函数方程不等式

高二级数学复习资料一（2010.4）
函数、导数和不等式
一、选择题
若则下列不等式不成立的是
设和是两个集合，如果，，那么等于
函数的的定义域是
设函数，则满足的的值是
2 16 2或16 -2或16
已知函数，且是偶函数，则的大小关系是
若函数是函数的反函数，且，则
2
若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是
多于4个 4个 3个 2个
函数的单调递增区间是
(0,3) (1,4)
已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是
A． 　B． 　C． 　 D．
设，若函数，有大于零的极值点，则
1-10：CCBCAABDAA
二、填空题
x －1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
根据表格中的数据，可以判定方程的一个零点所在的区间为，则的值为 ．
已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值是 ；最小值是 ．
为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文 密文 密文 明文
已知加密为为明文、为密文，如果明文“”通过加密后得到密文为“”，
再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文
是 ．
给出下列四个结论：
①命题“的否定是“”；
②“若则”的逆命题为真；
③函数（x）有3个零点；
④对于任意实数x，有
且x>0时,则x<0时
其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）
11、1 12、2 -1 13、4 14、①④
三、解答题
若函数的定义域为，当时，求的最值及相应的x的值．
解：，，
解得：，∴
=
∵，∴
∴f(x)= （）
由二次函数性质可知：
当
综上可知：当f(x)取到最大值为，无最小值。
已知二次函数有两个零点和，且最小值是，函数与的图象关于原点对称．
（1）求和的解析式；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解： (1) 依题意 设
图象的对称轴是 即 得
由函数的图象与的图象关于原点对称
（2）由（1）得
①当时， 满足在区间上是增函数
②当时，图象对称轴是
则 ，又 解得
③当时，同理 则需
又 解得
综上满足条件的实数的取值范围是
已知奇函数．
（1）求实数的值； （2）求使成立的值．
已知满足，且对于任意，恒有成立．
（1）求实数的值； （2）解不等式.
对于函数．
（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数使函数为奇函数？
解：（1）函数f (x)的定义域是R，
设x1 < x2 ，则 f (x1) – f (x2) = a( a)=，
由x1故，f (x)在R上是增函数.
（2）由f (x)= f (x)，求得a=1.
已知函数，常数
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
解：(1)当时，，对任意
为偶函数
当时，
取，得
函数既不是奇函数，也不是偶函数
（2）解法一：要使函数在上为增函数
等价于在上恒成立
即在上恒成立，故在上恒成立
∴ ∴ 的取值范围是
解法二：设
要使函数在上为增函数，必须恒成立
，即恒成立
又，
的取值范围是
已知函数．
（１）若为奇函数，求的值；
（２）若在上恒大于0，求的取值范围．
解：（１）的定义域关于原点对称
若为奇函数，则 ∴a=0
（２）∴在上∴在上单调递增
∴在上恒大于0只要大于0即可,∴
若在上恒大于0，a的取值范围为
已知在与时，都取得极值．
（1） 求的值； （2）若，求的单调区间和极值；
（3）若对都有 恒成立，求的取值范围．
解：（1）f ′（x）＝3x2＋2a x＋b＝0．
由题设，x＝1，x＝－为f ′（x）＝0的解．
－a＝1－，＝1×（－）．
∴a＝－，b＝－2．
经检验得：这时与都是极值点．
（2）f （x）＝x3－x2－2 x＋c，由f （－1）＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f （x）＝x3－x2－2 x＋1．
x （－∞，－） （－，1） （1，＋∞）
f ′（x） ＋ － ＋
∴ f （x）的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f （x）有极大值，f （－）＝；
当x＝1时，f （x）有极小值，f （1）＝－．
（3）由（1）得，f ′（x）＝（x－1）（3x＋2），f （x）＝x3－x2－2 x＋c，
f （x）在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．
而f （－）＝－－＋＋c＝c＋．f （2）＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴ f （x）在[－1，2]上的最大值为c＋2．
∴ ∴
∴ 或
∴ 或．
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围．
解：（1）∵
∴当
为单增函数，
当为单减函数。
∴的单调增区间为，单减区间为[－1，3]。
（2）由于是一个二次函数，
要便函数在区间（－1，1）内有且仅有一个极值点，
∴只须方程内有且只有一个根，
即
解得。
∴a的取值范围是
已知函数的图象上在点处的切线方程为．
（1）若在时有极值，求的表达式；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围．
已知函数在处的切线与直线平行．
（1）求实数的值；（2）求的单调递减区间；
（3）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：（1） ∵f ’(x)＝－3x2＋6x＋a ∴f ’(1)＝3＋a=12,∴a=9
（2） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（3）因为f(－2)＝8＋12－18＋b=2＋b，f(2)＝－8＋12＋18＋b＝22＋b，
所以f(2)>f(－2)． 因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，
所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，
于是有 22＋b＝20，解得 b＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
已知为实数，．
（1）若，求在上最大值和最小值；
（2）若在和上都是递增的，求的取值范围．
解：（1），由得
此时 ．
令得
当变化时，的变化情况如下表：
＋ 0 － 0 ＋
0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 0
（2）的图象为开口向上且过点的抛物线。
在和上都是递增的，
当或时，恒成立，
则
故的取值范围为
已知，（）．
(1)求出f(x)的极值点，并指出其是极大值点还是极小值点；
(2)若f(x)在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.
解(1)
令=0,得
i a<0时
x 0
- 0 + 0 -
f(x) 减 极小 增 极大 减
函数的极值点是0，，0是极小值点，是极大值点
ii、a>0时同理可以验证0是极大值点，是极小值点
(2) f(x)在区间上最大值是5，最小值是－11，=0，
若a >0,
x 0
+ 0 -
↗ 极大 ↘
因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,
若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,
已知，．
(１)如果函数的单调递减区间为,求函数的解析式；
(２)在(Ⅰ)的条件下,求函数y=的图像过点的切线方程；
(３)对一切的,恒成立,求实数的取值范围．
解:(１)
由题意的解集是
即的两根分别是.
将或代入方程得.
.
(２)(ⅰ)若P(1,1)不是切点,设切点坐标是.
有
将代入上式整理得
得(舍),.
此时切线斜率
切线方程为,即.
(ⅱ) 若P(1,1)是切点,则切线斜率
此时切线方程为.
综上, 函数的图像过点P(1,1)的切线方程为或.
(３)由题意:在上恒成立
即
可得
设,
则
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2
.
的取值范围是.
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
解：设楼房每平方米的平均综合费为元，则
，令得
当时，，当时，
因此，当时，取最小值
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
某公司生产的品牌服装年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，，其中是年产量（单位：千件）．
（１）写出利润与年产量的函数解析式；
（２）年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大？
解：（１）
（２）当时，，令,得
当时，当时，；
故在处有唯一极大值，也即当时，取得最大值；
当时，是减函数，
所以年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中获利最大．
f (x)
发送
解密
加密