4.3向心力的实例分析
课时作业（含解析)
1．如图所示为某港口大型起重装置，缆车下吊一重物正匀速运动，所吊重物（可视为质点）的质量为m，吊重物的缆绳长为L，当缆车突然停止时，缆绳所承受的拉力增大为原来的2倍，不计缆绳的重量，重力加速度为g，则缆车匀速运动时的速度为
A．
B．
C．
D．
2．中央电视台《今日说法》栏目曾报道过发生在湖南长沙某公路上的离奇交通事故：在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车侧翻的交通事故．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．为了避免卡车侧翻事故再次发生，很多人提出了建议，下列建议中不合理的是（ ）
A．在进入转弯处设立限速标志，提醒司机不要超速转弯
B．改进路面设计，增大车轮与路面间的摩擦
C．改造此段弯路，使弯道内侧低、外侧高
D．对过往车辆进行限重
3．一汽车通过拱形桥顶点时速度为10
m/s，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为;
A．15
m/s
B．20
m/s
C．25
m/s
D．30
m/s
4．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定若在某转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是
当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力；
当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力；
当速度大于v时，轮缘挤压外轨；
当速度小于v时，轮缘挤压外轨．
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，小球m可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（
）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度可以为0
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
6．如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动，已知细线长度之比为L1∶L2=∶1，L1跟竖直方向成60°角，则（ ）
A．1、2两球的周期之比为∶1
B．1、2两球的周期之比为1∶1
C．1、2两条细线的拉力之比为3∶1
D．1、2两条细线的拉力之比为∶1
7．如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则( )
A．当ω＝时，细绳的拉力为0
B．当ω＝时，物块与转台间的摩擦力为0
C．当ω＝
时，细绳的拉力大小为
mg
D．当ω＝
时，细绳的拉力大小为mg
8．如图所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。已知重力加速度为g，细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是（ ）
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球的线速度大小为
C．摆球的周期为
D．摆线上的拉力大小为
9．如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定大于B球的线速度
C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期
D．A球的向心加速度必定等于B球的向心加速度
10．为了防止火车在转弯时脱轨，铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯的时速度大于，则（ ）
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压，容易脱轨
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压，容易脱轨
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
11．如图所示，某宇航员在X星球表面用一根细线悬挂一个质量为m的小球，并将小球从与悬点O同一高度处由静止释放，测得小球过最低点时绳子拉力为F。已知X星球半径为R，星球表面为真空，不考虑星球自转，则X星球表面的重力加速度为________；若能让小球靠近X星球表面绕该星球做匀速圆周运动，小球的速度大小应为________。
12．长度为L=0.25m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=1.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到_____N的_____（填写“拉力”或“压力”）。
13．如图所示，长为L的轻杆，两端各连接一个质量都是m的小球，使它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动，周期T＝，求它们通过竖直位置时杆分别对上下两球的作用力，并说明是拉力还是支持力。
14．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为0.5mg．求：
（1）小球从管口飞出时的速率；
（2）小球落地点到P点的水平距离．
15．如图所示，光滑直杆AB足够长，下端B固定一根劲度系数为k、原长为L0的轻弹簧，质量为m的小球套在直杆上并与弹簧的上端连接。OO'为过B点的竖直轴，直杆与水平面间的夹角始终为θ，已知重力加速度为g，则：
（1）若直杆绕OO'轴匀速转动时，小球稳定在某一水平上内做匀速圆周运动，此时弹簧恰好处于原长状态，求此状态下直杆的角速度ω1；
（2）若直杆绕OO'轴匀速转动时，小球稳定在某一水平上内做匀速圆周运动，此时弹簧伸长量为x，求此状态下直杆的角速度ω2。
参考答案
1．B
【解析】
由题意知，缆车突然停车的瞬间，重物开始做圆周运动，其所受合力提供向心力，则有：，其中F=2mg，解得，故选B.
2．D
【解析】
A．车发生侧翻是因为提供的力不够做圆周运动所需的向心力，发生离心运动；故减小速度可以减小向心力，可以防止侧翻现象；故A合理；
B．在水平路面上拐弯时，靠静摩擦力提供向心力，故可以通过改进路面设计，增大车轮与路面间的摩擦力；故B正确；
CD．易发生侧翻也可能是路面设计不合理，公路的设计上可能内侧高外侧低，重力沿斜面方向的分力背离圆心，导致合力不够提供向心力而致；故应改造路面使内侧低，外侧高，故C合理；D不合理。
故选D。
3．B
【解析】
车对桥顶的压力为车重的3/4时；
解得：车在桥顶对桥面没有压力时：
解得：
故B正确；ACD错误；故选B
4．D
【解析】
①②火车转弯时，为了保护铁轨，应避免车轮边缘与铁轨间的摩擦，故火车受到重力和支持力的合力完全提供向心力，①正确，②错误；
③④如果实际转弯速度大于v，有离心趋势，与外侧铁轨挤压，反之，挤压内侧铁轨，故③正确，④错误，故选项D正确，ABC错误。
5．BCD
【解析】
AB．由于是圆形轨道，外管或内管都可以对小球产生弹力作用，因此通过最高点的最小速度为0，A错误，B正确；
C．小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，内侧没有力的作用，C正确。
D．小球在水平线ab以上管道中运动时，当速度太大时，重力沿半径方向的分力不足以提供向心力时，外侧管壁对小球有压力作用；当速度太小重力沿半径方向的分力大于所需向心力时，内侧管壁对小球有支持力作用，D正确。
故选BCD。
6．BD
【解析】
AB．设绳与竖直方向夹角为，水平面距悬点高为，由牛顿第二定律得
整理可以得到
由上式可知T与绳长无关，即两球周期之比为，故A错误，B正确；
CD．对任一小球研究，设细线与竖直方向的夹角为，设绳子的拉力为，竖直方向受力平衡得到
解得
而绳子的长度为
得到
所以细线和细线所受的拉力大小之比
故C错误，D正确。
故选BD。
7．AC
【解析】
AB.当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时μmg＝mlsin30°，解得ω1＝，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mgtan30°＝mlsin30°，解得ω2＝，由于ω1<
<ω2，所以当ω＝时，物块与转台间的摩擦力不为零；由于
<ω1，所以当ω＝时，细绳的拉力为零，故A正确，B错误；
CD.由于ω1<
<ω2，由牛顿第二定律得f＋Fsin30°＝mlsin30°，因为压力小于mg，所以fmg；当ω＝>ω2时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtanα＝mlsinα，解得cosα＝，故F＝＝mg，故C正确，D错误。
故选：AC
8．CD
【解析】
A．摆球只受重力和拉力作用。向心力是根据效果命名的力，是几个力的合力，也可以是某个力的分力，本题中向心力是由重力与绳子拉力的合力提供的，故A错误；
B．摆球的周期是做圆周运动的周期，摆球做圆周运动所需要的向心力是重力沿水平方向指向圆心的分力提供的。
即
所以
故B错误，C正确。
D．由图可知，摆线上的拉力大小为
故D正确。
故选CD。
9．AD
【解析】
A．小球做圆周运动的受力如图：
由于A和B的质量相同，小球A和B在两处的合力相同，即它们做圆周运动时的向心力是相同的。由向心力的计算公式可知，由于球A运动的半径大于B球的半径，F和m相同时，半径大的线速度大，选项A正确；
B．由公式可知F和m相同时，半径大的角速度小，A球的角速度必定小于B球的角速度，选项B错误；
C．根据知F和m相同时，半径大的周期大，A
球的运动周期必定大于B
球的运动周期，选项C错误；
D．两球的向心力相等，根据F=ma知两球的向心加速度相等，选项D正确。
故选AD。
10．BD
【解析】
AB．火车的重力和轨道对火车的支持力的合力恰好等于需要的向心力时，此时火车的速度正好是，当火车转弯的速度大于，需要的向心力增大，而重力与支持力的合力不变，所以合力小于需要的向心力，外轨就要对火车产生一个向里的力来提供向心力，所以此时外轨对外侧车轮轮缘有挤压，故A错误，B正确；
CD．当内外轨没有挤压力时，受重力和支持力，且
由于外轨对火车的作用力沿着轨道平面，可以把这个力分解为水平和竖直向下两个分力，由于竖直向下的分力的作用，使支持力变大，故C错误，D正确。
故选：BD。
11．
【解析】
[1]
设小球在最低点速度为v，绳长为r，小球从静止释放到达最低点的过程中，由动能定理可得
在最低点由向心力公式
联立解得
[2]
绕该星球表面做匀速圆周运动，重力提供向心力，设小球此时速度为v，则
解得
12．6N
拉力
【解析】
[1][2]假设小球受到支持力作用，根据牛顿第二定律
代入数据，整理得
负号表示小球受到的拉力，根据牛顿第三定律可知，杆受到的是拉力，大小为6N
13．最低点：，拉力 ；最高点：，支持力
【解析】
对小球受力分析，在最低点处
F1－mg＝
可得
F1＝mg
方向向上，为拉力。
在最高点处，设球受杆拉力为F2
F2＋mg＝
可得
F2＝－mg
故知F2方向向上，为支持力。
14．（1）
或（2）R或R
【解析】
(1)分两种情况，当小球对管下部有压力时，
则有mg－0.5mg＝，v1＝.
当小球对管上部有压力时，则有mg＋0.5mg＝，v2＝
(2)小球从管口飞出做平抛运动，2R＝gt2，t＝2
x1＝v1t＝R，
x2＝v2t＝R.
答案：(1)或 (2)R或R
本题考查圆周运动规律的应用，在管下部时以小球为研究对象，合外力提供向心力，列式可求得上部和下部速度大小，小球从管口飞出后做平抛运动，由竖直方向求得运动时间，由水平方向匀速运动求得水平位移大小
15．（1）；（2）
【解析】
（1）对小球受力分析，正交分解支持力N，得：
水平方向有：
联立解得：
（2）对小球受力分析，正交分解支持力N和弹簧拉力，得：
竖直方向有：
水平方向有：
联立解得：4.3向心力的实例分析
课时作业（含解析)
1．荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动．图为小孩荡秋千运动到最高点的示意图，下列说法正确的是(不计空气阻力)( )
A．小孩运动到最高点时，小孩所受的合力为零
B．小孩从最高点运动到最低点过程做匀速圆周运动
C．小孩运动到最低点时处于失重状态
D．小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳子拉力的合力提供其做圆周运动的向心力
2．质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速变为，则两位置处绳子所受的张力之差是（
）
A．6mg
B．5mg
C．4mg
D．2mg
3．长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v下列说法中正确的是（ ）
A．当v的值为0时，杆对小球的弹力为零
B．当v由逐渐增大，杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由逐渐减小时，杆对小球的支持力力逐渐减小
D．当v由零逐渐增大时，向心力先增大后减小
4．用细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为，线长为L，如图所示，下列说法中正确的是（
）
A．小球受重力、拉力、向心力
B．小球受重力、拉力
C．小球的向心力大小为mgsinα
D．小球的向心力大小为
5．有一根长为0.4m的杆一端束缚着一个质量为0.5kg的小球，并绕杆的另一端以2rad/s的角速度在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球在最低点和最高点对杆的作用力分别为（ ）
A．5.8N方向竖直向上；4.2N竖直向下
B．5.8N方向竖直向上；4.2N竖直向上
C．5.8N方向竖直向下；4.2N竖直向下
D．5.8N方向竖直向下：4.2N竖直向上
6．如图所示，固定水平直杆ab上套有一个物块P，物块P通过一根细线与一个小球Q相连接，小球Q在某一水平面内做匀速圆周运动，现使小球调到一个更低的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），物块P始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是
A．小球Q的向心加速度变小
B．小球Q运动的线速度变小
C．小球Q运动的角速度变小
D．小球Q运动的周期变小
7．如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方O′处钉一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，则（
）
A．小球的线速度v突然变大
B．小球的向心加速度a突然变大
C．小球的角速度ω突然变小
D．悬线的张力突然变大
8．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3
s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径R＝1
m，小球可看做质点且其质量为m＝1
kg，g取10
m/s2．则( )
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9
m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9
m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1
N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2
N
9．如图所示，两个内壁光滑的圆形管道竖直固定，左侧管道的半径大于右侧管道半径。两个小球A、B分别位于左、右管道上的最高点，A球的质量等于B球质量，两球的半径都略小于管道横截面的半径。由于微小的扰动，两个小球由静止开始自由滑下，当它们通过管道最低点速度的大小满足v=，在管道的最低点下列说法正确的是（
）
A．A球的速率一定等于B球的速率
B．A球的角速度一定等于B球的角速度
C．A球的向心加速度一定等于B球的向心加速度
D．A球对轨道的压力一定等于B球对轨道的压力
10．如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居在圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数μ相同。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）
A．此时绳子张力为T＝3μmg
B．此时圆盘的角速度为ω＝
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心
D．此时烧断绳子物体A、B仍将随盘一块转动
11．一汽车以速度通过凸形桥的最高点，若车对桥的压力为车重的，则桥的半径为___________米，此时汽车处于___________（选填“超重”或“失重”）状态；当车速为___________时，车对桥面的压力恰好为零（g取）。
12．如图所示，圆锥摆的摆长为、摆角为，当质量为的摆球在水平面内做匀速圆周动动时，摆线的拉力为___________，摆球做圆周运动的向心力为___________，摆球的向心加速度为___________，摆球做圆周运动的周期为___________。(已知重力加速度为g)
13．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数为k＝46
N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量为m＝1kg的小物块A，物块与盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，开始时弹簧未发生形变，长度为l0＝0.5
m，若最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度g＝10
m/s2，物块A始终与圆盘一起转动．则：
(1)圆盘的角速度为多大时，物块A开始滑动？
(2)当角速度缓慢地增加到4
rad/s时，弹簧的伸长量是多少？(弹簧伸长在弹性限度内且物块未脱离圆盘)．
(3)在角速度从零缓慢地增加到4rad/s过程中，物块与盘间摩擦力大小为f，试通过计算在坐标系中作出f-ω2图象．
14．如图所示，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随着陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为45°。已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为。
(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；
(2)若改变陶罐匀速旋转的角速度，而小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的最大值和最小值。
15．如图所示，水平实验台A端固定，B端左右可调，将弹簧左端与实验平台固定，右端有一可视为质点，质量为2
kg的滑块紧靠弹簧（未与弹黄连接），弹簧压缩量不同时，将滑块弹出去的速度不同。圆弧轨道固定在地面并与一段动摩擦因素为0.4的粗糙水平地面相切D点，AB段最长时，BC两点水平距离xBC=0.9
m，实验平台距地面髙度h=0.53
m，圆弧半径R=0.4
m，θ=37°，已知sin
37°=0.6，cos
37°=0.8。完成下列问題：
(1)轨道末端AB段不缩短，压缩弹簧后将滑块弹出，滑块经过B点速度为vB，求落到C点时速度与水平方向夹角；
(2)滑块沿着圆弧轨道运动后能在DE上继续滑行2
m，求滑块在圆弧轨道上对D点的压力大小；
(3)通过调整弹簧压缩量，并将AB段缩短，滑块弹出后恰好无碰撞从C点进入圆弧轨道，求滑块从平台飞出的初速度以及AB段缩短的距离。
参考答案
1．D
【解析】
A．小孩运动到最高点时，速度为零，受重力和绳子拉力作用，合力不为零，合力方向沿着切线方向，A错误；
B．小孩从最高点运动到最低点过程中，线速度越来越大，B错误；
C．小孩运动到最低点时，具有向心加速度，方向竖直向上，故小孩处于超重状态，C错误；
D．小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳子拉力的合力提供其做圆周运动的向心力，D正确．
故选D。
2．A
【解析】
在最高点，小球受重力和绳子的拉力T1，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
在最低点，重力和拉力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
最低点速度为：
两位置处绳子所受的张力之差为：，联立解得：，故选项A正确．
点睛：本题关键是明确在最高点和最低点小球的合力提供向心力，然后根据牛顿第二定律列式求解出两个拉力，得到拉力之差．
3．B
【解析】
A．小球在竖直面内做圆周运动，在最高点的速度为零时，杆对小球的弹力为mg，故A错误；
B．在最高点杆子作用力为零时，根据
解得
当时，杆子表现为拉力，根据
知，速度增大，杆子对小球的弹力逐渐增大。故B正确；
C．当时，杆子表现为支持力，根据
知速度减小，则杆对小球的弹力逐渐增大。故C错误；
D．当v由零逐渐增大时，根据可知向心力逐渐变大，选项D错误。
故选B。
4．B
【解析】
AB．对小球进行受力分析可知，小球受重力和拉力作用，A错误，B正确；
C．合力做为圆周运动的向心力，则有
因此合力大小为
CD错误。
故选B。
5．C
【解析】
小球在最低点有
解得
方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下。
小球在最高点有
解得
方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下。故C正确，ABD错误。
故选C。
6．ABC
【解析】小球Q受到重力和拉力作用，如图
由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有
，
现使小球调到一个更低的水平面上做匀速圆周运动，
减小，小球Q的向心加速度减小，小球Q运动的线速度减小，小球Q运动的角速度变小，小球Q运动的周期变大，故ABC正确，D错误；
故选ABC。
7．BD
【解析】
A．由于碰到钉子前后瞬间，绳子拉力的方向与小球运动方向垂直，绳子拉力不做功，因此小球线速度没突变，A错误；
B．根据
由于运动速度没变而半径突然变小，因此向心加速度突然变大，B正确；
C．根据
速线速度没变，但半径突然变小，因此角速度突然增大，C错误；
D．根据
由于向心加速度突然增大，因此绳子张力突然增大，D正确。
故选BD。
8．AC
【解析】
小球恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰到，说明小球在C点竖直方向的分速度和水平分速度相等，代人公式即可；小球经过圆弧轨道的B点时做圆周运动，所受轨道作用力与重力一起提供向心力，根据牛顿第二定律列式可求得受管道的作用力．
【详解】
根据平抛运动的规律和运动合成的可知，则小球在C点竖直方向的分速度和水平分速度相等，得，则B点与C点的水平距离为：，A正确B错误；B点的速度为3m/s，根据牛顿运动定律，在B点设轨道对球的作用力方向向下，，代入解得，负号表示轨道对球的作用力方向向上，C正确D错误．
9．CD
【解析】
A．根据题意，由于
因此
A错误；
B．根据
由于
因此
B错误；
C．根据
向心加速度大小与半径无关，因此A球的向心加速度一定等于B球的向心加速度，C正确；
D．根据牛顿第二定律
可知A、B两球受到轨道的支持力相等，因此对轨道的压力也相等，D正确。
故选CD。
10．AB
【解析】
ABC．A、B两物体相比，B物体所需要的向心力较大，当转速增大时，B先有滑动的趋势，此时B所受的静摩擦力沿半径指向圆心，A所受的静摩擦力沿半径背离圆心；当刚要发生相对滑动时，以B为研究对象，有
以A为研究对象，有
由以上两式得，
故AB正确，C错误；
D．若烧断绳子，由摩擦力提供向心力，则临界角速度对A物体
解得
对B物体
解得，则A、B的向心力都不足，都将做离心运动，故D错误。
故选AB。
11．40
失重
20
【解析】
[1][2][3]汽车在凸桥最高点时，所受重力和桥面的支持力提供汽车圆周运动的向心力，由此可得
由牛顿第三定律知
代入解得
又
代入解得
因为是最高点，圆周运动的圆心在下方，即汽车所受合外力的方向竖直向下，加速度向下，此时汽车处于失重状态。当汽车对桥面压力为0时，即
代入解得
12．
mgtan
gtanα
【解析】
[1]小球的受力如图所示
小球受重力mg和绳子的拉力F，因为小球在水平面内做匀速圆周运动，靠合力提供向心力，根据平行四边形定则知，拉力为
[2]拉力与重力沿水平方向的合力提供向心力，则有
[3]根据牛顿第二定律有
解得
[4]小球做圆周运动根据牛顿第二定律有
且
小球运动的周期为
13．(1)
(2)
(3)见解析
【解析】
（1）设盘的角速度为时，物块A将开始滑动，此时物块的最大静摩擦力提供向心力，则有：
，解得：，
（2）设此时弹簧的伸长量为，物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力，则有：
，代入数据解得：
（3）在角速度从零缓慢地增加到2rad/s过程中，物块与盘间摩擦力为静摩擦力，f∝ω2，f随着角速度平方的增加而增大；
当时，物块与盘间摩擦力为滑动摩擦力为定值，为
14．(1)；(2)
，
【解析】
(1)当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有
解得
(2)当时，重力和支持力的合力不够提供向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，设此最大角速度为，由牛顿第二定律得
联立解得
当时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，设此最小角速度为，由牛顿第二定律得
联立解得
15．(1)45°
；(2)100
N
；(3)4
m/s；0.3
m
【解析】
(1)根据题意可知C点的高度
从B点抛出后，滑块做平抛运动
整理得
，
飞到C点时的竖直速度
因此
故落到C点时速度与水平方向夹角为。
(2)滑块地DE段做匀减速直线运动，加速度大小
根据
联立两式则
在圆弧轨道最低处
解得
根据牛顿第三定律
，即对轨道压力为100
N。
(3)滑块弹出恰好无碰撞从C点进入圆弧轨道，说明滑块落到C点时的速度方向正好沿着圆弧的切线，即
由于高度没变，所以
而
因此
对应的水平位移
因此缩短的AB段应该是4.3向心力的实例分析
课时作业（含解析)
1．如图，质量为m的小球用长为l的细线悬于P点，使小球在水平面内以O为圆心做匀速圆周运动，角速度为，重力加速度为g。则细线对小球的拉力为（ ）
A．
B．mg
C．
D．
2．如图所示，半径为L的圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m的小球做圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径。则（ ）
A．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点P的速度v最小值为
B．若过最高点P的速度v增大，小球在P点所需的向心力可能减小
C．若过最高点P的速度v<，在P点，轨道对小球的弹力大小
D．若过最高点P的速度v>，在P点，轨道对小球的弹力大小
3．如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员
A．受到的拉力为2G
B．受到的拉力为G
C．向心加速度为g
D．向心加速度为2g
4．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达20
m/s2，g取10
m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )
A．4倍
B．3倍
C．2倍
D．1倍
5．如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．若给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆．设细绳与竖直方向的夹角为θ，下列说法中正确的是（
）
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球的向心加速度a=gtanθ
C．小球的线速度
D．小球的角速度
6．如图所示，粗糙程度处处相同的半圆形竖直轨道固定放置，其半径为R，直径POQ水平。一质量为m的小物块（可视为质点）自P点由静止开始沿轨道下滑，滑到轨道最低点N时，小物块对轨道的压力大小为2mg，g为重力加速度的大小。则下列说法正确的是（ ）
A．小物块到达最低点N时的速度大小为
B．小物块从P点运动到N点的过程中重力做功为mgR
C．小物块从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功为mgR
D．小物块从P点开始运动经过N点后恰好可以到达Q点
7．如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴转动．三个物体与圆盘的动摩擦因数均为，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．三个物体与轴O共线且OA=OB=BC=r=0.2
m，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．若圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，已知重力加速度为g=10
m/s2，则对于这个过程，下列说法正确的是（
）
A．A、B两个物体同时达到最大静摩擦力
B．B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变
C．当时整体会发生滑动
D．当时，在增大的过程中B、C间的拉力不断增大
8．火车在铁轨上转弯可以看成是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是（
）
A．增大弯道半径
B．减小弯道半径
C．适当增加内外轨道的高度差
D．适当减小内外轨道的高度差
9．如图所示，可视为质点的小木块a、b和c
放在水平圆盘上，a、b两个质量均为m，c的质量为。a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为，且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，则下列说法正确的是（
）
A．b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B．a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等
C．b和c均未滑落时线速度大小一定相等
D．b开始滑动时的转速是
10．如图所示，A、B两物体放在旋转的圆台上，两物体与圆台面间的动摩擦因数均为μ，两物体的质量相等，A物体离转轴的距离是B物体离转轴距离的2倍，当圆台旋转时，A、B均未滑动，则下列说法中正确的是（ ）
A．A物体所受的摩擦力小
B．A物体的向心加速度大
C．当圆台的转速增加时，A先滑动
D．当圆台的转速增加时，B先滑动
11．如图所示，长为l的细线上端固定于悬点O，细线下面悬挂一质量为m的小钢球（可看作质点）。钢球在水平面内以O′为圆心做匀速圆周运动时，细线与O
O′的夹角为θ。忽略空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）钢球做匀速圆周运动的向心力大小Fn；
（2）钢球做匀速圆周运动的角速度大小.
12．如图所示，一个人用一根长1m、只能承受100N拉力的绳子，系着一个质量为5kg的小球，在竖直平面内作圆周运动，已知圆心O离地面高h=6米。转动中小球在圆周的最底点时绳子刚好被拉断，绳子的质量忽略不计，g=10m/s2。求：
(1)绳子被拉断时，小球运动的速度方向和大小？
(2)绳断后，小球从抛出点到落地点间的位移大小是多少？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
13．如图所示，拱桥的外半径为。问：
(1)当重的汽车通过拱桥顶点的速度为时，车对桥顶的压力多少牛？
(2)当汽车通过拱桥顶点的速度为多少时，车对桥顶刚好没有压力（）？
参考答案
1．A
【解析】
小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律有
解得，故A正确，BCD错误。
故选A。
2．C
【解析】
A．由于在最高点P管子能支撑小球，所以的最小值为零，故A错误；
B．根据向心力公式
可知v增大，球所需的向心力也增大，故B错误；
C．小球经过最高点P时，对轨道的压力为零，重力完全提供向心力，可得
解得，
若过最高点P的速度为，则在P点，轨道对小球有向上的弹力，根据牛顿第二定律可得
解得弹力大小为，故C正确；
D．若过最高点P的速度，则在P点，轨道对小球有向下的弹力，根据牛顿第二定律可得
解得弹力大小为，故D错误。
故选C。
3．A
【解析】
女运动员做圆锥摆运动，由对女运动员受力分析可知，受到重力、男运动员对女运动员的拉力，竖直方向合力为零，由Fsin30°=G，解得：
F=2G
水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力，有Fcos30°=ma向，即
2mgcos30°=ma向
所以a向=g，故A正确BCD错误.
故选A。
4．B
【解析】
根据牛顿第二定律得，N-mg=ma，解得N=mg+ma=10m+20m=30m=3mg，故B正确，ACD错误。
5．B
【解析】
A．小球受到重力、绳的拉力，二者的合力提供向心力，向心力是效果力，不能分析物体受到向心力，故A错误；
B．小球做圆周运动的半径向心力大小为
Fn=mgtanθ=ma
小球的向心加速度
a=gtanθ
故B正确；
C．小球做圆周运动的半径为
R=Lsinθ
则由牛顿第二定律得
mgtanθ=
得到线速度
故C错误；
D．小球的角速度
故D错误。
故选B。
6．B
【解析】
A．设小物块到达最低点N时的速度大小为v，在N点，根据牛顿第二定律得
据题意有
联立得
故A错误；
B．小物块从P点运动到N点的过程中重力做功为
故B正确；
C．小物块从P点运动到N点的过程，由动能定理得
解得
故C错误；
D．由于小物块要克服摩擦力做功，机械能不断减少，所以小物块不可能到达Q点，故D错误。
故选B。
7．BC
【解析】
ABC、当圆盘转速增大时,由静摩擦力提供向心力.三个物体的角速度相等,由可知,因为C的半径最大,质量最大,故C所需要的向心力增加最快,最先达到最大静摩擦力,此时
,计算得出:
,当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后,BC开始提供拉力,B的摩擦力增大,达最大静摩擦力后,AB之间绳开始有力的作用,随着角速度增大,A的摩擦力将减小到零然后反向增大,当A与B的摩擦力也达到最大时,且BC的拉力大于AB整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动,此时A与B还受到绳的拉力,对C可得:
,对AB整体可得:
,计算得出:
,当
时整体会发生滑动,故A错误,BC正确;
D、当时，在增大的过程中B、C间的拉力逐渐增大，故D错误；
故选BC
8．AC
【解析】
火车转弯时，外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，若火车速度合适，内外轨均不受挤压，此时，重力与支持力的合力提供向心力，如图：
，解得：；火车速度提高时，为使外轨道不受损，应适当增大弯道半径或适当增加内外轨道的高度差。故AC两项正确，BD两项错误。
9．BC
【解析】
A．b、c所受的最大静摩擦力不相等，故不会同时从水平圆盘上滑落，A错误；
B．当a、b和c均未滑落时，木块所受的静摩擦力
相等，，所以a、c所受的静摩擦力相等，都小于b的静摩擦力，故B正确；
C．b和c均未滑落时，根据
v=rω
可知线速度大小一定相等，故C正确；
D．以b为研究对象，由牛顿第二定律得
解得，转速，故D错误。
故选BC。
10．BC
【解析】
A．A、B两物体的角速度相等，根据
知质量相等，A的半径较大，则A物体所受的摩擦力较大，故A错误；
B．根据
知角速度相等，A的半径较大，则A物体向心加速度较大，故B正确；
CD．根据
解得，A的半径较大，则A的临界角速度较小，当圆台的转速增加时，A先滑动，故C正确，D错误。
故选BC。
11．（1）
（2）
【解析】
（1）小钢球受力如图所示：
则
（2）根据牛顿第二定律：
r
=
lsinθ
mg
tanθ
=
m2
lsinθ
所以小球的角速度
12．(1)
m/s
，方向可能水平向左，也可能水平向右；(2)；(3)
3m；3m.
【解析】
(1)由题意，绳子被拉断前的瞬间，由牛顿第二定律有
将F=100N，m=5kg，R=1m代入解得
v=m/s
方向可能水平向左，也可能水平向右；
(2)绳断后，小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则由平抛运动的规律有??
x=vt
解得
小球从抛出点到落地点间的位移大小
(3)
设绳长为L，则
由平抛运动可得
联立解得
则当L=6-L，即L=3m时x′最大，x′的最大值为3m。
13．(1)7500N；(2)
【解析】
(1)在拱桥顶点，根据牛顿第二定律
解得拱桥对车的支持力
根据牛顿第三定律，车对桥顶的压力为。
(2)车对桥顶刚好没有压力，车的重力完全提供向心力
解得
