值与最小值
定
义
记
法
最大值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A
如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值
ymax＝f(x0)
最小值
如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值
ymin＝f(x0)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值．( )
(2)如果一个函数既有最大值又有最小值，那么这个函数的最小值一定比最大值小．( )
(3)函数f(x)＝－x在[2，3)上的最大值为－2，无最小值．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1，0
B．0，2
C．－1，2
D．，2
答案：C
3．函数y＝2x2＋2，x∈N
的最小值是________．
答案：4
4．函数y＝在[2，6]上的最大值与最小值之和等于________．
答案：
利用图象求函数的最值[学生用书P27]
已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间；
(2)根据函数的图象求出函数的最小值．
【解】 (1)函数的图象如图所示．
由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．
(2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1.
图象法求最值的一般步骤
1.已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解：
y＝－|x－1|＋2＝图象如图所示，
由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．
利用单调性求函数的最值[学生用书P28]
已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1所以x1－x2<0，(x1＋2)(x2＋2)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在[3，5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，
f(x)min＝f(3)＝.
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
[注意] 求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值．
2.求函数f(x)＝在区间[2，5]上的最大值与最小值．
解：任取2≤x1＜x2≤5，
则f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为2≤x1＜x2≤5，所以x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0，
所以f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x2)＜f(x1)，
所以f(x)＝在区间[2，5]上是减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
二次函数的最值[学生用书P28]
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，求f(x)在[－5，5]上的最大值．
【解】 f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2，x∈[－5，5]，对称轴为直线x＝－a.
(1)当－a＜－5，即a＞5时，函数f(x)在[－5，5]上单调递增，如图①.
所以f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a.
(2)当－5≤－a<0，即0所以f(x)max＝f(5)＝52＋2a×5＋2＝27＋10a.
(3)当0
≤－a≤5，即－5≤a≤0时，如图③.
所以f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.
(4)当－a>5，即a<－5时，如图④.
所以f(x)max＝f(－5)＝(－5)2＋2a×(－5)＋2＝27－10a.
综上可知，f(x)max＝
二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解常见的有以下三种情况：
(1)对称轴与区间[m，n]均是确定的；
(2)动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；
(3)定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定．
以上三种情况，对于(1)可数形结合，较易解决；对于(2)和(3)，应按对称轴在区间的左侧、内部、右侧分三类结合其图象特征分别求解．
3.当x∈[0，1]时，求函数f(x)＝x2＋(2－6a)x＋3a2的最小值．
解：因为函数y＝f(x)图象的对称轴的方程为x＝3a－1，
(1)当3a－1＜0，即a＜时，f(x)在闭区间[0，1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝3a2；
(2)当3a－1＞1，即a＞时，f(x)在闭区间[0，1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝3a2－6a＋3；
(3)当0≤3a－1≤1，即≤a≤时，
f(x)min＝f(3a－1)＝－6a2＋6a－1.
综上可知，
f(x)min＝
1．对函数的最值的理解
(1)最大值(或最小值)必须是一个函数值，是值域中的一个元素．如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
(2)使函数f(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个．如函数f(x)＝x2，x∈[－1，1]的最大值是1，此时有f(1)＝f(－1)＝1，即取得最大值的自变量有两个．
(3)不等式f(x)≥M或f(x)≤M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值．
(4)不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值．
2．函数的最值与值域的关系
(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．
(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，即此时函数的最大值是其值域中的最大值，函数的最小值是其值域中的最小值．
求函数y＝x－的最值．
[解] 令＝t(t≥0)，则x＝.
所以y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
因为y＝－(t＋1)2＋1在[0，＋∞)上是减函数，
所以当t＝0，即x＝时，
取得最大值，最大值为.
故函数的最大值为，无最小值．
(1)错因：本题可设＝t，将原函数的最值问题转化为二次函数y＝－t的最值问题，但易忽视t的取值范围而导致出现错误结果．
(2)防范：换元法求函数最值时，要注意所换的新元的取值范围的确定，在此范围的限制下求新的函数的最值即为原函数的最值．
1．函数f(x)＝在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是( )
A.，1
B．1，
C.，1
D．1，
解析：选B.因为函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝.
2．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是( )
A．R
B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞)
D．?
解析：选B.因为f(x)＝2x－3在x∈[1，＋∞)上为增函数，
所以f(x)min＝－1，故满足f(x)≥－1.
又因为在x≥1时，f(x)≥m恒成立，
所以m≤－1，故m∈(－∞，－1]．
3．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)( )
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值
D．既无最大值，又无最小值
解析：选D.f(x)＝画出图象可知(图略)，既无最大值又无最小值．
[学生用书P95(单独成册)]
[A 基础达标]
1．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是( )
A．－1，3
B．0，2
C．－1，2
D．3，2
解析：选C.当x∈[－2，2]时，由题图可知，当x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；
当x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C.
2．函数y＝x－在[1，2]上的最大值为( )
A．0
B．
C．2
D．3
解析：选B.函数y＝x在[1，2]上是增函数，函数y＝－在[1，2]上是增函数，
所以函数y＝x－在[1，2]上是增函数．
故当x＝2时，ymax＝2－＝.
3．函数y＝的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选C.当x<1时，函数y＝x＋3单调递增，且有y<4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，则在x＝1处取得最大值，为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
解析：选C.当a＞0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.综上，a＝±2.
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选C.因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.
所以f(x)在[0，1]上单调递增．
又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.
所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
6．函数f(x)＝的最大值是________．
解析：1－x(1－x)＝x2－x＋1＝＋≥.
因此，有0＜≤.所以f(x)的最大值为.
答案：
7．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a>0)在区间[1，3]上有最大值5和最小值2，则a＋b＝__________．
解析：依题意，f(x)的对称轴为x＝1，函数f(x)在[1，3]上是增函数．故当x＝3时，该函数取得最大值，
即f(x)max＝f(3)＝5，3a－b＋3＝5，
当x＝1时，该函数取得最小值，
即f(x)min＝f(1)＝2，
即－a－b＋3＝2，
所以联立方程得
解得a＝，b＝.
因此a＋b＝1.
答案：1
8．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
解析：法一：f(x)＝f(x)在和上分别为减函数和增函数．
所以f(x)min＝f＝.
法二：作函数f(x)的图象如图，由图知当x＝时，f(x)min＝f＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值．
解：f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在和(0，＋∞)上是增函数，
在上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)；
单调递减区间为.
(2)因为f＝，f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为.
10．已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]．
(1)求证：f(x)在[－3，－2]上是增函数；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)证明：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由于－3≤x1则x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)＝在[－3，－2]上是增函数．
(2)因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，且f(x)在[－3，－2]上是增函数，所以函数f(x)的最大值是4，最小值是3.
[B 能力提升]
1．函数f(x)＝|x－1|＋|2－x|的最小值为________．
解析：法一：f(x)＝|x－1|＋|2－x|＝
作出函数图象(如图)易得f(x)最小值为1.
法二：在数轴上，设实数1，2，x分别对应点A，B，P，则|x－1|＋|2－x|＝AP＋BP，结合图象易得AP＋BP≥AB＝1，当P在A，B之间时取等号．
答案：1
2．定义域为R的函数y＝f(x)的最大值为M，最小值为N，则函数y＝f(2x)＋3的最大值为________，最小值为________．
解析：y＝f(2x)的最大值为M，最小值为N，故y＝f(2x)＋3的最大值为M＋3，最小值为N＋3.
答案：M＋3 N＋3
3．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[－1，1]上的最小值．
解：函数f(x)的对称轴为x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：
当a＞1时，f(x)在[－1，1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1，1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a＜－1时，f(x)在[－1，1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，f(x)min＝
4．(选做题)某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：
(1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)；
(2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？
解：(1)由题意得G(x)＝2.8＋x，
所以f(x)＝R(x)－G(x)
＝
(2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减，
所以f(x)当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，
所以当工厂生产4百台产品时，可使利润最大为3.6万元．
PAGE
1(共32张PPT)
第2章 函 数
第2章 函 数
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第1课时 单调性
1.了解函数单调性的实际背景． 2.理解函数单调性及几何意义． 3.掌握判断或证明函数单调性的方法．
[学生用书P24]
单调增(减)函数、单调增(减)区间
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A.
(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．
(3)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(2)已知函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案：D
3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．k>
B．k>－
C．k<
D．k<－
答案：C
4．函数f(x)＝x2＋2x＋1的单调递减区间是__________．
答案：(－∞，－1]
求函数的单调区间[学生用书P25]
画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
【解】
y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，
单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
(1)利用函数图象确定函数的单调区间，具体作法是先化简函数式，然后再画出它的图象，最后根据函数定义域和图象的形状，确定函数的单调区间．
(2)一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．
(3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集．
1.(1)如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是__________．
(2)求函数y＝|x2－2x－3|的单调区间．
解：(1)由图象知单调递增区间为[－1.5，3]和[5，6]．
故填[－1.5，3]和[5，6]．
(2)y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，
由图象可得其单调递增区间是[－1，1]，[3，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[1，3]．
定义法判断或证明函数的单调性[学生用书P25]
证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数.
【证明】 任取x1，x2∈(－∞，－1]，且x1＝2(x－x)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．
因为x1所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，－1]上是单调减函数．
利用定义证明函数单调性的步骤
2.证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
利用函数的单调性求参数的取值范围[学生用书P26]
已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【解】 因为f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
所以f(x)的减区间是(－∞，1－a]．
因为f(x)在(－∞，4]上是减函数，
所以对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
所以1－a≥4，解得a≤－3.
本例中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？
解：由本例知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，
所以1－a＝4，a＝－3.
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)应用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)或方程，解不等式(组)或方程可求得参数的取值范围．
3.已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上具有单调性，求实数a的取值范围．
解：函数
f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1，2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，
从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
1．x1，x2的三个特征
(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；
(2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1＜x2；
(3)同属一个单调区间．
2．理解函数的单调性应注意的问题
(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．
(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为________．
[解析] 由题意，得
解得1≤x≤2.①
因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，
且f(x－2)＜f(1－x)，所以x－2＜1－x，
解得x＜.②
由①②得1≤x＜.
[答案]
(1)本题易忽视函数的定义域为[－1，1]，直接利用单调性得到不等式x－2＜1－x，从而得出x＜的错误答案．
(2)解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则对任意x1，x2∈D，且f(x1)＜f(x2)，有x1＜x2；若函数y＝f(x)在区间D上是减函数，则对任意x1，x2∈D，且f(x1)＞f(x2)，有x1＜x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域.
1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
解析：选D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．
2．已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2解析：因为A(0，－2)，B(－3，2)在函数y＝f(x)的图象上，所以f(0)＝－2，f(－3)＝2，故－2答案：(－3，0)
3．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调性．
解：f(x)＝的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调递增区间为[2，＋∞)．
[学生用书P93(单独成册)])
[A 基础达标]
1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析：选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.
2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－|x＋1|
解析：选B.y＝3－x，y＝，y＝－|x＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y＝x2＋1在(0，2)上是增函数．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3，0]上( )
A．递减
B．递增
C．先减后增
D．先增后减
解析：
选C.y＝|x＋2|＝
作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，
在[－2，0]上为增函数．
4．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)<0
B．增函数且f(0)<0
C．减函数且f(0)>0
D．增函数且f(0)>0
解析：选A.因为y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0，则f(x)＝bx＋a在R上为减函数且f(0)＝a<0，故选A.
5．若函数f(x)在R上单调递增，则f(x2－2x)与f(－1)
的大小关系为( )
A．f(x2－2x)≥f(－1)
B．f(x2－2x)≤f(－1)
C．f(x2－2x)＝f(－1)
D．不能确定
解析：选A.因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
又函数f(x)在R上单调递增，
所以f(x2－2x)≥f(－1)．故选A.
6．已知函数f(x)为R上的单调减函数，若f(a2＋2a－1)＝f(3－a)，则a＝________．
解析：由题意，f(a2＋2a－1)＝f(3－a)，则a2＋2a－1＝3－a.所以a2＋3a－4＝0，所以a＝1或－4.
答案：－4或1
7．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是__________．
解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又因为－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
答案：f(－3)>f(－π)
8．若函数f(x)＝|(x－1)(x－a)|(a>1)的一个单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．
解析：f(x)＝
其图象如图所示．
它的单调递增区间为和[a，＋∞)．
所以[a，＋∞)＝[3，＋∞)，所以a＝3.
答案：3
9．证明：函数f(x)＝－在定义域上是单调减函数．
证明：易知f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x1则f(x2)－f(x1)＝－－(－)＝－＝
＝
.
因为x1－x2<0，＋>0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)＝－在[0，＋∞)上是单调减函数．
10．已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)＜f(x)，求满足f(1－a)＜f(2a－1)的a的取值范围．
解：令x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
因为对任意的正数d，都有f(x＋d)＜f(x)，
所以f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＜f(x1)．
所以函数y＝f(x)是减函数．
又因为f(1－a)＜f(2a－1)，
所以1－a＞2a－1，
解得a＜.
所以a的取值范围是.
[B 能力提升]
1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是________(填序号)．
①f(x)＝； ②f(x)＝－3x＋1；
③f(x)＝x2＋4x＋3;
④f(x)＝x＋.
解析：由题意f(x)在(0，＋∞)上为增函数，函数f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上都为减函数，函数f(x)＝x＋在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，函数f(x)＝x2＋4x＋3在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，故在(0，＋∞)上也为增函数．满足条件的只有③.
答案：③
2．若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0，2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是________．
解析：由于f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(2)>f(0)，
解得a<0.
又因f(x)图象的对称轴为x＝－＝2.
所以f(x)在[0，2]上的值域与在[2，4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
答案：[0，4]
3．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，求a的值．
解：因为f(x)＝
所以f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
所以－＝3，
所以a＝－6.
4．(选做题)已知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)>0，f(3)＝1.判断g(x)＝f(x)＋在(0，3]上是增函数还是减函数，并加以证明．
解：函数g(x)在(0，3]上是减函数．证明如下：
任取x1，x2∈(0，3]，且x1g(x1)－g(x2)＝－
＝[f(x1)－f(x2)]＋
＝[f(x1)－f(x2)].
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)<0.
又因为f(x)>0，f(3)＝1，
所以0所以01，
1－<0.所以g(x1)－g(x2)>0，
所以函数g(x)＝f(x)＋在(0，3]上是减函数．
PAGE
1(共30张PPT)
第2章 函 数
第2章 函 数
任意
单调增函数
任意
单调减函数
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破