勾股定理的逆定理

(共27张PPT)
X
1.直角三角形有哪些性质
2.如何判断三角形是直角三角形
古埃及人曾用下面的方法得到直角
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
3
4
5
请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗
3
2
4
2
5
2
+
=
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
2.5，6，6.5； 6，8，10。
（1）这三组数都满足
吗？
（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？
动手画一画
由上面几个例子你发现了什么吗 请以命题的
形式说出你的观点!
命题2
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
3
4
5
A
C
B
A
′
B
′
C
′
3
4
古埃及人的做法：
△ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
这两个三角形有什么关系？
我们作RT △ABC，使 =3、 =4
B
′
C
′
A
′
C
′
3
4
5
A
C
B
A
′
B
′
C
′
3
4
在 中根据勾股定理有
≌
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2
∴ A’B’ =c
∵ 边长取正值
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
则 △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题
A
C
B
A
′
B
′
C
′
证明：
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆定理
定理
驶向胜利的彼岸
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理；
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
试一试
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
例题解析
(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
13
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？
例题解析
B
A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等边三角形
1.
练一练
已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积
A
B
C
D
S四边形ABCD=36
中考链接
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形
练一练
1、请你写出三组勾股数；
2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么
挑战自我
1、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.
思维训练
2、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
是直角三角形吗？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
思维训练
……
自主评价：
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题
3、什么称为互为逆定理。
作业：84页， 习题18.2第1题、第4题
勾股定理的逆命题
如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
已知：在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证： △ ABC是直角三角形
证明：画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
a
b
A’
B’
C’