5.2万有引力定律的应用
跟踪训练（含解析)
1．木卫
1、木卫2绕木星的运动看做匀速圆周运动，已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径，则它们绕木星运行时（ ）
A．木卫2的周期大于木卫
1
的周期
B．木卫2的线速度大于木卫
1
的线速度
C．木卫2的角速度大于木卫
1
的角速度
D．木卫2的向心加速度大于木卫
1
的向心加速度
2．2010
年命名为“格利泽
581g”的太阳系外行星引起了人们广泛关注，由于该行星的温度可维持表面存在液态水，科学家推测这或将成为第一颗被发现的类似地球世界，遗憾的是一直到
2019
年科学家对该行星的研究仍未有突破性的进展。这颗行星距离地球约
20
亿光年(189.21
万亿公里)，公转周期约为
37
年，半径大约是地球的
2
倍，重力加速度与地球相近。则下列说法正确的是
A．飞船在
Gliese581g
表面附近运行时的速度小于
7.9km/s
B．该行星的平均密度约是地球平均密度的
C．该行星的质量约为地球质量的
8
倍
D．在地球上发射航天器前往“格利泽
581g”，其发射速度不能超过
11.2km/s
3．东方红二号卫星是我国第一代地球同步通信卫星，在轨一共两颗，其中一颗定点于东经125°，另一颗定点于东经103°，关于东方红二号卫星，下列说法中正确的是（ ）
A．它的运行速度为7.9km/s
B．它的质量为920kg，若将它的质量变为原来的2倍，其同步轨道半径也变为原来的2倍
C．它可以绕过北京的正上方，所以我国能够利用它进行电视转播
D．我国发射的其他地球同步卫星，与东方红二号卫星的运行速度大小都相等
4．欧洲天文学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星，命名为“格利斯581c”。该行星的质量约是地球质量的5倍，直径约是地球直径的1.5倍。现假有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．“格利斯581c”的平均密度比地球的平均密度小
B．飞船在“格利斯581c”表面附近运行时的速度小于7.9km/s
C．运动员在“格利斯581c”表面上最佳跳高成绩将比地面上要差
D．一单摆放在“格利斯581c”表面上做实验，其周期将比地面上要慢
5．在2013年的下半年，我国已实施“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是( )
A．
B．
C．
D．
6．在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，已知X星球的半径为R0，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X星球表面的重力加速度g＝b
B．X星球的密度ρ＝
C．X星球的质量M＝
D．环绕X星球的轨道离星球表面高度为R0的卫星周期T＝4π
7．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，不计地球自转，则地球的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片发布，这颗黑洞就是M87星系中心的超大质量黑洞，对周围的物质(包括光子)有极强的吸引力。已知该黑洞质量为M，质量M与半径R满足：，其中c为光速，G为引力常量，设该黑洞是质量分布均匀的球体，则下列说法正确的是（ ）
A．该黑洞的半径为
B．该黑洞的平均密度为
C．该黑洞表面的重力加速度为
D．该黑洞的第一宇宙速度为
9．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则正确的是（ ）
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．该行星表面的重力加速度为
D．无法测出该行星的质量
10．2013年12月15日，“玉兔号”巡视器顺利抵达月球表面。已知月球上没有空气，表面重力加速度为地球表面重力加速度的。假如有一天你登上月球，你可以实现的愿望是（ ）
A．放飞风筝
B．轻易将30kg物体举过头顶
C．掷铅球的水平距离变为原来的6倍
D．做一个同地面上一样的标准篮球场，在此打球，发现自己成为灌篮高手
11．若地球半径减小1%，而其质量不变，则地球表面重力加速度g的变化情况是_______（填“增大”、“减小”、“不变”），增减的百分比为____________%。（取一位有效数字）
12．物理学界最新的观测成果是引力波的发现，这对物理学的理论产生了重大的影响。引力波可认为是两个黑洞绕着共同的圆心做匀速圆周运动时产生的。如果观测到一对黑洞产生的引力波的频率为f（引力波的频率与两个黑洞做匀速圆周运动的频率相同），这对黑洞间的距离为L，万有引力常量为G，则可估算这对黑洞的总质量为M=____________。
13．天舟一号货运飞船于2017年4月20日19时41分35秒在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空，并于4月27日成功完成与天宫二号的首次推进剂在轨补加试验，这标志着天舟一号飞行任务取得圆满成功。已知引力常量为G，地球半径为R，地面的重力加速度为g，天舟一号的质量为m，它在预定轨道绕地球做匀速圆周运动时，距地球表面的高度为h，求：
（1）地球质量M；
（2）天舟一号线速度v的大小。
14．我国“嫦娥二号”探月卫星已成功发射，设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，求：
(1)月球的质量M；
(2)月球的密度；
(3)月球表面的重力加速度g。
参考答案
1．A
【解析】
根据
可得
，，，
因为木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径，则它们绕木星运行时木卫2的周期大于木卫1的周期；木卫2的线速度小于木卫1的线速度；木卫2的角速度小于木卫1的角速度；木卫2的向心加速度小于木卫1的向心加速度，故A正确，BCD错误。
故选A。
2．B
【解析】
ABC．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力得：
mg
=m
得到
v
=
万有引力等于重力，=mg，得到
M=
ρ=
这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的2倍，所以它在表面附近运行的速度是地球表面运行速度的倍，大于7．9km/s，质量是地球的4倍，密度是地球的。故B正确，AC错误。
D．航天器飞出太阳系所需要的最小发射速度为第三宇宙速度，即大于等于16．7km/s，故D错误。
3．D
【解析】
A．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度，也是最小发射速度。所以东方红二号卫星的运行速度小于7.9km/s，故A错误。
BD．根据
因所有地球同步卫星都具有相同的周期T，则运行半径r和速度v都相同，与质量无关，故B错误，D正确；
C．它若在除赤道所在平面外的任意点，假设实现了“同步”，那它的运动轨道所在平面与受到地球的引力就不在一个平面上，这是不可能的，所以同步卫星不可能经过北京的正上空，故C错误；
故选D。
4．C
【解析】
A．根据
可知，行星的质量是地球质量的5倍，直径是地球的1.5倍，所以密度约是地球的1.5倍。比地球密度大，故A错误；
B．根据
得
行星的质量是地球质量的5倍，直径是地球的1.5倍，则线速度是地球表面运行速度的1.8倍，大于7.9km/s，故B错误；
CD．根据
得
可知行星的质量是地球质量的5倍，直径是地球的1.5倍，所以表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2.2倍，由公式可知，运动员在“格利斯581c”表面上最佳跳高的高度比地面上的小即成绩更差。由单摆周期公式
知一单摆放在“格利斯581c”表面上做实验，其周期将比地面上要快，故C正确，D错误。
故选C。
5．B
【解析】
根据题意得：卫星运行的角速度;由几何知识可知弧长S=rθ,
所以
设月球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力则得???
解得：故选B．
6．D
【解析】
A．由图乙可知，当杆的弹力为0时，，小球在最高点重力提供向心力为
X星球表面的重力加速度为
故A错误；
B．根据X星球表面物体重力等于万有引力，有
X星球的质量为
X星球的密度为
故BC错误；
D．星的轨道半径r=2R0，周期为
故D正确。
故选D。
7．A
【解析】
不计地球自转，根据物体在地球表面万有引力等于重力有
解得
根据
解得
故A正确，BCD错误。
故选A。
8．AD
【解析】
A．黑洞的质量M与半径R满足
解得黑洞的半径
故A正确；
B．因黑洞的质量为
根据密度公式可知，黑洞的平均密度为
故B错误；
C．物体在黑洞表面受到的重力等于万有引力，则有
解得黑洞表面的重力加速度为
故C错误；
D．物体绕黑洞表面公转时万有引力提供向心力，有
解得黑洞的第一宇宙速度为
故D正确。
故选AD。
9．ABC
【解析】
A．根据线速度与周期的关系知
可知，该行星的半径，故A正确；
B．根据万有引力提供圆周运动向心力有
可知行星的质量
则密度为
解得，故B正确；
C．飞船绕行星圆周运动时，万有引力提供向心力，则有
而在行星表面上，或不考虑行星自转的影响，则有
联立解得，故C正确；
D．由B分析，可求出行星的质量，又行星的半径为，故可以根据已知数据解出行星的质量，故D错误。
故选ABC。
10．BD
【解析】
A．月球表面没有空气，不能放飞风筝，选项A错误；
B．月球表面的重力加速度较小，则相同质量的物体在月球表面的重力较小，则可轻易将30kg物体举过头顶，选项B正确；
C．根据可知，在初速度和高度相同的情况下，在月球表面掷铅球的水平距离变为在地球表面的倍，选项C错误；
D．因在月球上的重力加速度小，则相同初速度人跳起的高度变大，打蓝球发现自己成为灌篮高手，D正确。
故选BD。
11．增加
2％
【解析】
在地球表面有
，
解得
，
若地球半径减小1%，而其质量不变，则g增大，
地球表面的重力加速度增加量为
，
解得：
，
即增加了2％。
12．
【解析】
[1]．这一对黑洞产生的引力波的频率为f，则它们的周期为
??
①
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期．
对1：
即得：
…②
同理对2：
…③
又
L=r1+r2
④
联立解得双星的总质量为：
13．（1）；（2）
【解析】
（1）在地球表面上有
解得①
（2）由万有引力提供向心力，则有
②
解得③
将①代入③，解得
14．(1)；(2)；(3)
【解析】
(1)根据
解得月球的质量为
(2)月球密度为
(3)根据
解得月球表面的重力加速度为5.2万有引力定律的应用
跟踪训练（含解析)
1．我国将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神州十一号”飞船与“天宫二号”对接假设“天宫二号”与“神州十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
2．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，下列说法不正确的是（ ）
A．轨道半径越大，周期越长
B．张角越大，速度越大
C．若测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，则可得到星球的平均密度
3．“嫦娥二号”卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100
km，周期为118
min的工作轨道，开始对月球进行探测，则不正确是（ ）
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大
4．2016年9月25日，天宫二号由离地面h1＝360
km的圆形轨道，经过“轨道控制”上升为离地h2＝393
km的圆形轨道，“等待”神舟十一号的来访。已知地球的质量为M，地球的半径为R，引力常量为G。根据以上信息可判断(
)
A．天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度大于第一宇宙速度
B．天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度大于在轨道h1上的运行速度
C．天宫二号在轨道h1上的运行周期为
D．天宫二号由圆形轨道h1进入圆形轨道h2运行周期变小
5．2019年12月27日，长征五号遥三运载火箭在中国文昌发射场发射升空，将卫星送入预定轨道。如图所示为该卫星绕地球运行示意图，测得卫星在t时间内沿逆时针从P点运动到Q点，这段圆弧所对的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，则这颗卫星在轨运行的线速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．中国预计2020年底发射“嫦娥五号”月球探测器，实现区域软着陆及取样返回。中
国进入探月新阶段。如图所示，探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降落到月球
表面上，其中轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道。下列说法正确的是（ ）
A．探测器的发射速度必定大于11.2km/s
B．探测器在环月轨道Ⅰ上P点的加速度大于在环月轨道Ⅱ上P点的加速度
C．探测器在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅰ上的运行周期
D．探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度大于月球表面的重力加速度
7．据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200
km,运用周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是
A．月球表面的重力加速度
B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月球运行的速度
D．卫星绕月运行的加速度
8．地球上站立着两位相距非常远的观察者，发现自己的正上方有一颗人造地球卫星相对自己静止不动，则这两位观察者及两颗卫星到地球中心的距离是（
）
A．一人在南极，一人在北极，两颗卫星到地球中心的距离一定相等
B．一人在南极，一人在北极，两颗卫星到地球中心的距离可以不相等
C．两人都在赤道上，两颗卫星到地球中心的距离可以不等
D．两人都在赤道上，两颗卫星到地球中心的距离一定相等
9．英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。
若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2，可估算出（ ）
A．地球的质量
B．太阳的质量
C．月球的质量
D．地球及太阳的密度
10．如图所示，飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知地球的半径R，则（ ）
A．飞船在该轨道上运行的线速度大于第一宇宙速度
B．飞船在该轨道上运行的线速度大小为
C．飞船在该轨道上运行时的向心加速度大小为
D．地球表面的重力加速度大小可表示为
11．2013
年
12
月
2
日
1
时
30
分,“嫦娥三号”月球探测器顺利升空.经过近月制动后,12
月
6
日嫦娥三号进入环月圆轨道,从这一刻起,嫦娥三号成为真正的绕月卫星.若测得嫦娥三号环月绕行的周期为
T,圆轨道半径为
R,则其线速度大小为____
;已知万有引力常量为
G,由此可得月球的质量为_____．
12．若两颗人造地球卫星，其向心加速度之比a1：a2=1：4,则其轨道半径之比为_____，角速度之比为_____，线速度之比为_______，运动周期之比为________．
13．宇航员站在某一星球距其表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，落地时竖直方向的速度大小为v，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量和密度？
14．已知引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由得。
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果；
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果（用上面所给的已知量表示）。
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：在同一轨道上运行加速做离心运动，减速做向心运动均不可实现对接．则AB错误；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，则其做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接．则C正确；飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，则其做向心运动，不可能与空间实验室相接触．则D错误．故选C．
考点：人造地球卫星
【名师点睛】此题是关于人造卫星的变轨问题，明确正常运行的卫星加速做离心运动会达到高轨道，若减速则会做向心运动达到低轨道．
2．D
【解析】
A．根据开普勒第三定律，可知轨道半径越大，飞行器的周期越长，
A正确；
B．根据卫星的速度公式，可知张角越大，轨道半径越小，速度越大，B正确；
C．根据公式可得
设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T，对于飞行器，由几何关系得
星球的平均密度为
由以上三式知，测得周期和张角，就可得到星球的平均密度，C正确；
D．由可得
星球的平均密度为
可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但星球的半径未知，不能求出星球的体积，故不能求出平均密度，D错误。
故选D。
3．B
【解析】
A．月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据得
可知卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故A正确，不符合题意；
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点若要进入轨道Ⅰ，需加速，即卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时小，故B错误，符合题意；
C．卫星在轨道Ⅲ上的半径小于轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小，故C正确，不符合题意；
D．卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，在P点需减速，动能减小，而它们在各自的轨道上机械能守恒，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大，故D正确，不符合题意。
故选B。
4．C
【解析】
A．根据万有引力提供向心力得：
所以：
由于“天宫二号”的轨道半径大于地球的半径，所以天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度小于第一宇宙速度。故A错误；
B．根据，由于h1＜h2，可知，天宫二号在圆形轨道h2上运行的速度小于轨道h1上的运行速度。故B错误；
C．“天宫二号”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
解得在轨道h1上的运行周期：
故C正确；
D．“天宫二号”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
解得周期：
天宫二号由圆形轨道h1进入圆形轨道h2轨道半径增大，则运行周期增大，故D错误。
5．A
【解析】
由题意可知，卫星的角速度
求得
故选A。
6．C
【解析】
A．11.2km/s为物体脱离地球的引力的速度，现在探测器围绕月球运动，还没有脱离地球的引力，故探测器的发射速度必定小于11.2km/s，故A错误；
B．由公式
可知，探测器在环月轨道Ⅰ上P点的加速度等于在环月轨道Ⅱ上P点的加速度，故B错误；
C．由开普勒第三定律
可知，由于探测器在轨道Ⅱ上半长轴小于在轨道Ⅰ上半径，则探测器在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅰ上的运行周期，故C正确；
D．测器在轨道Ⅰ运行时，由公式
可得
在月球表面，不考虑月球自转，则有
得
可知，由于探测器在轨道Ⅰ运行时的半径大于月球半径，则探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度小于月球表面的重力加速度，故D错误。
故选C。
7．B
【解析】
试题分析：绕月卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、月球质量为M，有地球表面重力加速度公式联立①②可以求解出：即可以求出月球表面的重力加速度；由于卫星的质量未知，故月球对卫星的吸引力无法求出；由可以求出卫星绕月球运行的速度；由可以求出卫星绕月运行的加速度；依此可推出ACD都可求出，即不可求出的是B答案
，故选B．
考点：万有引力定律的应用
8．D
【解析】
两位相距非常远的观察者，都发现自己正上方有一颗人造地球卫星相对自己静止不动，说明此卫星为地球同步卫星，运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道，距离地球的高度约为36000
km，所以两个人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等．故D正确。
故选D．
9．AB
【解析】
A．根据万有引力等于重力，有
则
故A正确；
B．地球绕太阳运转，根据万有引力提供向心力有
解得
故B正确；
C．因为月球不是中心天体，根据题中条件无法求出月球的质量，故C错误；
D．太阳的半径未知，则无法求解太阳的密度，故D错误。
故选AB。
10．BC
【解析】
A．根据牛顿第二定律
可知轨道半径越大，运动速度越小，第一守宙速度是贴近地球表面卫星的运动速度，因此该飞船的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；
B．由于运行周期为T，因此运行的线速度大小为
B正确；
C．飞船在该轨道上运行时的向心加速度
C正确；
D．根据
又由于
整理得，地球表面的重力加速度
D错误。
故选BC。
11．
【解析】
[1]．根据线速度与周期和半径的关系，得
．
[2]．根据万有引力提供向心力
解得：
12．2:1
1:
:1
【解析】
[1]人造卫星都绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力：
得：
所以：
[2]又因为：
得：
所以：
[3]同理因为：
得：
所以：
[4]因为：
所以：
13．；
【解析】
根据
解得，该星球表面重力加速度
又根据
可得，星球质量
又由于
可得，星球密度
14．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）上面结果是错误的，地球半经R在计算过程中不能忽略
（2）①对于月球绕地球做圆周运动
②在地面物体重力近似等于万有引力
