2．1.2 函数的表示方法
1.了解简单分段函数的定义． 2.了解函数的三种表示方法． 3.掌握用待定系数法、换元法求函数的解析式．
[学生用书P20]
1．函数的表示方法
表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．
(1)解析法就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．
(2)列表法就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．
(3)图象法就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．
2．分段函数
对于一个函数，在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这种函数通常叫做分段函数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( )
(2)函数f(x)＝是分段函数．( )
(3)所有函数都可以用函数的三种表示法来表示．( )
(4)分段函数的定义域是不唯一确定的．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知f(x)＝x2－x＋2，则f()＝__________，f(f(3))＝_________，f＝_________，f(a＋b)＝__________．
解析：f()＝()2－＋2＝5－；
f(3)＝32－3＋2＝8，所以f(f(3))＝f(8)＝58；
f＝－＋2；
f(a＋b)＝(a＋b)2－(a＋b)＋2.
答案：5－ 58 －＋2 (a＋b)2－(a＋b)＋2
3．已知函数y＝－x2－2x＋1，其中x∈R，则函数的值域为________．
解析：函数y＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2的图象如图所示．
当x∈R时，观察图知y≤2，即值域为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
函数的表示方法[学生用书P21]
某同学购买x(x∈{1，2，3，4，5})张价格为20元的科技馆门票，需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．
【解】 (1)列表法：
x/张
1
2
3
4
5
y/元
20
40
60
80
100
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝20x，x∈{1，2，3，4，5}．
函数的常用表示方法有三种：解析法，图象法和列表法，要注意三者之间的区别与联系．针对不同的问题，选取表示的方法不一定相同，恰当准确地描述出变量之间的函数关系是目的．
1.在学校的洗衣店每洗一次衣服(4.5千克以内)需付费4元，如果在这家洗衣店洗衣10次以后可以免洗一次．
(1)根据题意填写下表；
第n次洗衣
5
9
10
11
15
第n次洗衣的费用C
(2)“费用C是第n次洗衣”的函数，还是“第n次洗衣是费用C的函数”？
(3)写出函数的解析式．
解：(1)
第n次洗衣
5
9
10
11
15
第n次洗衣的费用C
4
4
4
0
4
(2)由函数的定义知，费用C是第n次洗衣的函数．
(3)C＝
求函数的解析式[学生用书P21]
根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f＝，求f(x)；
(2)若f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)．
【解】 (1)设t＝，
则x＝(t≠0)，代入f＝，
得f(t)＝＝，
故f(x)＝(x≠0)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.
所以解得
所以f(x)＝－x2＋x－3.
待定系数法是求函数解析式的常用方法，若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
2.已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c.
由f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，
知2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x.
故有 解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
分段函数求值问题[学生用书P22]
已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值；
(3)若f(m)>m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．
【解】 (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，
知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2，
因为f＝－＋1＝－，且－2<－<2，
所以f＝f＝＋2×
＝－3＝－.
(2)①当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．
②当－2
所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
因为1∈(－2，2)，－3?(－2，2)，所以a＝1，符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2，符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
(3)由于f(m)>m，当m≤－2时，f(m)＝m＋1>m恒成立，故m≤－2；
当m≥2时，f(m)＝2m－1>m，解得m>1.故m≥2.
所以，m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(1)求分段函数的函数值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，再代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
3.已知函数f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围．
解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，
解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上可得：x>0或x<－4.
分段函数图象问题[学生用书P22]
已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象．
【解】 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
4.分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
(1)y＝(2)y＝
(3)y＝|x＋1|.
解：各函数对应图象如下所示：
由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]；
(3)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是[0，＋∞).
1．对分段函数的三点说明
(1)分段函数是一个函数，只不过是在定义域的不同子区间上的函数解析式不同而已．
(2)分段函数的定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段因变量取值的并集．
(3)分段函数的图象应分段来作，应特别注意各段图象的端点是用实心点还是空心点来表示．
2．求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
求下列函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
[解] (1)法一(配凑法)：因为f(＋1)＝x＋2，
所以f(＋1)＝()2＋2＋1－1
＝(＋1)2－1，?
其中，＋1≥1.
所以，f(x)＝x2－1(x≥1)．?
法二(换元法)：令＋1＝t，
则x＝(t－1)2，且t≥1.?
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)用代替x，得2f(x)＋f＝.
于是得关于f(x)的方程组?
解得f(x)＝－(x≠0)．
(1)抓关键，促规范
?配凑法的关键是将已知的f(g(x))的表达式中“配凑”出g(x)，如本题将f(＋1)＝x＋2的表达式x＋2“配凑”为(＋1)2－1，即“配凑”出(＋1)．
?不要忽视定义域的确定．
?换元后不要忽视所换元的取值范围的确定，它将决定最后的函数定义域．
?方程组法求解析式的关键是构造方程组．
(2)求解析式的方法
①配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出g(x)，即用g(x)来表示f(x)，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．
②换元法：已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，可设g(x)＝t，解出x，代入h(x)．
③方程组法：已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边所有的x，得出关于f(x)与f(g(x))的方程组，消去f(g(x))解出f(x)即可．
1．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x－1
D．f(x)＝3x＋4
解析：选A.法一：令2x＋1＝t，则x＝.
所以f(t)＝6×＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.
法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2.
2．函数f(x)＝则f(1)的值为________．
解析：因为1＞0，所以f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0.
答案：0
3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则其表达式为________．
答案：f(x)＝
4．写出下列函数的解析式，并作出函数图象．
(1)设函数y＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2；
(2)设函数y＝f(x)，当x≤－1时，f(x)＝x＋1；
当－1＜x＜1时，f(x)＝0；当x≥1时，f(x)＝x－1.
解：(1)f(x)＝图象如图(1)所示．
(2)f(x)＝图象如图(2)所示．
[学生用书P91(单独成册)]
[A 基础达标]
1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于( )
A．2x＋1
B．2x－1
C．2x－3
D．2x＋7
解析：选B.因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，
即g(x)＝2x－1，故选B.
2．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
解析：选B.法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2－3，
所以f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
所以f(x)＝x2＋2x－2，
所以f(2)＝22＋2×2－2＝6.
法三：令x－1＝2，所以x＝3，
所以f(2)＝32－3＝6.
3．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)
的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3
B．2
C．1
D．0
解析：选B.由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，
则f(g(2))＝f(1)＝2.
4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于( )
A.x＋5
B．x＋1
C．2x－3
D．2x＋1
解析：选A.因为f(x)是一次函数，
所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，
整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，
所以所以
所以f(x)＝x＋5，故选A.
5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．
则正确论断的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．
6.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．
解析：观察图象可得y的取值范围为[0，1]．
答案：[0，1]
7．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为________．
解析：正方形边长为，而(2y)2＝＋，所以y2＝.所以y＝＝x.
答案：y＝x
8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费．用水超过10立方米的，超过部分按每立方米
2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为________．
解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为
y＝
由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，
解得x＝13(立方米)．
答案：13立方米
9.已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．
(2)由图知值域为[－2，2]．
(3)由图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．
10.如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
解：当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
[B 能力提升]
1．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．1或－2
解析：选B.因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.
2．已知等腰三角形的周长为24，它的底边y与腰长x的函数解析式为________．
解析：因为2x＋y＝24，所以y＝24－2x.
因为所以6故解析式为y＝24－2x，x∈(6，12)．
答案：y＝24－2x，x∈(6，12)
3．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．
解：法一：由f(0)＝1，
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
设x＝y，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)．
因为f(0)＝1，所以f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
即f(x)＝x2＋x＋1.
法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即f(－y)＝1－y(－y＋1)．
再令－y＝x，代入上式，
得f(x)＝1－(－x)(x＋1)＝1＋x(x＋1)．
即f(x)＝x2＋x＋1.
4．(选做题)如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，且AG⊥BC，DH⊥BC，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出l左侧图形的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
解：因为四边形ABCD是等腰梯形，
底角为45°，AB＝2
cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm.
又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.
①当点F在BG上时，即x∈(0，2]时，y＝x2；
②当点F在GH上时，即x∈(2，5]时，y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
③当点F在HC上时，即x∈(5，7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF
＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综上，l左侧图形的面积
y＝
其图象如图．
PAGE
1(共43张PPT)
第2章 函 数
第2章 函 数
等式
列表
图象
解析表达式
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破第2课时 函数的图象
1.了解图象法是表示函数关系的重要方法． 2.掌握描点法作图及应用图象比较函数值大小的方法．
[学生用书P18]
函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象表示．( )
(2)函数f(x)＝2x＋1(1(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．下列图形中，不能作为函数y＝f(x)图象的是( )
解析：选C.对于C，当x＝0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象．
3．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是________，值域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
4．已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)求f(1)，f(0)，f(－3)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值．
解：(1)函数
f(x)的图象由抛物线y＝x2(x>0)在第一象限的部分，直线y＝(x<0)在第二象限的部分和点(0，1)三部分合在一起构成，如图所示．
(2)f(1)＝12＝1，f(0)＝1，f(－3)＝，f[f(－3)]＝f＝，f{f[f(－3)]}＝f＝f＝.
函数图象的画法[学生用书P18]
作出下列函数的图象．
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0，3))．
【解】 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图(1)所示．
(2)因为x∈[0，3)，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x在0≤x<3之间的一段弧，如图(2)所示．
利用描点法作函数图象的基本步骤
→→→→
1.作出下列函数的图象．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤2，且x≠0)．
解：如图：
函数图象的识辨[学生用书P19]
已知函数y＝|x|＋1，则其图象是( )
【解析】 由y＝|x|＋1可知，|x|≥0，
所以|x|＋1≥1，所以y≥1，所以C正确．
【答案】 C
函数的图象可以反映函数的有关特点，如定义域、值域，通过比较一些特殊点，我们可以判断函数图象的大致趋势．
2.函数y＝|x＋1|的图象为( )
解析：选A.当x≥－1时，y＝x＋1，当x<－1时，y＝－x－1.
函数图象的应用[学生用书P19]
作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．
【解】 (1)用列表法可将函数y＝＋1，x∈{1，2，3，4，5}，列表为：
x
1
2
3
4
5
y
2
3
图象如图．
值域为.
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2，2]．
图象是抛物线y＝x2＋2x在[－2，2]上的部分，如图所示．
由图，可得函数的值域是[－1，8]．
本题主要错误是无法利用数形结合的思想解题；作出函数的图象是分析问题、解决问题的常用方法．
3.求函数f(x)＝－x2＋2x(0≤x<3)的值域．
解：f(x)＝－(x－1)2＋1，x∈[0，3)，画出f(x)图象(如图)可得f(x)值域为(－3，1]．
1．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．
2．函数图象能形象直观地表示变量的变化情况，但只能近似求出自变量所对应的函数值．
3．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．
作出下列函数的图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[解] (1)因为x∈Z且|x|≤2，
所以x∈{－2，－1，0，1，2}．?
所以图象为一条直线上的孤立点(如图(1))．?
由图象知，函数的值域为{－1，0，1，2，3}．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
所画函数的图象如图(2)．
因为x∈[0，3)，故图象是一段抛物线．?
由图象可知，函数的值域为[－5，3)．
(1)抓关键，促规范：
?要研究清楚函数的定义域，定义域错了，值域一定会错！千万当心！
?注意图象是五个点，而不是直线、线段等．
?注意图象是抛物线的一段，不是整个抛物线．
(2)函数的图象具有直观性，解决函数的有关问题时，如定义域、值域问题等，都可借助图象的作用来解答，要熟知相关的函数图象，准确作出图象是利用图象解题的前提．利用函数的图象求值域，要找准定义域，以防画错图象，影响解题．
1．下列图形中，不可能是函数图象的是( )
解析：选D.根据函数定义，对每一个自变量x，有且只有一个函数值与之对应，因而D不是函数图象．A，B，C都是函数图象．
2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)
的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( )
解析：选B.A选项的定义域为[－2，0]，D选项的值域不是[0，2]，C选项不能表示函数，故A、C、D错．
3．若函数y＝f(x)的图象经过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象经过点________．
解析：令4－x＝1，得x＝3，
则函数y＝f(4－x)的图象过点(3，1)．
答案：(3，1)
4．函数f(x)的图象如图所示，给出以下说法：
①函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]；
②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4]．
其中正确的是________．
解析：y＝f(x)的定义域中含有x＝3，①②正确．
答案：①②
[学生用书P89(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为( )
A．3
B．4 C．5
D．6
解析：选C.将点(5，4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
2．函数y＝－x2＋2x与函数y＝1(x∈R)的图象的公共点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B.在同一坐标系里画出两函数的图象(图略)可知有一个交点．
3．函数f(x)＝x2(x∈[1，2))的值域为( )
A．[1，2)
B．[2，4)
C．[1，4)
D．[2，4)
解析：选C.结合函数图象(图略)可知，值域为[1，4)．
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则
(1)f(－1)＝________；
(2)f(1)＝________；
(3)f(2)＝________．
解析：由图象过点(－1，0)，(1，1)，(2，0)，
可知f(－1)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0.
答案：(1)0 (2)1 (3)0
5．函数y＝f(x)的图象与直线x＝4的交点个数为________．
解析：根据函数的定义知，记I为函数y＝f(x)的定义域，若4?I，则无交点；若4∈I，则只有一个交点，所以至多有一个交点．
答案：至多有一个交点
6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f{f[f(2)]}＝________．
解析：由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.
答案：2
7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.
解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30，330)与点(40，630)得解得
即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，所以x≤19.
答案：19
8．作出下列函数的图象．
(1)y＝1＋x(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
解：如图：
9．画出下列函数的图象，并求值域．
(1)y＝3x－1，x∈[1，2]；
(2)y＝x2，x∈{0，1，2，3}；
(3)y＝|x－1|.
解：函数图象如图所示，由图象观察易得：
(1)值域为[2，5]；
(2)值域为{0，1，4，9}；
(3)值域为[0，＋∞)．
[B 能力提升]
1.
如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．
解析：由题意，f(3)＝1，所以f＝f(1)＝2.
答案：2
2．下面所给出的四个图象和三个事件：
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以匀速行驶离开家，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我从家里出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
图象与这三个事件发生的顺序相吻合的分别为________．
解析：离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故①与图象d相吻合；途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故②与图象a相吻合；加速赶向学校，图象上升地就越来越快，故③与图象b相吻合．
答案：①d，②a，③b
3．作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|x＋1|－1.
解：(1)y＝x，定义域为{x|x≠－1}，图象如图(1)．
(2)当x≥－1时y＝x，当x<－1时y＝－x－2，图象如图(2)．
4．(选做题)画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解：(1)函数图象如图(1)所示．
可见f(0)＝f(2)，f(1)>f(2)>f(3)，所以f(1)>f(0)>f(3)．
(2)如图(2)所示，当x1(3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
图(1)
图(2)
PAGE
1(共34张PPT)
第2章 函 数
第2章 函 数
横坐标
纵坐标
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破
y3035
2
(2
2
315/x第1课时 函数的概念
1.了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域． 2.理解函数的概念． 3.掌握求函数定义域的方法．
[学生用书P15]
函数的概念
一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，与输入值x对应的所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )
(3)函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了．( )
(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )
(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[0，1)
B．(1，＋∞)
C．[0，1)∪(1，＋∞)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
答案：C
3．已知f(x)＝x2＋1，则f(2)＝________，若f(x)＝3，则x＝________．
答案：5 ±
相同函数的判断[学生用书P15]
下列各组函数是否表示同一函数？
(1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝；
(2)f(x)＝与g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝2x－1(x∈Z)与g(x)＝2x＋1(x∈Z)．
【解】 (1)g(x)＝＝|2x＋1|与f(x)＝2x＋1对应法则不同，因此f(x)与g(x)不是同一个函数．
(2)f(x)＝＝x－1(x≠0)与g(x)定义域不同，因此f(x)与g(x)不是同一个函数．
(3)f(x)与g(x)对应法则不同，不是同一个函数．
(1)当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域也随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，为同一个函数．
(2)讨论函数是否为同一个函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应法则是否相同．
1.下列函数与函数g(x)＝2x－1(x＞2)相等的是( )
A．f(m)＝2m－1(m＞2)
B．f(x)＝2x－1(x∈R)
C．f(x)＝2x＋1(x＞2)
D．f(x)＝x－2(x＜－1)
解析：选A.对于A，函数y＝f(m)与y＝g(x)的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数．
求函数的定义域[学生用书P16]
求下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.
【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数式有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
(1)①求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为准则，其原则有：a.分式中分母不为零；
b．偶次根式中，被开方数非负；c.对于y＝x0要求x≠0.d.实际问题中函数定义域，要考虑实际意义．
②函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．
(2)第(1)题易出现y＝x＋1－，错求定义域{x|x≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．
2.求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋.
解：(1)因为所以x≥0且x≠1，
所以f(x)＝＋的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．
(2)因为所以即－1所以f(x)＝＋的定义域为(－1，1]．
求函数值和值域[学生用书P16]
已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．
(1)求f(1)，g(1)的值；
(2)求f[g(x)]．
【解】 (1)f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5.
(2)f[g(x)]＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2)．
1．在本例条件下，求g[f(1)]的值及f(2x＋1)的表达式．
解：g[f(1)]＝g(1)＝1＋4＝5.
f(2x＋1)＝＝－.
2．若将本例g(x)的定义域改为{0，1，2，3}，求g(x)的值域．
解：因为g(x)＝x＋4，x∈{0，1，2，3}，
所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7.
所以g(x)的值域为{4，5，6，7}．
(1)求函数值的方法
①先要确定出函数的对应关系f的具体含义，②然后将变量取值代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别．
(2)求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．
3.求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；(4)y＝x＋.
解：
(1)因为x∈R，所以2x＋1∈R，
即函数的值域为R.
(2)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示．
所以所求函数的值域为[2，11)．
(3)借助反比例函数的特征求．
y＝＝3－，
显然可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}．
(4)设u＝(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，
y＝u2＋u＝－(u≥0)．
因为由u≥0，可知≥，所以y≥0.所以函数y＝x＋的值域为[0，＋∞)．
理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．
判断下列对应是否为函数：
(1)x→，x≠0，x∈R；
(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；
(3)集合A＝R，B＝{－1，1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？
(4)A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R.对任意的(x，y)∈A，(x，y)→x＋y.
[解] (1)是，对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，所以当x≠0时，x→是函数．这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．
(2)不是，当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对应，所以x→y(y2＝x)不是函数．
(3)是，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应．
(4)不是，因为集合A不是数集．
(1)错因：判断一个从A到B的对应是否为函数，易忽视定义域应为非空数集的要求，还容易忽视A中任一元素在B中都要有元素与之对应的判断，好多同学只判断A中元素在B中的对应元素是否唯一．
(2)防范：函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
①定义域和对应关系是否给出；
②对定义域内的任一x，是否在B中存在唯一的值与之对应．
1．函数f(x)＝－的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞)
D．R
解析：选C.要使函数有意义，x的取值需满足解得x≥－1，且x≠0，则函数的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞)．
2．设f(x)＝，则等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：选B.f(2)＝，f＝－，
所以＝－1.故选B.
3．已知函数f(x)＝，则f(f(14))＝________；若f(x)＝3，则x＝________.
解析：f(14)＝＝＝2，故f(f(14))＝f(2)＝＝－1；
由f(x)＝＝3，解得x＝10.
答案：－1 10
4．设一个函数的解析式为f(x)＝2x＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则此函数的定义域为__________．
解析：分别令y＝－1，2，5，8解出x＝－2，－，1，.
答案：
[学生用书P88(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析：选C.A项中两函数的定义域不同；B项，D项中两函数的对应关系不同．故选C.
2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
解析：选C.若f(x)＝|x|，则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．
3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋1
解析：选B.y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
4．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．2
解析：选A.因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
所以a(a－1)2＝0.
又因为a为正数，所以a＝1.
5．函数f(x)＝的定义域用区间表示为________．
解析：要使函数有意义，需满足
即所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2)．
答案：[0，1)∪(1，2)
6．函数y＝
的值域为________．
解析：定义域要求1－≥0且x≠0，
故有1－≥0且1－≠1，
所以函数的值域为{y|y≥0且y≠1}．
答案：{y|y≥0且y≠1}
7．如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．
解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，
故函数值域为{1，2，3，4}．
答案：{1，2，3，4}
8．若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
解析：由题意，得即－1≤x≤1.
故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1]．
答案：[－1，1]
9．已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．
解：函数y＝的定义域即是使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．
由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．
当k＝0时，函数y＝＝1，函数定义域为R，
因此k＝0符合题意；
当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，不等式不成立．所以实数k的值为0.
10．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝(x－2)0＋
.
解：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，
即x≠2且x≠1.
所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠2且x≠1}．
(2)要使函数有意义，只需解得≤x≤，
所以函数的定义域为.
(3)要使函数有意义，只需
解得x>－1且x≠2，
所以函数的定义域为{x|x>－1且x≠2}．
[B 能力提升]
1．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于( )
A．p＋q
B．3p＋2q
C．2p＋3q
D．p3＋q2
解析：选B.因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
2．已知f(x)＝，则f(f(x))的定义域为________．
解析：法一：因为f(x)＝，
所以f(x)的定义域为{x|x≠－1}，
则在f(f(x))中，f(x)≠－1，即≠－1，
解得x≠－2.所以f(f(x))的定义域为{x|x≠－2且x≠－1}．
法二：因为f(x)＝，则f(f(x))＝f＝，所以x＋2≠0
且x＋1≠0，即x≠－2且x≠－1.
所以f(f(x))的定义域为{x|x≠－2且x≠－1}．
答案：{x|x≠－2且x≠－1}
3．若函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：由题意易得y＝f(x＋1)中的x满足－1≤x≤2，所以0≤x＋1≤3，所以函数y＝f(x)的定义域为[0，3]．
答案：[0，3]
4．(选做题)已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
016)＋f＋f(2
017)＋f的值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2
017)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
016)＋f＋f(2
017)＋f＝2
017.
PAGE
1(共34张PPT)
第2章 函 数
第2章 函 数
非空的数集
对应法则f
每一个元素x
唯一
定义域
值域
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
第2章
函数
DI
ER
ZHANG
预习菜自主学习
研读·导学·尝试
探究菜,讲练互动
解惑·探究·突破