江西省南康中学2019-2020学年高一下学期第二次大考数学试题 Word版含答案

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南康中学2019-2020学年度第二学期高一第二次大考
数
学
试
卷
一、选择题（本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在中，
，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.集合，则中子集的个数为（
）
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
3.函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足
的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
4.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
5.已知是定义在上的偶函数，则下列不等关系正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
6.设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（
）
A.
B.
C.
D.
7.为了得到函数的图象,
可以将函数的图象（
）
A．向左平行移动个单位
B．向右平行移动个单位
C．向左平行移动个单位
D．向右平行移动个单位
8.函数，若且，
，
互不相等，则
的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
9.已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（
）
A.
B.
C.
D.
10.等差数列中，
则（
）
A.
40
B.
20
C.
10
D.
2+
11.函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，且BC边上的高为，则的最大值是(
)
A.
8
B.
6
C.
3
D.
4
二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分）
13.已知，满足，则__________．
14.若实数满足，则的最大值是____________.
15.已知数列的前项之和为，若，则_________．
16.如图，
是直线上的三点，
是直线外一点，已知，
，
．则=________．
三、解答题（本大题共
6
小题，共
70
分.其中17题10分，其他12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）设向量满足
（1）求向量的夹角的大小；
（2）求的值.
18.
（本小题满分12分）已知，
，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，
，
为锐角的三个内角，且，求的取值范围.
19.
（本小题满分12分）已知正项等比数列（）中，公比，
且，
，
.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）若，求数列的前项和.
20.
（本小题满分12分）在中，
分别为角的对边，若．
（1）求角的大小；
（2）已知，求面积的最大值.
21.（本小题满分12分）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知2020年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
22.
（本小题满分12分）已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
南康中学2019-2020学年度第二学期高一第二次大考
数学参考答案
一、选择题（本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
D
D
D
C
C
A
B
A
D
1.C
【解析】.
2.D
【解析】，
，其子集的个数为，选D.
3.D
【解析】由奇函数的性质可得：
，
则不等式即：
，
结合函数的单调性脱去符号有：
.
本题选择D选项.
4.D
【解析】选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除；
选项，函数在上单调递增，故排除；
选项，函数的周期是，故排除；故选
5.D
【解析】因为是偶函数，则，所以，所以。
所以
，
在上单调递减，在上单调递增。
又因为，所以，所以选D
6.D
【解析】直线的倾斜角为，则，由，
即，故选D
7.C
8.C
【解析】函数的图象如图：
∵且，
，
互不相等，∴，∴由得，即，即，∴，由函数图象得的取值范围是，故选C.
9.A
10.B
【解析】，
又
∴
故选：B
11.A
试题分析：由定义域为是奇函数，可排除B、C,由，故排除D.因此选A.
12.D
【解析】12.，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，①
而条件中的“高”容易联想到面积，
bcsinA，即a2＝2bcsinA，②
将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，
∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．
二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分）
13.
【解析】
因为
故答案为
14.1
【解析】利用基本不等式，根据把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则的最大值可得．因为实数满足，所以，故最大值为1.
15.
1078
【解析】
.
.
.
16.
【解析】如图建系设点，在中，
三、解答题（本大题共
6
小题，共
70
分.其中17题10分，其他12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（1）设
所成角为，由可得，
，
将代入得：
，
所以，
又，故，
即
所成角的大小为．
……………………5分
（2）因为
所以．…………………………………………10分
18.解：（1）
………………………………………………3分
由，
得，
故的单调递增区间为，
……………………6分
（2）依题可得
又，
，解得：
，………………9分
∴
∴
即的取值范围为………………………………12分
19.试题解析：（1）由知，
是方程的两根，注意到，得，
，，或（不合题意，舍去）.
，
…………………………3分
.
数列是首项为，公差为的等差数列.……………………6分
（2），………………9分
.……………………12分
20.解：（1）∵，∴，
由正弦定理得，………………3分
整理得，
∴，
在中，
，∴，又，.………………6分
（2）由余弦定理得，又，
∴
∴，当且仅当时取“=”……………………9分
∴的面积.
即面积的最大值为.………………………………12分
21.解：（1）由题意知：每件产品的销售价格为
（）………………6分
（2）由
……9分
当且仅当，即时取等号.…………………………11分
答：该服装厂2020年的促销费用投入万元时，利润最大.………………12分
22.解：（1）∵是幂函数，
∴，
解得或，……………………………………2分
当时，
，不满足，
当时，
，满足，
∴
∴…………………………………………4分
（2）令，则，
设，……………………5分
①当，即时，由题意得
，
解得；……………………………………6分
②当，即时，由题意得
，
解得（舍去）；………………………………7分
③当，即时，由题意得
，
解得（舍去）
综上存在使得的最小值为0……………………8分
（3）由题意得，
∴在定义域内为单调递减函数；
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，………………………………9分
由②-①，得
，
∴，
将③代入②得，
，………………………………10分
令，
∵，
∴，
又………………………………11分
故在区间上单调递减，
∴
∴存在实数，使函数在上的值域为且实数的取值范围为
．……………………………………12分