19.2.1 矩 形
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19.2.1 矩 形
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等
2.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角
3.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( )
A.85° B.90° C.95° D.100°
4.如图,矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等,点B、C、D在同一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图是一块矩形ABCD的场地，长AB=102 m，宽AD=51 m，从A、B两处入口的中路宽都为1 m，两小路会合处路宽为2 m，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( ) A.5 050 m2 B.4 900 m2 C.5 000 m2 D.4 998 m2
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点G,E为AD的中点,连结BE交AC于F,连结FD,若∠BFA=90°,则下列四对三角形:①△BEA与△ACD;②△FED与△DEB;③△CFD与△ABG;④△ADF与△CFB.其中相似的为( ) A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③
7.如图,在△ABC中，∠C=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________.
8.矩形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,OA=3,则AC=_______,AB=__________.
9.如图,矩形纸片ABCD中，AD=4 cm，AB=10 cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm.
10.如图,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_________.
3题图 4题图 5题图 6题图 7题图 9题图 10题图
11.如图,四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.
（1）如果______________，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论.
12.如图,在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，则四边形ABCD是矩形.试说明理由.
13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长.
14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.
15.现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片,将它折两次(第一次折后也可打开铺平再折第二次),使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分(称为一次操作),如图①(虚线表示折痕).除图①外,请你再给出三种不同的操作,分别将折痕画在图③至图⑤中(规定:一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,那么就认为是相同的操作,如图①和图②表示相同的操作).
答案:C
答案:D[来源:21世纪教育网]
解析：由勾股定理可求AB==5，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.
答案:2.5
解析：∵矩形对角线互相平分且相等,
∴AC=2OA=6.
∵OA=OB,且∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA=3.
答案:6 3
解析：因钉上EF后,构成△CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.[来源:21世纪教育网]
答案:D
解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=∠BMC′+∠CMC′=×180°=90°
答案:B
解析：因为按如题图方式折叠后点B与点D重合，
所以DE=BE.设DE=x，则AE=AB-BE=AB-DE=10-x.
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即
42+（10-x）2=x2，解得x=5.8.
答案:5.8
答案：证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADM=∠BCM，AD=BC.
∵M是CD的中点，∴DM=CM.
∴△ADM≌△BCM.
（2）∵△ADM≌△BCM，∴MA=MB.
∴∠MAB=∠MBA.
答案：（1）答案:AE=CF（OE=OF；DE⊥AC,BF⊥AC,DE∥BF等等）
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF.
又∵AE=CF,∴AC-AE=AC-CF.
∴AF=CE.∴△DEC≌△BFA.
答案:证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分.
又∵△BED、△AEC是直角三角形，且BD、AC是斜边，
∴OE=BD，OE=AC.
∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
解析：观察易得只有一个,应选B.
答案:B
解析：根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1 m，向下平移1 m，三块草坪拼成了一个长为100 m，宽为50 m的矩形，因此草坪的面积为100×50=5 000 m2.
答案:C
解析：由题意,根据三角形相似的判定方法知,①②③是正确的.
答案:D
解析：求图中阴影部分的面积，由三角形的面积公式S△=×底×高，只需知道DE、AB即可.由折叠的特性可知∠DBC′=∠DBC，由AD∥BC得∠ADB=∠DBC，因此∠DBC′=∠ADB，故BE=DE.可设AE=x，则BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4-x）2，解得x=，BE=.因此阴影部分的面积为.
答案:
解：由矩形的性质可知OD=OC.
又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.
又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD，即△OCD是等边三角形,故∠CDB=60°.
所以∠ADB=30°.
又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8,
即BD=2OD=2CD=16.
答案:证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DC=AB.
∴∠DAE=∠AFB.
∵DE=DC，∴DE=AB.
∵DE⊥AG，∴∠DEA=∠ABF=90°.
∴△ABF≌△DEA.
答案: (1)证明：由题意得∠A+∠B=90°，∠A=∠D，∠D+∠B=90°，
∴AB⊥ED.
（2）解:若PB=BC，则有Rt△ABC≌Rt△DBP.
∵∠B=∠B，∠A=∠D，PB=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△DBP.
注：(图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：Rt△APN≌Rt△DCN，Rt△DEF≌Rt△DBP，Rt△EPM≌Rt△BFM)
解：如下图中任意三个都可.
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等
2.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角
3.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( )
A.85° B.90° C.95° D.100°
4.如图,矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等,点B、C、D在同一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图是一块矩形ABCD的场地，长AB=102 m，宽AD=51 m，从A、B两处入口的中路宽都为1 m，两小路会合处路宽为2 m，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( ) A.5 050 m2 B.4 900 m2 C.5 000 m2 D.4 998 m2
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点G,E为AD的中点,连结BE交AC于F,连结FD,若∠BFA=90°,则下列四对三角形:①△BEA与△ACD;②△FED与△DEB;③△CFD与△ABG;④△ADF与△CFB.其中相似的为( ) A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③
7.如图,在△ABC中，∠C=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________.
8.矩形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,OA=3,则AC=_______,AB=__________.
9.如图,矩形纸片ABCD中，AD=4 cm，AB=10 cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm.
10.如图,矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_________.
3题图 4题图 5题图 6题图 7题图 9题图 10题图
11.如图,四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.
（1）如果______________，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论.
12.如图,在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，则四边形ABCD是矩形.试说明理由.
13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长.
14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.
15.现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片,将它折两次(第一次折后也可打开铺平再折第二次),使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分(称为一次操作),如图①(虚线表示折痕).除图①外,请你再给出三种不同的操作,分别将折痕画在图③至图⑤中(规定:一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,那么就认为是相同的操作,如图①和图②表示相同的操作).
答案:C
答案:D[来源:21世纪教育网]
解析：由勾股定理可求AB==5，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.
答案:2.5
解析：∵矩形对角线互相平分且相等,
∴AC=2OA=6.
∵OA=OB,且∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA=3.
答案:6 3
解析：因钉上EF后,构成△CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.[来源:21世纪教育网]
答案:D
解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=∠BMC′+∠CMC′=×180°=90°
答案:B
解析：因为按如题图方式折叠后点B与点D重合，
所以DE=BE.设DE=x，则AE=AB-BE=AB-DE=10-x.
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即
42+（10-x）2=x2，解得x=5.8.
答案:5.8
答案：证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADM=∠BCM，AD=BC.
∵M是CD的中点，∴DM=CM.
∴△ADM≌△BCM.
（2）∵△ADM≌△BCM，∴MA=MB.
∴∠MAB=∠MBA.
答案：（1）答案:AE=CF（OE=OF；DE⊥AC,BF⊥AC,DE∥BF等等）
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF.
又∵AE=CF,∴AC-AE=AC-CF.
∴AF=CE.∴△DEC≌△BFA.
答案:证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分.
又∵△BED、△AEC是直角三角形，且BD、AC是斜边，
∴OE=BD，OE=AC.
∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
解析：观察易得只有一个,应选B.
答案:B
解析：根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1 m，向下平移1 m，三块草坪拼成了一个长为100 m，宽为50 m的矩形，因此草坪的面积为100×50=5 000 m2.
答案:C
解析：由题意,根据三角形相似的判定方法知,①②③是正确的.
答案:D
解析：求图中阴影部分的面积，由三角形的面积公式S△=×底×高，只需知道DE、AB即可.由折叠的特性可知∠DBC′=∠DBC，由AD∥BC得∠ADB=∠DBC，因此∠DBC′=∠ADB，故BE=DE.可设AE=x，则BE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4-x）2，解得x=，BE=.因此阴影部分的面积为.
答案:
解：由矩形的性质可知OD=OC.
又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.
又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD，即△OCD是等边三角形,故∠CDB=60°.
所以∠ADB=30°.
又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8,
即BD=2OD=2CD=16.
答案:证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DC=AB.
∴∠DAE=∠AFB.
∵DE=DC，∴DE=AB.
∵DE⊥AG，∴∠DEA=∠ABF=90°.
∴△ABF≌△DEA.
答案: (1)证明：由题意得∠A+∠B=90°，∠A=∠D，∠D+∠B=90°，
∴AB⊥ED.
（2）解:若PB=BC，则有Rt△ABC≌Rt△DBP.
∵∠B=∠B，∠A=∠D，PB=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△DBP.
注：(图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：Rt△APN≌Rt△DCN，Rt△DEF≌Rt△DBP，Rt△EPM≌Rt△BFM)
解：如下图中任意三个都可.