人教九上数学第21章一元二次方程全章教案

第二十一章
一元二次方程
课题：一元二次方程
一、教学目标：
知识技能目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
方法与过程目标：
通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义；
情感目标：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
三、教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．.
四、教具准备：多媒体课件
五、授课类型;新授课
六、课时安排：1
课时
七、备课时间：
八、教学过程
复备栏
情境引学学生活动：列方程．
问题（1）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，长为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．二、自主探学学生活动：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．三、合作研学
例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）
将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．五、当堂检学例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:
1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
2.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程九、归纳小结：本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．十、作业布置：十一、板书设计：十二、教学反思：
课题：配方法
一、教学目标：
知识技能目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
过程性目标
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
情感目标：结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化．
二、教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
三、教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。
四、教具准备：
多媒体课件
五、授课类型;新授课
六、课时安排：1
课时
七、备课时间：
八、教学过程
复备栏
一、情境引学学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+____）2．问题1：根据完全平方公式可得：（1）16
4；（2）4
2；（3）（）2
．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、自主探学上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=--2三、合作研学
例1：解方程：(1)(2x-1)
2=5
(2)x
2+6x+9=2
(3)x
2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：(2)由已知，得：（x+3）2=2
直接开平方，得：x+3=±
即x+3=，x+3=-
所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．四.变换拓学例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、当堂检学市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．九、归纳小结：
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解十、作业布置：十一、板书设计：十二、教学反思：
课题：公式法
教学目标：
1、知识技能目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2、方法与过程目标
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
3、情感态度价值观
能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．
二、教学重点：求根公式的推导和公式法的应用。
三、教学难点：一元二次方程求根公式法的推导。
四、教具准备：多媒体课件
五、授课类型：新授课
六、课时安排：1课时
七、备课时间：
八、教学过程
复备栏
一、情境引学前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程（1）x2=4
(2)(x-2)
2=7提问1
这种解法的（理论）依据是什么？提问2
这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。）
2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）
（学生活动）用配方法解方程
2x2+3=7x
（老师点评）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．二、自主探学用配方法解方程
ax2－7x+3
=0
(2)a
x2+bx+3=0
(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=∵4a2>0，4a2＞0,
当b2-4ac≥0时≥0
∴（x+）2=()2
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．三、合作研学
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0
（2）x2+1.5=-3x
(3)
x2-x+
=0
（4）4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补:（5）（x-2）（3x-5）=0四.变换拓学
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①或②或③利五、当堂检学教材P42
练习1．（1）、（3）、（5）或(2)
、(4)
、(6)九、归纳小结：本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．十、作业布置：十一、板书设计：十二、教学反思：
课题：因式分解法
教学目标：
一、知识技能目标
1.掌握用因式分解法解一元二次方程．
二、方法与过程目标
1.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
三、情感态度价值观
使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
二、教学重点：用因式分解法解一元二次方程．
三、教学难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
四、教具准备：多媒体课件
五、授课类型：新授课
六、课时安排：1课时
七、备课时间：
八、教学过程
复备栏
教学过程1、情境引学学生活动）解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．2、自主探学（学生活动）请同学们口答下面各题．
（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．3、合作研学例1．解方程
（1）10x-4.9
x2
=0
（2）x（x-2）+x-2
=0
(3)5x2-2x-=x2-2x+
(4)(x-1)
2
=(3-2x)
2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
解：略
（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（
）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=
，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x
两边同除以x，得x=14、变换拓学例2
我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．5、当堂检学例3．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3
当a=b时，原式=-3．九、归纳小结：本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．十、作业布置：板书设计：十二、教学反思：
课题：一元二次方程与系数的关系
一、教学目标：
1、知识技能目标
理解根系关系的推导过程；
2、方法与过程目标
掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；
3、情感态度价值观
体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路。
二、教学重点：应用根系关系解决问题；
三、教学难点：根系关系的推导过程
四、教具准备：多媒体课件
五、授课类型：新授课
六、课时安排：1课时
七、备课时间：
八、教学过程
复备栏
教学过程1、情境引学问题　前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？董：什么秘密？郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？董：哦？郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2
–
12x
+35
=0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了.董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x2
-35x
-200=0的2根的和呢.郑：哈哈，你太有才了。对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄.2、自主探学求出下列方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间的关系序号一元二次方程x1x2x1+x2x1x2（1）x2
–
5x
+6
=02356（2）2x2
–
3x
+1
=01（3）3x2
+
x
-2
=0-
1-
-
3、合作研学
x1和x2
是一元二次方程
ax2
+bx
+c
=0
(a≠0
,
b2
–4ac≥0)
x1+x2
=
-
,
x1x2
=
注意：负号不能漏写第一组习题：不解方程，求下列方程的2根和与2根积x2
–
3x
+1
=03x2
–
2x
-
2=02x2
–3x
=03x2
=14、当堂检学例2：已知：x1和x2
是一元二次方程x2
-4x
+1=0的2根,
求下列代数式的值（1）
+
（2）x12
+
x22
（3）（x1
-
x2）2
学生练习：（1）
+
（2）（x1+1）（x2+1）九、归纳小结：1.研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法
.十、作业布置：板书设计：十二、教学反思：
课题：实际问题与一元二次方程
教学目标：
一、知识技能目标
1.掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
二、方法与过程目标
1.通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
三、情感态度价值观
使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解．
教学重点：用“倍数关系”建立数学模型。
三、教学难点：用“倍数关系”建立数学模型。
四、教具准备：多媒体课件
五、授课类型：新授课
六、课时安排：1课时
七、备课时间：
八、教学过程
复备栏
教学过程1、情境引学（学生活动）问题1：列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数.
③找等量关系.
④列方程，
⑤解方程，
⑥答.
2、自主探学上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题．
（学生活动）探究1:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:
1第一轮传染
1+x第二轮传染后1+x+x(1+x)解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有
人患了流感,第二轮后共有
人患了流感.列方程得
1+x+x(x+1)=121
x2+2x-120=0解方程,得
x1=-12,
x2=10根据问题的实际意义,x=10答:每轮传染中平均一个人传染了10个人.思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
(121+121×10=1331)通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?（后一轮被传染的人数前一轮患病人数的x倍）烈已于3、合作研学探究2两年前生产
1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产
1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为
5000(1-x)2
元,依题意得
5000（1-x）2=3000解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
比较:两种药品成本的年平均下降率(22.5%,相同)思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗
?应怎样全面地比较对象的变化状况?（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）4、变换拓学例2
我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0
（3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．5、当堂检学例3．1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,
则1+x+x.x=91即x2+x-90=0
解得x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.2.要组织一场篮球联赛,
每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
九、归纳小结：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答。十、作业布置：板书设计：十二、教学反思：
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