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八年级数学·上
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第十五章
分
式
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检测反馈
15
.2.3
整数指数幂（1）
(1)你还记得下面这些算式的算法吗?比一比,看一看谁做得又快又好.
①35×35;②a
4·a
0;③(x3)3;④(mn)4;
⑤a
5÷a
3;⑥x
7÷x
6;⑦39÷38.
(2)你还记得am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n)是怎么得到的吗?
知识回顾
学
习
新
知
一、负整数指数幂和整数指数幂
计算当a≠0时,
,再假设正整数指数幂的运算性质
(a≠0,m,n是正整数,m>n)中的m>n这个条件去掉,那么
,于是得到
a(a≠0).
总
结
负整数指数幂的运算性质:一般地,
当n是正整数时,
小练习
正整数指数幂的性质在整数范围内仍然适用吗?
想一想
计算
交流
在(1)中,
说明同底数幂的乘法性质在整数的范围内仍然适用;
在(2)中,
说明幂的乘方的法则在整数范围内适用;
在(3)中,
说明积的乘方的法则在整数范围内适用.
归
纳
可以看作
,
可以看作
,所以同底数幂的除法法则
和分式的乘方在整数范围内也适用.
总
结
正整数指数幂的运算法则:
(1)
(m,n都是正整数);
(2)
n(m,n都是正整数);
(3)
(n是正整数);
(4)
(m,n都是正整数,a≠0);
(5)
(n是正整数,b≠0),在整数范围内仍然适用.
例9
计算：
提醒
本例是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算的,计算结果有负整数指数幂时,要写成分数的形式.
例（补充）判断下列等式是否正确.
(m,n为整数);
(n为整数).
解:(1)根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,am÷an=am-n,am·a-n=am-n,
因此,am÷an=am·a-n,故这个等式正确.
类比负数的引入使减法转化为加法,得到负整数指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来.整数指数幂的运算性质可以归纳为:
(1)am·an=am+n(m,n是整数);
(2)(am)n=amn(m,n是整数);
(3)(ab)n=anbn(n是整数).
知识拓展
引进负整数指数幂,指数的范围
扩大到了整数,幂的性质仍然成立.对于幂的有关运算,关键掌握其运算性质:
注意！
名称
运算性质
同底数
幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即
(m,n是整数)
同底数
幂的除法
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即
(m,n是整数)
幂的
乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即
(m,n是整数)
积的
乘方
积的乘方,等于各因数分别乘方的积,即
(n是整数)
分式的
乘方
分式乘方等于分子、分母分别乘方,即
(n是整数)
am·an=am+n
am·an=am-n
（am）n=amn
（ab）n=anbn
1.判断下列等式是否正确（
）
.
检测反馈
解析:3x3-5x3=(3-5)x3=-2x3,故A错误;6
÷2x-2=(6÷2)×(x3÷x-2)=3x5,故B错误;
,故C正确;-3(2x-4)=-3×2x+(-3)×(-4)=-6x+12,故D错误.
C
x3
2.计算
.
解析:根据整数指数幂的法则求解即可.
原式=
【必做题】
教材第145页上面练习第1,2题.
【选做题】
教材第146页习题15.2第7题.
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第十五章
分
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15
.2.3
整数指数幂（2）
在古印度,使用了一系列大数单位后,最后最大的数的单位叫做“恒河沙”.是呀,恒河中的沙子你数得清吗?后来,真有一数学家把沙子的数目写了出来.过了很久,印度一数学家用1×1063来简单地记录.
数学故事
创造之神梵天得知后,有意给他们写了一个非常小的数:0.1234
56789876543212345678987
65432123456789876543212
34567898765432123456789
87654321,直到现在,人们还在思考如何用简单的方法来记录.
思考
用小数表示下列各数:10-1,10-2,10-3,
10-4,你发现了什么?
一、科学记数法表示绝对值较小的数
小问题
学
习
新
知
发
现
指数和化成小数后零的个数之间的规律:
归纳
可以用10的负整数指数幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即把它们表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1≤|a|<10.
总结
n个0
小练习
把下列各数用科学记数法表示出来.
(1)100000;
(2)0.00001;
(3)-112000;
(4)-0.00000112;
议一议
(1)当绝对值大于10的数用科学记数法表示成a×10n
的形式时,1≤|a|<10,
n
的取值与整数位数有什么关系?
(2)当绝对值较小的数用科学记数法表示成a×10-n
的形式时,a,n有什么特点呢?
归纳
绝对值较小的数的科学记数法表示形式a×10-n
中,n
是正整数,a
的取值一样为1≤│a│<10,但n
的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数.比如:0.00005=5×10-5(5前面5个0);0.0000072=7.2×10-6(7前面6个0).
例10
纳米(nm)是非常小的长度单位,
1
nm=10-9
m.把1
nm3的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.
1
mm3的空间可以放多少个1
nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?
提示
1
mm=10-3
m
1
nm=10-9
m
解:
1
mm=10-3
m,1
nm=10-9
m.
(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)
=1018.
1
mm3的空间可以放1018个1
nm3的物体.
1018是一个非常大的数,它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍.
如何统一单位?
讨论
例（补充）计算.
(1)(3×10-7)×(2×103);
(2)(2×10-4)2×(5×10-3);
(3)(6×106)÷(3×10-2);
(4)(2×10-2)3÷(4×10-3)-2.
解:(1)原式=(3×2)×(10-7×103)
=6×10-4.
(2)原式=(4×10-8)×(5×10-3)
=(4×5)×(10-8×10-3)
=20×10-11
=2×10-10.
(3)原式=(6÷3)×106-(-2)
=2×108.
(4)原式=8×10-6÷(
)
=128×10-12
=1.28×10-10.
方法总结
(1)用科学记数法表示的数字计算题,其结果仍然要用科学记数法表示,例如第(2)题得到20×10-11时,系数20大于10,不符合科学记数法表示的要求,因此不能作为最后结果.
(2)用科学记数法表示数使运算简便.
科学记数法可以表示较大的数和较小的数两种情形.比较归纳如下:
N
科学记
数法
a
的取值
n
的取值
绝对
值大
于1
N=a×
10n
1≤|a|<10
原数整数部分的位数减去1
绝对
值小
于1
N=a×
10-n
1≤|a|<10
原数中左起第一个非0
数前所有0的个数(含整
数位数上的0)
知识拓展
科学记数法把一个数表示为a×10n
的形式,不仅可以表示绝对值大于10的数,也可以表示一些绝对值较小的数,在应用中,要注意满足1≤│a│<10,其中n
是正整数
或负整数.
知识小结
1.将6.18×10-3化为小数是
( )
A.0.000618
B.0.00618
C.0.0618
D.0.618
解析:
把数据“6.18×10-3”中6.18的小数点向左移动3位得到0.00618,即6.18×10-3=0.00618.
B
检测反馈
2.钓鱼岛列岛是我国固有领土,共由8个岛屿组成,其中最大的岛是钓鱼岛,面积约为4.3平方公里,最小的岛是飞濑屿,面积约为0.0008平方公里.请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为 平方公里.?
解析:
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法表示不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
8×10-4
【必做题】
教材第145页下面练习第1,2题.
【选做题】
教材第146页习题15.2第8,9题.
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第十五章
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15.2.1
分式的乘除（1）
问题1
一个水平放置的长方体容器,其容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的
时,水面的高度为多少?
长方体容器的高为
,水面的高度为
.
学
习
新
知
大拖拉机m天耕地a
hm2,小拖拉机n天耕地b
hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
问题2
先分别得出大拖拉机的工作效率是
∕天,小拖拉机的工作效率是
∕天,进一步得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的
倍.从上面的问题可知,为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算.
小活动
一、分式的乘除法法则
观察下列运算:
猜一猜:
；
。
发现
分式的除法法则:
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
归纳
知识拓展
(1)分式乘除法运算按从左到右的顺序进行,结果如果不是最简分式,要进行约分.
(2)根据分式乘法法则有:
①分式与分式相乘时,如果分子与分母是多项式,那么应先分解因式,能约分的先约分,再相乘.②整式与分式相乘时,可以直接把整式看成分母是1的代数式,再与分式相乘.③分式的乘法实质就是约分,所以计算结果如能约分,必须约分,或通过分解因式后能约分的也要约分,必须把结果化为最简分式或整式.
(3)根据法则我们知道,分式的除法需转化为乘法,转化的过程实际上是“一变一倒”的过程,即除号变乘号,除式的分子和分母颠倒位置.
解析
例1
计算：
运用
计算.计算结果
应化为最简分式或整式.
解析
例2：计算：
分子、分母是多项式时,通常先分解因式,再运用
计算.
解：
(1)在进行分式的乘除运算时,如果分子与分母是多项式,通常是先分解因式,再进行计算.
(2)分式的除法运算,抓住“一变一倒”,即变除法为乘法,把除式的分子、分母的位置颠倒,如果除式是整式时,应把它的分母看作“1”.
延伸拓展
例3
如图所示,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a
m(a>1)的正方形去掉一个边长为1
m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500
kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高?
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
因为a>1,
所以(a-1)2-(a2-1)
=(a2-2a+1)-(a2-1)
=-2(a-1)<0,
即(a-1)2
解析
解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,单位面积产量是
,“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2,单位面积产量是
.
∵a>1,∴(a-1)2>0,a2-1>0.
由题得(a-1)2∴
.
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的
倍.
(1)分式的乘除法法则;
(2)运用法则时,注意符号的变化;
(3)因式分解在分式乘除法中的应用;
(4)步骤要完整,结果要最简,最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式的形式.
小结
1.化简
的结果是( )
A.m
B.
C.m-1
D.
A
解析:本题考查了分式的除法.根据分式除法法则先把除法转化为乘法,再计算.
.
检测反馈
2.计算.
；
。
解析:(1)方法1:原式=
方法2:先约分,再计算.原式=
.
(2)先将除法变乘法,然后利用乘法法则
计算.原式=
3.计算.
【必做题】
教材第137页练习第1,2,3题.
【选做题】
教材第146页习题15.2第10,11题.
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第十五章
分
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15
.3
分式方程（3）
解下列方程.
解:
例1
两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的
,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?
学
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新
知
解析
甲队1个月完成总工程的
,设乙队单独施工1个月能完成总工程的
,那么甲队半个月完成总工程的 ,乙队半个月完成总工程的 ,两队半个月完成总工程的 .?
提醒
甲、乙两个工程队工程总量=总工作量
解:
设乙队单独施工1个月能完成总工程的
.记总工程量为1,根据工程的实际进度,得
方程两边乘6x,得2x+x+3=6x,
解得x=1.
检验:当x=1时,6x≠0.
所以原分式方程的解为x=1.
由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的
,可知乙队的施工速度快.
例2
某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打9折销售,结果销售量比上个月增加20件,营业额比上个月增加700元,该种纪念品4月份的销售价格为多少?
提醒
1.关键词：“增加”
2.“5月份的销售量比4月份的销售量增加20件”
解析
设该种纪念品4月份的销售价格为x元/件,则4月份的销售量为
件,5月份的售价为0.9x元/件,营业额为(2000+700)元,5月份的销售量为
件,5月份的销售量比4月份的销售量增加20件,从而可列出分式方程.
解:(1)设该种纪念品4月份的销售价格为x元/件,根据题意得
,
解得x=50.
经检验,x=50是所列方程的解,且符合题意.
答:该种纪念品4月份的销售价格是50元/件.
例3
某次列车平均提速v
km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s
km,提速后比提速前多行驶50
km,提速前列车的平均速度为多少?
1.理清速度、路程和时间对应的式子
2.关键词:“相同的时间”
3.数量关系:“提速前的路程÷提速前的速度=提速后的路程÷提速后的速度”,从而建立方程.
分析
注意
表达问题时,用字母不仅可以表示未知数(量),也可以表示已知数(量).
解析
这里的字母v,s
表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x
km/h,那么提速前列车行驶s
km
所用时间为 h,提速后列车的平均速度为
km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为
h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.?
解:
设提速前这次列车的平均速度为x
km/h,则提速前它行驶s
km所用时间为
h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km
所用时间为
h.根据行驶时间的等量关系,得
.
方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).
解得
.
检验:由v,s都是正数,得x=
时x(x+v)≠0.
所以原分式方程的解为x=
.
答:提速前列车的平均速度为
km/h.
(1)在实际问题中,有时题目中包含
多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系.
(2)在检验过程中,不仅检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如
时间非负、人数为正整数等.
知识拓展
(3)在一些实际问题中,有时直接设问题所求的量为未知数可能比较麻烦,可以间接地设未知数.
列分式方程解应用题按下列步骤进行:
(1)审题了解已知量与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系;
(2)设未知数;
(3)找出能够表示题中全部(或大部分)含义的相等关系,列出分式方程;
知识小结
(4)解这个分式方程;
(5)验根,检验所求根是不是增根及是否符合实际意义;
(6)写出答案.
1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是
( )
检测反馈
解析:先分别用代数式表示原计划和实际完成任务所用的时间,再根据“原计划所用时间-实际所用时间=2”列出方程.原计划施工所用的天数为
,实际施工所用的天数为
,依题意可得
.
1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是(
)
A
解析:根据等量关系“利润÷成本价=15%”
列方程即可.因为这种玩具每件的成本价为x元,所以这种玩具每件的利润为(90-x)元,可得方程
.
2.某商店销售一种玩具,每件售价90元,可获利15%,求这种玩具的成本价.设这种玩具的成本价为每件x元,依题意列方程,正确的是
( )
A
3.小马自驾私家车从A地到B
地,驾驶原来的燃油汽车所需油费108元,驾驶新购买的纯电动车所需电费27元.已知每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动车所需的电费多0.54元,求新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费.
解析:
先寻找等量关系:驾驶原来的燃油汽车消耗108元的燃油费能够行驶的路程等于驾驶新购买的纯电动车耗费27元的电费能够行驶的路程.根据等量关系,设未知数、列方程解答即可.
解:
设新购买的纯电动车每行驶1千米所需的电费为x元,则每行驶1千米,原来的燃油汽车所需的油费为(x+0.54)元.
依题意列方程得
答:新购买的纯电动车每行驶1千米
所需的电费为0.18元.
解得x=0.18,
经检验,x=0.18是原方程的解且符合题意.
【必做题】
教材第154页习题15.3第3,6题.
【选做题】
教材第154页习题15.3第7,8题.
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第十五章
分
式
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15
.3
分式方程（2）
解方程
解:方程两边同乘x(x-2),得x=3(x-2),
解这个一元一次方程,得x=3.
检验:将x=3代入原方程,左边=右边.
所以x=3是原方程的根.
解分式方程的基本思路是:
.?
一般步骤是:
.?
学
习
新
知
解分式方程的基本思路是:
?
.
一般步骤是:
.?
方程两边都乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程
去分母、解整式方程、检验、下结论
思考
分式方程无解的原因
解方程
解:方程两边同乘(x+5)(x-5),去分母,得x+5=10,解这个整式方程得x=5.
将x=5代入原分式方程检验,发现分母
x-5和x
2-25的值都为0,相应的分式无意义.因此,x=5不是原分式方程的解,所以原分式方程无解.
(1)为什么要检验根?
小问题
在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根).对于原分式方程的解来说,必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零,但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零,也就是说使变形时所乘的整式(各分式的最简公分母)的值为零,它就不适合原分式方程,则不是原分式方程的解.
一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中某一分母为0,因此应有如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.
验根的方法:
归纳
在解方程
时,小魏的解法如下:
解:方程两边同乘(x-7),得:
x-8+1=8(x-7),
解这个一元一次方程,得x=7.
思考
你认为x=7是原方程的根吗?
x=7不是原方程的根,因为它使方程中分母为0,分式没有意义.
x=7是整式方程x-8+1=8(x-7)的根,不是原分式方程的根.
为什么方程两边同乘了(x-7)就变质了呢?
思考
等式变形的条件是两边同乘非零数或整式,而(x-7)可能为零.
总结
产生增根的原因及验根方法:
原分式方程与变形后的整式方程中,未知
数的取值范围不同,我们在方程的两边同乘了一个可能令分母等于0的整式,因此解分式方程可能产生不是分式方程的根(即增根).所以解分式方程必须验根,目的在于检验整式方程的根是不是原分式方程的增根.验根的方法是将整式方程的解代入到原分式方程的各分母或最简公分母中,只要有一个
分母为0或最简公分母为0,则为增根,应舍去.
归纳总结
(1)一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.
(2)解分式方程的一般步骤:①去分母,在方程的两边乘最简公分母,把原分式方程化为整式方程.②解这个整式方程.③验根:把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于0的解,是原分式方程的解;使最简公分母等于0的解,不是原分式方程的解,即原分式方程无解.
解:方程两边同乘x
(x-3),得2x=3x-9,
解得x=9.
检验:
当x=9时,x
(x-3)≠0,
所以原分式方程的解为x=9.
例1
解方程
(1)将分式方程转化为整式方程时,乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项,不要漏乘常数项.
(2)解分式方程时,一定要检验方程的根.
注意
例2
解方程
解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得:
x
(x+2)-(x-1)(x+2)=3,
化简,得x+2=3,
解得x=1.
检验:
当x=1时,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
解分式方程的一般步骤如下:
解析:
去分母得4x-12=3x-6,解得x=6,经检验x=6是原分式方程的解.
6
1.方程
的解是x= .
检测反馈
2.若代数式
和
的值相等,则x= .
7
解析:根据题意,得
,
方程两边都乘最简公分母(x-2)(2x+1),
去分母,得2x+1=3x-6.解得x=7.
经检验,x=7是原方程的解.
解:
去分母,得3x+6-2x=0,
解得x=-6.
经检验,x=-6是原方程的解.
3.解方程
解析:
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的最简公分母为0的根.有增根,那么最简公分母3(x-2)=0,所以增根是x=2,把增根代入化为整式方程的方程即可求出m
的值.
4.当m为何值时,去分母解方程
会产生增根?
解:方程两边都乘3(x-2),得:
4x+1=3x-6+3(5x-m),
即3m=14x-7.分式方程若有增根,则最简公分母必为零,即x=2,把x=2代入整式方程,得:3m=14×2-7,解得m=7,
所以当m=7时,去分母解方程
会产生增根.
【必做题】
教材第152页练习.
【选做题】
教材第154页习题15.3第1(2)~(8)题.
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第十五章
分
式
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检测反馈
15
.3
分式方程（1）
思考
西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?
学
习
新
知
三个徒弟都给出了自己的答案:
孙悟空:
猪八戒:
沙和尚:
师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗?
一艘轮船在静水中的最大航速为30
km/h,它沿江以最大航速顺流航行90
km所用的时间,与以最大航速逆流航行60
km所用的时间相等,江水的流速为多少?
思考
分式方程和分式方程的解法
解:
设江水的流速为v
km/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v)km/h,逆流航行的速度为(30-v)km/h,顺流航行90
km所用的时间为
h,逆流航行60
km所
用的时间为
h.故可列方程
.
交流一下
小问题
方程
与以前所学的整式方程有何不同?
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
归纳
思考
分析：该分式方程中各分母是(30+v
),(30-v
),把方程的两边乘最简公分母可将其化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.
如何解分式方程
呢?
解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.
检验:将v=6代入原分式方程中,左边=
=右边,因此,v=6是原分式
方程的解.
答:江水的流速为6
km/h.
归纳
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.
思考
解方程
.
解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:
2(x+1)=5+x,2x+2=5+x,x=3.
检验:把x=3代入原方程,左边=
,
右边=
,左边=右边.
∴x=3是原分式方程的解.
知
识
拓
展
分式方程与整式方程的定义区分:
特点
说明
举例
整式
方程
方程里所有的未知数都出现在分子上,分母只是常数而没有未知数
有“元”和“次”的说法
是一元
一次方程;
2x+y=3是二元一次方程
分式
方程
方程里分母中含有未知数
——
解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.
2.解这个方程.
3.把整式方程的根代入原分式方程,看左右两边是否相等.
1.下列方程:①
;②
;
③
;④
.
属于分式方程的是
( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
检测反馈
解析:
①
是整式方程;
②
是分式方程;③
是分式方程;④
是整式方程.所以属于分式方程的是②③.
B
2.解方程
.
解:方程两边都乘最简公分
母x(x-2),得5x=3(x-2).
解这个一元一次方程,得x=-3.
检验:把x=-3分别代入原方程的左边和右边,得:左边=
,
右边=
,左边=右边,
因此,x=-3是原分式方程的解.
【必做题】
教材第150页练习.
【选做题】
教材第154页习题15.3第1(1)题.
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第十五章
分
式
学习新知
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15.1.1
从分数到分式
同学们,千里江陵几日还?
李白《早发白帝城》:“朝辞白帝彩云间,千里江陵一日还.”
郦道元《水经注·三峡》:“有时朝发白帝,暮至江陵,其间千二百里,虽乘奔御风,不以疾也.”
思考
(3)如果行船距离为s
千米,船速为v
千米/
时,那么用时多少小时?
(2)如果行船速度为v
千米/
时,那么半日(12小时)行船距离是多少千米?
(1)如果半日(12小时)行船530千米,那么船速约为多少千米/
时?
12v
(4)如果距离为530千米,船速为v0
千米/
时,水速为10千米/时,那么顺水行船需多少小时?
(5)如果距离为s千米,船速为v0千米/时,水速为v1千米/时,那么逆水行船需多少小时?
?
?
一、分式的定义
另两个式子,看它们有什么特点?
分母中有字母.
看一下这四个式子，他们有什么相同点和不同点？
学
习
新
知
归
纳
一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式.分式
中，A叫做分子，B叫做分母.
小练习
判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.
方法
整式有:(2)(4);分式有:(1)(3).
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
二、体会分式的意义
请在下列整式中任选两个,分别作为分子和分母,构造出三个分式.
3000,
k,
a+b,
40,
am+bn,
5x,0,
x-y.
小练习
三、分式有意义的条件
选数填写三个式子对应的值:
a
…
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
…
…
…
分式有意义,需要分母不为0.分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.
总结
总结
分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“≠”的不等式.
想一想，以下分式何时有意义？何时值为0？
解析
例1
下列分式中的字母满足什么
条件时，分式有意义？
要使分式有意义，必须且只需分
母不等于零。然后逐一分析：
解:(1)要使分式
有意义,则分母3x≠0,即x≠0,因此,当x≠0时,分式
有意义;
(2)要使分式
有意义,则分母x-1≠0,即x≠1,因此,当x≠1时,分式
有意义;
(3)要使分式
有意义,则分母5-3b≠0,即
,因此,当
时,分式
有意义;
(4)要使分式
有意义,则分母x-y≠0,即x≠y,因此,当x≠y时,分式
有意义.
无特别说明时,本章中出现的分式都有意义.
说明
对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:
(1)分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:
?
分式
分数
整式
区
别
分母中
含有字
母
分子分母中都
不含有字母
分母中不含
有字母
知识拓展
(2)分式与分数是相互联系的，由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。分数是分式中字母取值后的特殊情况.
(3)注意分母含
和可以约分的分式容易判断错误，如
符合分式的定义，是分式，
不是分
式，因为
不是字母，而是常数.
(4)分式的值为0时，容易忽略分母不为0这个条件.
解：（1）由分子
，得
.
当a=3时，分母的值为0，原分式没有意义.
当a=-3时，分母的值不等于0，
所以当a=-3时，分式
的值为0.
例2（补充）（1）当a为何值时，分式
的值为0？
（2）当x为何值时，分式
的值为负数？
解：分子
，分子与分母异号时，分式的值为负数，所以
，所以
.
小
结
与
思
考
知识总结
知识要点
关键要点
注意事项
分式的
概念
形如
（A,B为整式，且B中含有字母）的代数式叫做分式
分母含
和可以约分的分式容易判断错误.
分式有无意义和分式值为0的条件
(1)分式有意义：分母不为0；
(2)分式无意义：分母
为0；
(3)分式值为0：分子为0且分母不等于0.
分式的值为0时，容易忽略分母不为0这个条件.
C
解析:
分式有意义,分母x-1≠0,据此可以求得x的取值范围是x≠1.
1.若分式
有意义，则x的取值范围是（
）
A.全体实数
B.x=1
C.
x
D.
x=0
检测反馈
2.下列代数式是分式的是
。
；②
；③
；④
；
⑤
；⑥
；⑦
.
②③④⑤
解析：判断一个代数式是不是分式，关键看分母中是否含有字母，若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含有字母，则不是分式。
，
，
，
的分母中含有字母，是分式，
，
和
是整式.
-3
解析:
根据分式无意义的条件:分母等于0列式计算即可.根据题意,得x+3=0,解得x=-3.
3.当x=
时，分式
无意义。
解:
根据分式没有意义的条件得x+m=0,x=-m,当x=-3时,m=3,再根据分式的值为0的条件,可求得n
的值为-4,则(m+n)2021=(3-4)2021=-1.
4.已知分式
,当x=-3时,该分式没有意义;
当x=-4时,该分式的值为0.求
的值.
(m+n)2021
【必做题】
1.教材第128页练习第1,2,3题.
2.教材第133页习题15.1第1,2,3题.
【选做题】
教材第133页习题15.1第8,13题.
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第十五章
分
式
学习新知
检测反馈
15
.2.2
分式的加减（2）
有一财主死后,几个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图看到上面有一段文字记录:计算
的值,就是我留给你们的全部宝物.
学
习
新
知
数学故事
老大拿出纸笔一算,一气之下将藏宝图一把扔了,老二连忙捡起,经过仔细思考算出后,生气地一把火烧掉了它.财主忘记了写x的值,两个儿子是怎么计算出宝物的情况的呢?财主到底留下了多少宝物呢?
一、分式的混合运算
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除以一个数等于乘这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分即可得到结果.
1.计算：
解：原式=
解：原式=
交流一下
2.计算：
解答
例1：计算
例8
计算：
知识拓展
分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点:
(1)有理数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用.
(2)分式的乘除混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理,结果的分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前边.
(3)注意括号的“添”或“去”.
(4)分式运算与分数运算一样,结果必须达到最简,能约分的要约分,保证结果是最简分式或整式.
1.要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的;分式运算的最后结果分子、分母要进行约分,最后的结果化成最简分式或整式,恰当地使用运算律会使运算简便.
知识小结
2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.
3.确定最简公分母的方法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;②如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当作一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因式三个方面去找.
4.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为1的分式,以便通分.
5.作为最后结果,如果是分式,那么应该是最简分式.
.
解析：原式=
检测反馈
2.先化简，再求值：
【必做题】
教材第142页练习第1,2题.
【选做题】
教材第146页习题15.2第6题.
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第十五章
分
式
学习新知
检测反馈
15.1.2
分式的基本性质（1）
1.如图(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,阴影部分的面积是多少?
2.如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,阴影部分的面积是多少?
3.这两块阴影部分的面积相等吗?
问题思考
学
习
新
知
思考
你能写出变形的过程吗？
5.上述变形的依据是什么呢?
4.通过怎样的变形可以由
得到
?
通过怎样的变形可以由
得到
?
1.如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢?
分式的基本性质
思考
2.如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢?
思考
变形的依据是什么呢?
3.两图中长方形的宽相等吗?
4.通过怎样的变形可以由
得到
?通过
怎样的变形可以由
得到
?
思考
5.若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又如何表示呢?
和
,
相等吗?通过怎样的变
形可以得到它们相等呢?
6.若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?
思考
和
,
相等吗?通过怎样的变
形可以得到它们相等呢?
思考
总结
7.能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗?
分式的基本性质:
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.
思考
你能尝试用符号语言表示分式的基本性质吗?
A,B,C
均为整式,C≠0.
说明
用式子表示为:
,
(C是不等于零的整式)
在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一确定的值.在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.
归纳
分数的基本性质与分式的基本性质的区别:
从已知的两个分子或分母的比较中,找到分式变形的依据,再运用分式的基本性质求未知项.
方法归纳
应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题:
(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种变换;
(2)所乘或除以的必须是同一个整式;
(3)所乘或除以的整式应该不等于零.
，
(C≠0),其中A,B,C是整式.
(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.
(2)在运用分式的基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.
(3)分式基本性质的研究方法:从分数→
分式;从特殊→一般.
分式的基本性质:
B
1.若将分式
(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值
( )
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的
C.不变
D.缩小为原来的
解析:分式中的字母分别扩大为原来的
2倍,分式的分子扩大为原来的2倍,而
分式的分母扩大为原来的4倍,所以分
式的值缩小为原来的
.故选B.
检测反馈
2.填写下列等式中未知的分子或分母.
解析：(1)先观察分子,等式左边分式的分子是x+y,而等式右边的分式的分子为x2-y2,由于(x+y)(x-y)=x2-y2,即将等式左边分式的分子乘x-y,因此等式左边分式的分母也要乘x-y,即(x-y)2=x2-2xy+y2,所以在( )里应填上x2-2xy+y2
.
(2)先观察分母,等式左边分式的分母为(a-c)(a-b)(b-c),等式右边分式的分母为(a-c),根据分式的基本性质,应将等式左边分式的分子除以(a-b)(b-c),因为(b-a)(c-b)÷[(a-b)(b-c)]=1,所以在( )里填上1.(3)先观察分母,等式左边分式的分母为a,等式右边分式的分母为ab,根据分式的基本性质,应将等式左边分式的分子乘b,即(b-a)b=b2-ab,因此在( )里填上b2-ab.
3.判断下列从左到右的变形是否正确.
解:(1)正确,对于
,条件中隐含a≠0,分子、分母同时乘a,可得
,因此(1)正确.
(2)错误.分子、分母加上c,只有当c=0时成立,其余条件下不一定成立,因此(2)错误.
(3)错误.当c=0时,
不成立,因此(3)错误.
(4)正确.在
中,隐含c≠0,分子、分母
同时除以c,式子成立,因此(4)正确.
解析:
利用分式的基本性质,分子与分母同时乘6即可.
4.不改变分式的值,使式子
的分子与分母的系数均为整数.
【必做题】
教材第133页习题15.1第4题.
【选做题】
教材第133页习题15.1第12题.
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第十五章
分
式
学习新知
检测反馈
15.2.1
分式的乘除（2）
请看下面的问题:
(1)如图所示,若将一边长为1的正方形二等分,再将其中的一半二等分,再将这一半的一半二等分,这样继续下去……分n次之后余下的部分的面积为 ;?
学
习
新
知
(2)若将一边长为1的正方形剪去
，第二次剪去剩下的
，这样继续下去……第n次之后，余下的部分的面积为
。
一、分式的乘方
根据乘方的意义和分式乘法的法则填空.
n个
n个
n个
分式乘方法则:
分式乘方等于分子、分母分别乘方.
例5
计算:
延伸拓展
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把
写成
.还应把分子、分母分别看作一个整体。如
(2)分式乘方时,要首先确定乘方结果的符号,负数的偶次方为正,负数的奇次方为负.
(3)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘、除法,有多项式时应先分解因式.
(1)在分式乘除混合运算中,由于乘除属于同一级运算,因此应按从左到右的顺序逐步运算,避免运算顺序出现错误,一般在计算除法时,将除变为乘,再按乘法法则计算;
(2)计算乘方要先确定符号.
知识小结
B
1.化简
的结果为(
)
A.
b
B.
C.
D.a
解析：本题需要先把分式的除法运算转化成乘法运算，再根据分式的乘法运算法则进行计算，即可得出
检测反馈
解析:
乘除混合运算属于
同级运算,应按从左到右的顺序进行,本题应先算除法,再算乘法,而不能先算乘
法,再算除法.
2.计算：
解：
3.计算。
解析:
(1)(2)题中均有乘除法和乘方运算,应先算乘方,再算乘除法.把除法运算转化为乘法运算,再用乘法运算法则计算.一定要注意符号,看清楚指数是奇数还是偶数.在多项式因式变号时,同样要注意符号,如(b-a)2=(a-b)2,(b-a)3
=-(a-b)3.
【必做题】
教材第139页练习第1,2题.
【选做题】
教材第146页习题15.2第3题.
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第十五章
分
式
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15
.2.2
分式的加减（1）
思考
大约公元250年前后,希腊数学家丢番图研究一个数学问题:如何把42写成两个数的平方和的形式,即42=x2+y2,演算过程中出现了
.由于16=42,于是他求得了一组解:x=
,y=
.这个问题还有没有其他的解法?
学
习
新
知
用到了
什么法则呢?你能计算
吗?
一、分式加减法
计算：
你能说出分式的加减法法则吗?
同分母分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再相加减.
用式子表示为:
例6
计算：
分析
分式的加减属于同分母,还是异分母,再运
用
进行计算.
(2)的计算结果也可以写成
说明
分式计算的结果必须化为最简分式或整式.
知识拓展
(1)分式加减运算的结果要化成最简分式或整式.
(2)同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减,在这里要注意分数线的括号作用.
(3)异分母分式加减的一般步骤:
①通分:将异分母分式转化成同分母的分式;
②加减:写成分母不变,分子相加减的形式;
③合并:分子去括号,合并同类项;
④约分:分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式.因此,异分母分式相加减的关键是通分.
1.同分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.
知识小结
2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.
确定最简公分母的方法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;②如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当作一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因式三个方面去找.
3.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为1的分式,以便通分.
4.作为最后结果,如果是分式,那么应该是最简分式.
1.计算：
.
检测反馈
2.化简
【必做题】
教材第141页练习第1,2题.
【选做题】
教材第146页习题15.2第4,5题.
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第十五章
分
式
学习新知
检测反馈
15.1.2
分式的基本性质（2）
问题
同学们,想一想对分数
怎样化简?
思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的?
学
习
新
知
自学教材第130~131页的内容.
一、分式的约分
小活动
(1)分式约分的依据是分式的基本性质.(2)最简分式:分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.(3)约分:依据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.
说
明
例3
总结
①定符号:只把负号留给分式;
②定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积;
③分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即:分子、分母没有公因式.
解答
方法归纳
如果分子与分母是多项式,要先分解因式,再找出分子、分母的公因式,最后根据分式的基本性质进行约分.
思考
分式变形的依据是什么?分式变形后,各分母有什么变化?
二、分式的通分
归纳
异分母的分式通分时,取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母.
2.试找出分式
的公分母。
例题
阅读教材第132页的内容,
写出解题过程,组内互相评价.
确定几个分式的最简公分母,首先应把各分母因式分解,然后取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,即取各分母系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母是最简公分母,最后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.
总结
(1)约分前,先将分式的分子、分母都化成乘积的形式.
(2)约分的结果是整式或最简分式.
（3）约分的依据是分式的基本性质：
，其中A，B，C是整式。
拓展延伸
(4)分式的通分与分数的通分有相似的地方:①把异分母分式化成同分母分式;②必须使化得的分式和原来的分式相等,即通分是利用分式的基本性质对分式进行恒等变形.
(5)通分的关键是最简公分母的确定.
(6)确定最简公分母的方法:①取各分母系数的最小公倍数;②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式;③相同字母的指数取次数最高的,这样得到的因式的积就是最简公分母.
(7)分式与分子、分母符号的变化法则:改变其中的任何两个,分式的值不变.
巩固练习
。
解析：把
看作整体，将代数式
变形为
，
整体代入，得到代数式的值是4。故填4.
4
解析:
(1)中同时改变分子和分式本身的符号;(2)中同时改变分子和分母的符号;
(3)中同时改变分母和分式本身的符号;
(4)中同时改变分母和分式本身的符号,注意-3c-a的相反数为3c+a,不是3c-a.
2.不改变分式的值,使下列分式的分子和
分母前不含“-”号.
1.根据分式的基本性质,把一个
分式的分子与分母的公因式约去叫
做分式的约分.
注意:(1)要找出分子、分母的公因式;
(2)分子、分母是多项式的要先分解
因式,再约分.
小结
2.根据分式的基本性质,把几个
异分母分式分别化成与原来的分式
相等的同分母分式叫做分式的通分.
注意:一般取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的乘积作为公分母.
1.化简
,正确的结果为
( )
A.a
B.a2
C.
D.
B
解析:先确定公因式，然后把公因式约
去.
.
检测反馈
解析:按照通分的方法依次验证各个选项,找
出不正确的答案.A.最简公分母是(x-2)(x+3)2,
正确;
D
解析:
(1)题中分子是多项式,首先将它进行因式分解,然后进行约分.(2)题将分子、分母进行因式分解,然后约分.
【必做题】
1.教材第132页练习第1,2题.
2.教材第133页习题15.1第5,6,7题.
【选做题】
教材第133页习题15.1第9,10,11题.
布置作业
谢
谢