(共19张PPT)
第9章
多边形
9.1
三角形
第1课时
认识三角形
大家说说它们是什么图形？
三角形
看一看
小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个定义？
导入新课
A
B
C
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫做三角形.
三角形的表示：如图中的三角形ABC，记作：“
ABC”，读作：“三角形ABC”
三角形定义
按下面的问题自学：
（1）三角形的顶点以及表示方法.
（2）三角形的内角和外角.
（3）三角形的边.
相关概念
2、顶点：
用一个大写字母表示如A、B、C
3、边：
边AB，边BC，边AC
4、角（内角）：
∠A，∠B，∠C
5、三角形记作：△ABC
A
B
C
6、对角：
对边：
三角形的相关概念
∠C的对边是BA
BC边的对角是∠A
外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
思考：三角形有几个外角？
结论：三角形有6个外角
三角形外角
问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？
问题2：如何将三角形按边分类？
分类的标准是什么？
三角形分类
如图，
三个三角形的内角各有什么特点？
三角形可以按角来分类：
锐角
三角形
直角
三角形
钝角
三角形
锐角三角形
三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形可以按角来分类：
三个三角形的边各有什么特点？
三角形可以按边来分类：
腰
等腰
三角形
等边
三角形
探究三角形的分类
不等边
三角形
等腰三角形：两条边相等的三角形
等边三角形：三条边相等的三角形，（又叫正三角形）
三角形按边分类：
不等边三角形
判断：
1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
(
)
2.只有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
(
)
3.等边三角形是等腰三角形.(
)
√
×
√
随堂演练
2.将一个三角形纸片剪一刀分成两个三角形，能否使这两个三角形：
①都是直角三角形；
②都是钝角三角形；
③都是锐角三角形？
不能都是锐角三角形
3.已知等腰三角形的周长是40
cm，且一边长是腰长的
，求这个等腰三角形的各边长.
解：设底边长为x
cm，则腰长为2x
cm,
由题意得：x+2x+2x=40.
解得：x=8.
故该三角形的各边长分别为8
cm，
16
cm，16
cm.
4：图中以BC为边的三角形共有______个；它们分别______________________________．
在△ABD中,∠A是_______边的对角,
∠ADB是△_____的内角,又是________________的一个外角．
4
△BCF;
△
BCE;
△
BCD;
△
BCA
△FDC
或△BDC
ABD
BC
1.三角形的顶点、边、内角及外角
2.三边的数量关系
.
3.三角形按边的分类
.
课堂小结
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业(共26张PPT)
第9章
多边形
9.1
三角形
第2课时
三角形的三线
学习目标
1.了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念。
2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点。
3.提高学生动手操作及解决问题的能力。
2.线段中点的定义：
3.角平分线的定义：
1.垂线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
把一条线段分成两条相等的线段的点
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
温故知新
创设情境，探究高的概念及画法
问题1：如何求三角形面积？
三角形面积=底边×高÷2
三角形的中线
问题2：什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
之间的线段
叫做三角形这边的高，
简称三角形的高.
如图，线段AD是BC边上的高.
∵AD是△
ABC的高
∴∠
BDA
=
∠
CDA
=90°
想一想：一个三角形有几条高？
请动手画三个不同的三角形，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，并作出它们的高.
一个三角形有3条高.
锐角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
BC边上的高是
，
AC边上的高是
，
AB边上的高是
，
CF
BE
AD
直角三角形的三条高
A
B
C
AB
直角边AB边上的高是
;
CB
D
斜边AC边上的高是______.
BD
作BC边上的高，
BC边不够长怎么办？
钝角三角形的三条高
为了便于画出AB边上的高，需要把AB延长.
A
B
C
D
F
E
把CB延长
BC边上的高是在三角形的内部还是外部？
AB边上的高呢？
观察每个三角形的三条高有什么位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外一点.
锐角三角形的三条高相交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
归纳
三角形的高
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形内部
直角顶点
三角形外部
三角形的中线
定义：在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.
D
如图，AD是△ABC的中线.
●
●
E
F
O
（中线的定义）
试画下列三角形的三条中线：
你发现了什么？
三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们相交于一点.
我们把这三条中线的交点叫做三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
三角形的角平分线
A
B
C
D
如图，AD是
△ABC的角平分线，
定义：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线.
（角平分线的定义）.
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE
=_______
=
______.
∴∠ACB=2______=2______.
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∵CF是△ABC的角平分线，
∠BCF
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
三角形的角平分线是一条线段,
角的平分线是一条射线.
总结：
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点.
三角形的高、中线、角平分线都是线段.
1.如图,在⊿ABC中,
∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
①AD是⊿ABE的角平分线
(
)
②BE是⊿ABD边AD上的中线
(
)
③BE是⊿ABC边AC上的中线
(
)
④CH是⊿ACD边AD上的高
(
)
三角形的高、中线与角平分线都是线段
×
×
×
√
课堂练习
2.思考：如图，AD是△ABC
的BC边上的中线，△ABD和△ADC的面积有何关系？为什么？
B
C
H
A
过A作BC边上的高AH，
因为D是BC边上的中点，
所以BD=DC，
所以S△ABD=S△ADC.
D
归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
思考：三角形的高和角平分线是否也有类似的性质呢？
思考
拓展练习
B
D
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(
)
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BD=EC
D.∠C的对边是DE
D
3.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B
落在点B′的位置,则线段AC具有性质(
)
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种性质合一
D
课堂小结
谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识.
三角形的
重要线段
概念
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
∵AD是△ABC的BC上的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的
线段
∵
AD是△ABC的BC上的中线.
∴
BD=CD=
?BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴
∠1=∠2=
?
∠BAC
作业布置(共25张PPT)
第9章
多边形
9.1
三角形
第3课时
三角形的内角和与外角和
2、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30
°
，则∠B=
；
（2）∠A=50
°
，∠B=∠C，则∠B=
.
1、三角形三个内角的和等于多少度？
3、在△ＡＢＣ中，
∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝ ，
∠Ｂ＝
∠Ｃ＝
40°
60°
80°
65°
60°
三角形的内角和等于180度
知识回顾
命题：三角形的三个内角和是180°
你能验证这个命题吗？
获取新知
你还记得小学学习的三角形内角和的探索过程吗？
用折纸的方法验证三角形的内角和.
情境导入
实验1：
先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角顶点相嵌合，最后得下图所示的结果.
折一折
实验2：
将纸片三角形三个角剪下，随意将它们拼凑在一起.
你能发现三内角和是180°？
图1
图2
A
B
C
A
B
C
拼一拼
三角形三内角和∠A+
∠B+
∠C=
180°
三角形的内角和：
三角形的内角和等于180度.
如何进行严谨的证明？
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角.
证明：∠1+∠2+∠3=180°.
定理证明
证明：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD∥BA.
因为CD∥BA，
所以∠1=∠ACD.
因为∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
所以∠1+∠2+∠3=180
°（等量代换）.
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角.
证明：∠1+∠2+∠3=180°.
D
E
定理证明
你能说说直角三角形中的两锐角有什么关系吗？
直角三角形两锐角互余.
探索新知
你能说明理由吗？
如图，已知Rt△ABC，∠C=90°.
证明：∠A+∠B=90°.
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°.
又∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°.
定理：三角形的三个内角和是180°
一个三角形中能有两个直角吗？
一个三角形中能有两个钝角吗？
三个内角都能小于600吗？
讨论
归
纳
如图∠A+∠C+∠ABC=180°，∠CBD+∠ABC=180°，从上面两个结
论中，你能得出什么结论？
∠CBD=∠A+∠C.
大家通过测量∠A、∠C、∠CBD的大小来验证结果是否正确.
思考：怎样用文字来表述这个结论？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
探索新知：外角性质
问题：∠CBD与∠A、∠C的大小
能确定吗？为什么与∠CBA的大小不
能确定呢？
∠CBD>∠A，∠CBD>
∠C.
∠CBD与∠CBA的大小视情况而定.
思考：怎样用文字来表述这个结论？
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
探索新知：外角性质
三角形外角和的概念：
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图中的
∠1+∠2+∠3就是△ABC的外角和.
探索新知：外角和
动手实践探索：
在一张白纸上仿下图画出一个图形，然后把
∠1，∠2，∠3剪下来拼一拼，观察∠1+∠2+∠3的值是多少？
探索新知：外角和
∠1+∠2+∠3=360°
证明：
因为∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠ABC
=180°，
∠3+∠ACB=180°，
所以∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB
=180°×3=540°.
又因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
所以∠1+∠2+∠3=360°.
∠1+∠2+∠3=360°
例1
如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠B+∠BAD=
∠ADC=80°.
又∵
∠B＝∠BAD，
例题讲解
例1
如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
解：（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴
∠C＝180°-∠B
-
∠BAC
＝180°-
40°-
70°
＝70°.
1.（1）在△ABC中,∠A=35°,∠
B=43°，
则∠
C=
.
（2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,
则∠A
=
＿＿＿＿。
（3）在△ABC中,
∠A=40°,∠A=2∠B，
则∠C
=
＿＿＿＿。
1020
400
1200
随堂演练
2判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（
）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（
）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（
）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（
）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（
）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（
）
3.已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,
x+3x+5x=180°
解得 x=20°
所以三个内角度数分别为
20°,60°,100°。
由三角形内角和为180°得
4.求出下列图中x的值:
x
x
x
x
=600
x
x
x
=450
2
x
x
┐
x
=300
5.如图，求∠1，∠2，∠3的度数.
∠1=25°
∠2=62°
∠3=118°
课堂小结
1.本节课你学到了什么数学知识？
2.你有哪些启发？
2、三角形外角的两条性质
①
三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于任何一个与它
不相邻的内角。
3、三角形的外角和是360
1、三角形内角和是180°
布置作业
教材第79页练习.(共28张PPT)
第9章
多边形
9.1
三角形
第3课时三角形的三边关系
创设情境，引入新课
探究：画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C点，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？
探究三角形的三边关系
小虫从B点出发，沿三角形的边爬到C点，有如下两条路线：
a.从B→C;
b.从B→A→C.
从B→C路线短.
从B→C路线短.
这条路径为什么是短的?
两点之间，线段最短.
结论：AC+BC>AB，AB+AC>BC，
AB+BC>AC.
即：三角形的任何两边的和大于第三边.
三角形的三边关系
“两点之间，线段最短”
a+b＞c
b+c＞a
a+c＞b
三角形的任何两边之和大于第三边。
为什么？
反之：
在三条线段中
若任两线段之和大于第三线段
则这三条线段能构成一个三角形。
归纳
猜一猜三角形的任何两边之差与第三边之间有什么关系？
结论：三角形的任何两边的差小于第三边.
探究三角形的三边关系
（1）先画线段AB=7
cm；
（2）以点A为圆心，5
cm长为半径画圆弧；
（3）以点B为圆心，4
cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；
（4）连结AC、BC
．
△ABC
就是所要画的三角形．
C
画法步骤如下：
画一个三角形：使它的三条边分别为7
cm，5
cm，4
cm，
依据是圆上任意一点到圆心的距离相等.
合作探究
试一试：能否画一个三角形使它三边分别为：
（1）7
cm，4
cm，2
cm；
（2）9
cm，5
cm，4
cm.
（1）7
cm，4
cm，2
cm；
4
cm
2
cm
7
cm
两边的和小于第三边
两边的和小于第三边
时,不能围成三角形.
你能否利用前面学过的线段的基本性质来说明这一结论的正确性？
（1）7
cm，4
cm，2
cm；
两边的和等于第三边
5
cm
4
cm
9
cm
两边的和等于第三边
时,不能围成三角形.
你能否利用前面学过的线段的基本性质来说明这一结论的正确性？
三角形的任何两边之差小于第三边。
|a-b|＜
c＜a+b
三角形的任何两边之和大于第三边。
三角形三边关系
这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.四边形就不具有这个性质.
三角形的稳定性
用木条钉成的三角形和四边形用力一拉，四边形变形了，而三角形却一点不变.
三角形的稳定性在生产、生活实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔架底座等，都是三角形结构.
1、下列图形中具有稳定性的是（
）
（A）正方形
（B）长方形
（C）直角三角形
（D）平行四边形
2、要使下列木架不稳定各至少需要多少根木棍？
C
随堂演练
3、下列图中具有稳定性有（
）
A
1个
B
2个
C
3个
D
4个
C
4、判断：已知a+b>c，则以线段a、b、c为边能够成三角形。（
）
5、在ΔABC中，AB=9，BC=2，并且AC为奇数，那么ΔABC的周长为
。
6、如图，已知BM是ΔABC的中线，AB=6，BC=8，那么ΔMBC的周长与ΔABM的周长相差
。
2
?
20
三角形较短两边之和大于第三边。
（3）3
cm、8
cm、5
cm；
（4）4
cm、5
cm、6
cm.
（1）
15cm、10
cm、7
cm；
（2）4
cm、5
cm、10
cm；
7下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
三角形的任何两边之差小于第三边。
|a-b|＜
c＜a+b
三角形的任何两边之和大于第三边。
9.鲁班给徒弟两根树，一根长八尺，另一根长一丈二尺，要想做屋架，你帮徒弟想一想，第三根树应多长？
屋架为什么做成三角形?
4尺＜c＜20尺
C=8尺
C=12尺
10.已知:
等腰三角形周长为11，边长都为整数.求:三边的长.
5、5、1
5、3、3
4、4、3
1、5、5
5、3、3
3、4、4
3、3、5
4、4、3
5、5、1
先考虑最大边
方法1：
方法2：
先考虑底边
方法3：
先考虑腰
11.若一平面上有A、B、C三个点，则
①AB+AC
BC
②若AB+AC＞BC
则以A、B、C为顶点一定能构成△
ABC吗？
≥
12.如图A、B、C、D为四个村庄，现在这四个村打算造个学校，为了使学校到四个村庄的距离之和最小，请问校址选在哪里？
PA+PB+PC+PD
(PA+PC)+(PB+PD)
=
AC+BD
≥
13.用一根长为18
cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边长是多少？
（2）能围成有一边长为4
cm的等腰三角形吗？为
什么？
解：（1）设底边长为x
cm，则腰长为2x
cm.
根据题意，得:2x+2x+x=18.
∴
x=3.6.
经检验符合题意.则2x=7.2.
答：腰长是7.2
cm，底长是3.6
cm.
用一根长为18
cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底长的2倍，那么各边长是多少？
（2）能围成有一边长为4
cm的等腰三角形吗？为
什么？
解：（2）若底边长为4
cm，设腰长为x
cm，
根据题意，得2x+4=18.解得x=7.
∵4+7>7，∴三边长分别为：4
cm，7
cm，7
cm；
若一条腰长为4
cm，设底边长为x
cm，
根据题意，得2×4+x=18.解得
x=10.
∵4+4<10，∴
以4
cm为腰不能构成三角形.
答：能围成三边长分别为4
cm，7cm，7cm的三角形.
1.三角形的稳定性.
3.三角形的三边关系.
2.已知三边画三角形.
4.画图、拼接、翻折
1.数学就在我们身边
2.数学有趣又有用.
3.数学激发了我们的
4.在动手、动脑、交流
等实验方法是探索
数学奥秘的常用手段.
好奇心.
中提高.
课堂小结
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
