章末综合检测(13)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C.由频率与概率的关系及概率的定义知C对．
2．下列试验是古典概型的是( )
A．从装有大小完全相同的红、绿、黑各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色
B．在适宜条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
C．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，观察出现正面、反面、一正面一反面的次数
D．从一组直径为(120±0.3)
mm的零件中取出一个，测量它的直径
解析：选A.由古典概型的定义可知．
3.
如图，正方形ABCD中有一个不规则的图形M，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，向正方形ABCD中随机投掷10
000个点，每个点落入M中的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.记“向正方形ABCD中随机投掷1个点，该点落入图形M中”为事件A.由于正方形ABCD的边长为2，故其面积S＝2×2＝4.而M的面积为1，由几何概型概率公式得每个点落入M中的概率P(A)＝.
4．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.恰有一个合格的概率：＝.
5．5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.从5张卡片中随机抽取2张，共有10个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中卡片上数字之和为奇数的有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共有6个基本事件，因此所求的概率为＝.
6．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.所有基本事件总数为6×6＝36种，
甲选正方形边时垂直的情况为8种，甲选对角线时垂直的情况有2种，故概率为＝，选C.
7．在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D.由题意知Δ＞0，即4a2－2＞0，解得a＞或a＜－(不符合题意，舍去)．因为a＞，所以P＝＝.
8．如图，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.可求得同时落在奇数所在区域的基本事件有4×4＝16种，而总的基本事件有6×6＝36种，于是由古典概率公式可得所求概率为＝.
9.
如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.用两种颜色为图形涂色的结果，分组表示为以下情形：(红，蓝，蓝)，(红，蓝，红)，(红，红，蓝)，(红，红，红)，(蓝，蓝，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，(蓝，红，红)，共8个基本事件．相邻两个图形颜色不相同的情形为：(红，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，共2个元素，所以所求的概率为P＝＝.
10．两根相距6
m的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2
m的概率是( )
A.
B．
C．0
D．1
解析：选B.由已知得：P＝＝.
11．从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.设由构成的正方形的面积为S，x＋y＜1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝，故选C.
12．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有36种，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为＝.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．有五条线段，长度分别是1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则以所得的三条线段为边不能构成三角形的概率为________．
解析：从五条线段中任取三条共有10种结果，能构成三角形的结果有3，5，7或3，7，9或5，7，9，共3种，所以不能构成三角形的结果有7种，故所求概率为P＝＝0.7.
答案：0.7
14．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现由10个人依次摸出1个球，设第一个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第十个人摸出黑球的概率是P10，则P1与P10的关系是________．
解析：第一个人摸出黑球的概率为，第十个人摸出黑球的概率也是，所以P10＝P1.
答案：P10＝P1
15.
如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．
解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概率公式，S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.
答案：
16．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为________．
解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)共10种情况．满足长度恰好相差0.3
m的基本事件有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)，共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3
m的概率为P＝＝.
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)检查某工厂产品，其结果如下：
抽出产品数(n)
5
10
60
150
600
900
1
200
1
800
2
400
次品数(m)
0
3
7
19
52
100
125
178
248
次品频率
(1)计算次品频率；
(2)利用所学知识对表中数据作简要的数学分析．
解：(1)根据频率计算公式，计算出次品出现的频率，如下表：
抽出产品数(n)
5
10
60
150
600
900
1
200
1
800
2
400
次品数(m)
0
3
7
19
52
100
125
178
248
次品频率
0
0.3
0.117
0.127
0.087
0.111
0.104
0.099
0.103
(2)从上表中的数字可看出，抽到次品数的多少具有偶然性，随着抽样的大量进行，即抽取的件数逐渐增多，则可发现次品率呈现稳定现象，在0.1附近摆动．
由此可估计该厂产品的次品率约为0.1.
18．(本小题满分12分)一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球：
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
解：(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．
因此，共有10个基本事件．
(2)如图，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝.
19．(本小题满分12分)现有一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品．
(1)如果从中取出1件，然后放回，再任取1件，求连续2次取出的都是正品的概率；
(2)如果从中一次取2件，求2件都是正品的概率．
解：(1)为返回抽样问题．每次抽样都有10种可能，连续取2次，所以等可能出现的结果为102种，设事件A为“两次返回抽样，取出的都是正品”，则A包含的结果为82种．
所以P(A)＝＝.
(2)为不返回抽样问题，可视为有顺序性，从中取第一次有10种结果，取第二次有9种不同结果，所以从10件产品中一次取2件，所有等可能出现的结果是10×9＝90种．设B表示“一次抽2件都是正品”，则B包含的结果有8×7＝56种．
所以P(B)＝＝.
20．(本小题满分12分)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．
解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．
设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．
②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．
所以P(B)＝＝.
21．(本小题满分12分)
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的基本事件共6个，
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(C)＝.
因为>，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
22．(本小题满分12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x，y；
(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
解：(1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种，因此P(X)＝.故选中的2人都来自高校C的概率为.
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章末综合检测(13)
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A章末复习提升课
1．两种关系
(1)互斥与对立的关系：互斥事件与对立事件的关系是互斥不一定对立，但对立一定互斥．
(2)频率与概率的关系：频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率是随机的，而概率是一个确定的常数．
2．概率的五个基本性质
(1)概率的取值范围为[0，1]．
(2)必然事件的概率为1.
(3)不可能事件的概率为0.
(4)互斥事件概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝P(Ω\B)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
3．古典概型
(1)基本特征：有限性、等可能性．
(2)计算公式：P(A)＝(其中n为试验的基本事件总数，m为事件A包含的基本事件数)．
4．几何概率
(1)几何概率的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性．
(2)几何概率的概率计算公式：
P(A)＝.
1．随机事件概率中的易失误点
(1)对问题分类不清，导致对事件分类不清出现错误，而处理正面较复杂的问题时，又不能用互斥事件求其对立面来简化求解过程．
(2)解与等可能事件相关题目时，要注意对等可能事件的基本事件构成的理解，往往计算基本事件或多或少或所划分的事件根本不等可能，从而导致失误．
2．几何概率中的易失误点
(1)解题时要正确区分是古典概型还是几何概率．
(2)解题时要明确几何概率中构成事件A的区域是长度、面积还是体积．
事件的概率[学生用书P59]
解决实际问题时，要注意频率与概率的区别与联系：概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率．
下列说法正确的有( )
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不可能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性、不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 由频率与概率的定义及关系可得：①④⑤正确，所以选C.
【答案】 C
【点评】 正确理解频率与概率关系，是解决此问题的关键．
互斥事件与对立事件的概率[学生用书P59]
(1)互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
(2)应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(Ω\A)求解．
黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
【解】 (1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知得
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，
P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给小明”为事件B′∪D′.
根据互斥事件的加法公式有
P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
即任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64.
(2)由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
所以任找一人，其血不能输给小明的概率为0.36.
【点评】 第(2)问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.
古典概型[学生用书P59]
古典概型是一种最基本的概型，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性，应用公式P(A)＝时，要正确理解基本事件与事件A的关系，求出n、m.
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
【解】 (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：
(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.
【点评】 运用古典概型的概率公式P(A)＝时，关键是求出m，n.
几何概率[学生用书P60]
(1)几何概率要解决的问题主要是：运用公式求几何概率的问题．
(2)解决上述问题的关键是：求得事件A所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解．
设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
【解】 设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}．
在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，如图所示，则小等边三角形的边长为4－2＝2，由几何概率公式得所求概率为
P(A)＝＝.
【点评】 作出示意图是理解本题的最好手段．
1．从集合{1，3，6，8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.任取两个数相乘，共有1×3，1×6，1×8，3×6，3×8，6×8，6种结果，积为偶数的有5种结果，故概率为.
2．在面积为S的△ABC的内部任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.EF为△ABC的中位线．当点P位于四边形BEFC内时，S△PBC的面积小于，
又因为S△AEF＝S，SBEFC＝S.
所以△PBC的面积小于的概率为P＝＝.
3．A是平面上的不规则区域，作一个长12
m，宽8
m的矩形，使得A?Ω，利用计算机在Ω中随机投掷了2万个点，发现了有1.12万个点落入区域A中，估算A的面积为________．
解析：质点落入A的频率是fN＝＝0.56.
A的面积≈fN×Ω的面积．
＝0.56×12×8＝53.76(m2)．
答案：53.76
m2
4．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；
(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求一元二次方程没有实数根的概率．
解：(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，方程有两个正实数根等价于a－2>0，16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6，1)，(6，2)，(6，3)，(5，3)共4个，故所求的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16.
设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，
故所求的概率为P(B)＝＝.
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第13章 概 率
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A
概率的定义
用频率估计概率
概率)(概率的意义
P(A∪B)=P(A)+P(B
互斥事件}P(A1UA2U…UA)
概率的计算
P()+P(A2)+…+P(n)
概率的基本性质
对立事件}(P(A)=1-P(D硎)
包含、相等、和事件
事件A包含的基本事件数
m
随r古典概型F4=试验的所有可能的基本事件总数n
机事件的概率模型
几何概率计算_|P4)≈4的长度(面积)
的长度(面积)
几何概率
实物模拟试验
理论上的计算突出建模思想
计算机(计算器)模拟试验
》知识网络体系构建
理清脉络·宏观把握
知识要点·易错提醒
温故知新·夯实基础
专题突破·链接高考
聚焦考点·拓展升华
[巩固提升训练]
