二元一次不等式表示的区域
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(共29张PPT)
二元一次不等式表示的平面区域
新 课 引 入
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示数轴上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
具 体 例 子
我们知道, 在平面直角坐标系中, 以二元一次方程 x+y 1=0的解为坐标的点的集合{(x, y)| x+y 1=0}是经过点 (0, 1)和(1, 0)的一条 直线l，如图:
y
x
O
1
1
l
那么, 以二元一次不等式 (即含有两个未知数, 且未知数的最高次数都是1的不等式) x+y 1>0的解为坐标的点的集合A={(x, y) |x+y 1>0}是什么图 形呢？
y
x
O
1
1
l
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：① 在l上；② 在l的右上方的平面区域；③ 在l的左下方的平面区域.
y
x
O
1
1
l
取集合A的点(1, 1)、 (1, 2)、(2, 2)等，我们发 现这些点都在l的右上方 的平面区域.
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：① 在l上；② 在l的右上方的平面区域；③ 在l的左下方的平面区域.
y
x
O
1
1
l
2
2
y
x
O
1
1
l
2
2
1
1
而点(0, 0)、( 1, 1)等等不属于A,它们满足不等式 x+y 1<0，这些点却在l的左下方的平面区域.
由此我们猜想：对 直线l右上方的任意点(x, y)都使 x+y 1>0成立；对 直线l左下方的任意点(x, y)都使 x+y 1<0成立，下面我们证明这个事实.
y
x
O
1
1
l
2
2
1
1
而点(0, 0)、( 1, 1)等等不属于A,它们满足不等式 x+y 1<0，这些点却在l的左下方的平面区域.
在直线l: x+y 1=0上任取一点P(x0, y0)，过点P作垂直于y轴的直线 y =y0，在此直线上点P右侧的任意一点(x, y)，都有x>x0，y =y0，于是x+y 1>x0+y0 1=0.所以x+ y 1>0.因为点P (x0, y0) 是l：x+y 1=0上的任 意点，所以对于直线l: x+y 1=0右上方的任意点(x, y)，x+y 1>0都成立.
P(x0, y0)
(x, y)
y
x
o
1
1
l
y=y0
同理，对于直线l: x+y 1=0左下方的任意点(x, y)，x+y 1<0都成立.
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x+y 1>0 的解为坐标的点的集合 {(x, y)|x+y 1>0}是直线l: x+y 1=0右上方的平面 区域(不包括直线l上的点).
同理，对于直线l: x+y 1=0左下方的任意点(x, y)，x+y 1<0都成立.
y
x
o
1
1
l
二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面区域：
二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面区域：
1. 结论：
二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面区域：
1. 结论：
二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某侧所有点组成的平面区域.
注 意： 把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0所表示的平面区域时，此区域就包括边界直线，则把边界直线画成实线.
２. 判断方法：
由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x, y)，把它的坐标(x, y)代入ax+by+c,所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以 ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域. 特殊地,当c≠0时，常把原点作为此特殊点.
２. 判断方法：
应 用 举 例
[例1] 画出不等式 2x+y 6<0表示的平面区域.
[例2] 画出不等式组
表示的平面区域.
[例3] 画出不等式 (x+2y+1)(x y+4) <0表示的平面区域.
课 堂 练 习
1. 作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.
(1) x y+1<0 (2) 2x+3y 6≥0 (3) 4x 3y≤0
2.直线x+y+2=0, x+2y+1=0和2x+y +1=0围成的三角形区域 (包括边界) 用 不等式可以表示为____________.
总 结
(1) 二元一次不等式表示的平面区域； (2) 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法；
(3) 二元一次不等式组表示的平面区域.
作 业 布 置
《学法大视野》第29课时
二元一次不等式表示的平面区域
新 课 引 入
我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示数轴上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？
具 体 例 子
我们知道, 在平面直角坐标系中, 以二元一次方程 x+y 1=0的解为坐标的点的集合{(x, y)| x+y 1=0}是经过点 (0, 1)和(1, 0)的一条 直线l，如图:
y
x
O
1
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l
那么, 以二元一次不等式 (即含有两个未知数, 且未知数的最高次数都是1的不等式) x+y 1>0的解为坐标的点的集合A={(x, y) |x+y 1>0}是什么图 形呢？
y
x
O
1
1
l
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：① 在l上；② 在l的右上方的平面区域；③ 在l的左下方的平面区域.
y
x
O
1
1
l
取集合A的点(1, 1)、 (1, 2)、(2, 2)等，我们发 现这些点都在l的右上方 的平面区域.
在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：① 在l上；② 在l的右上方的平面区域；③ 在l的左下方的平面区域.
y
x
O
1
1
l
2
2
y
x
O
1
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2
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而点(0, 0)、( 1, 1)等等不属于A,它们满足不等式 x+y 1<0，这些点却在l的左下方的平面区域.
由此我们猜想：对 直线l右上方的任意点(x, y)都使 x+y 1>0成立；对 直线l左下方的任意点(x, y)都使 x+y 1<0成立，下面我们证明这个事实.
y
x
O
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2
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而点(0, 0)、( 1, 1)等等不属于A,它们满足不等式 x+y 1<0，这些点却在l的左下方的平面区域.
在直线l: x+y 1=0上任取一点P(x0, y0)，过点P作垂直于y轴的直线 y =y0，在此直线上点P右侧的任意一点(x, y)，都有x>x0，y =y0，于是x+y 1>x0+y0 1=0.所以x+ y 1>0.因为点P (x0, y0) 是l：x+y 1=0上的任 意点，所以对于直线l: x+y 1=0右上方的任意点(x, y)，x+y 1>0都成立.
P(x0, y0)
(x, y)
y
x
o
1
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l
y=y0
同理，对于直线l: x+y 1=0左下方的任意点(x, y)，x+y 1<0都成立.
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x+y 1>0 的解为坐标的点的集合 {(x, y)|x+y 1>0}是直线l: x+y 1=0右上方的平面 区域(不包括直线l上的点).
同理，对于直线l: x+y 1=0左下方的任意点(x, y)，x+y 1<0都成立.
y
x
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l
二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面区域：
二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面区域：
1. 结论：
二元一次不等式ax+by+c>0和ax+by+c<0表示平面区域：
1. 结论：
二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某侧所有点组成的平面区域.
注 意： 把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0所表示的平面区域时，此区域就包括边界直线，则把边界直线画成实线.
２. 判断方法：
由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x, y)，把它的坐标(x, y)代入ax+by+c,所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以 ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域. 特殊地,当c≠0时，常把原点作为此特殊点.
２. 判断方法：
应 用 举 例
[例1] 画出不等式 2x+y 6<0表示的平面区域.
[例2] 画出不等式组
表示的平面区域.
[例3] 画出不等式 (x+2y+1)(x y+4) <0表示的平面区域.
课 堂 练 习
1. 作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.
(1) x y+1<0 (2) 2x+3y 6≥0 (3) 4x 3y≤0
2.直线x+y+2=0, x+2y+1=0和2x+y +1=0围成的三角形区域 (包括边界) 用 不等式可以表示为____________.
总 结
(1) 二元一次不等式表示的平面区域； (2) 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法；
(3) 二元一次不等式组表示的平面区域.
作 业 布 置
《学法大视野》第29课时