2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市甘南县九年级下学期期中数学试卷（五四学制） （解析版）

2019-2020学年九年级第二学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．的相反数的倒数是（　　）
A．
B．
C．2
D．﹣2
2．在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算，正确的是（　　）
A．（2a2b3）2＝2ab5
B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．＝x+y
D．（+）（﹣）＝x﹣y
4．如图，点P按A?B?C?M的顺序在边长为1的正方形边上运动，M是CD边上的中点．设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．小明去逛商场，发现有他非常喜欢的邮票，小明就把兜里仅有的8元钱全部买了60分和80分的两种邮票．请问：小明购买邮票有几种方案（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
6．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：90，80，90，80，60，80，下列表述错误的是（　　）
A．众数是80
B．中位数是80
C．平均数是80
D．极差是20
7．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2﹣x2y1的值为（　　）
A．0
B．﹣8
C．﹣10
D．10
9．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①②⑤
C．②③④
D．①②④⑤
10．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC?tanB＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（每空3分，共21分）
11．截止5月1日7时，全球新冠肺炎累计确诊超过325万人，累计死亡的人数达到23.3万人，23.3万人这个数用科学记数法可表示为　
　．
12．若式子有意义，则x的取值范围为　
　．
13．从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是　
　．
14．关于x的方程+1无解，则a的值是　
　．
15．矩形纸片ABCD，AB＝7，BC＝4，在矩形边上有一点P，且DP＝3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF＝　
　．
16．若一个圆锥的底面积为4πcm2，高为4cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角为　
　．
17．如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A2020的坐标为　
　．
三、解答题（共69分）
18．（1）计算：|﹣2|+20100﹣（﹣）﹣1+3tan30°
（2）因式分解：a3﹣4a2b+4ab2
19．解方程：2（x+1）2＝3（x+1）
20．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．
21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题．
（1）本次调查的学生人数为　
　人；
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是　
　（只填所有正确结论的代号）；
A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内
B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内
C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°
D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15
（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？
22．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设慢车行驶的时间x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．
（1）求慢车和快车的速度；
（2）求线段BC所表示的y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）第一列快车出发后又有一列快车（与第一列快车速度相同）从甲地出发，与慢车同时到达各自的目的地．请直接写出第二列快车出发后经过多少小时与慢车相遇，相遇时他们距甲地的距离．
23．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝1，CE＝，求的值．
24．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的）
1．的相反数的倒数是（　　）
A．
B．
C．2
D．﹣2
【分析】先求出﹣相反数为，再求出的倒数为2．
解：∵﹣的相反数为，的倒数为2．
∴的相反数的倒数是2．
故选：C．
2．在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后即可得解．
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3．下列计算，正确的是（　　）
A．（2a2b3）2＝2ab5
B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．＝x+y
D．（+）（﹣）＝x﹣y
【分析】利用幂的乘方与积的乘方对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据最简分式的定义对C进行判断；根据平方差公式对D进行判断．
解：A、原式＝4a4b6，所以A选项错误；
B、原式＝a2﹣2ab+b2，所以B选项错误；
C、为最简分式，所以C选项错误；
D、原式＝（）2﹣（）2＝x﹣y，所以D选项正确．
故选：D．
4．如图，点P按A?B?C?M的顺序在边长为1的正方形边上运动，M是CD边上的中点．设点P经过的路程x为自变量，△APM的面积为y，则函数y的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．
解：根据题意和图形可知：点P按A?B?C?M的顺序在边长为1的正方形边上运动，△APM的面积分为3段；当点在AB上移动时，高不变底边逐渐变大，故面积逐渐变大；当点在BC上移动时，底边不变，高逐渐变小故面积变小；当点在CD上时，高不变，底边变小故面积越来越小直到0为止．
故选：A．
5．小明去逛商场，发现有他非常喜欢的邮票，小明就把兜里仅有的8元钱全部买了60分和80分的两种邮票．请问：小明购买邮票有几种方案（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
【分析】根据8元钱全部买了60分和80分的两种邮票，得出等式，利用二元一次方程有整数解，进而分析得出答案．
解：设小明买60分和80分的邮票各x枚和y枚；
根据题意得出：0.6x+0.8y＝8，
解得：，，．共3种方案，
故选：C．
6．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：90，80，90，80，60，80，下列表述错误的是（　　）
A．众数是80
B．中位数是80
C．平均数是80
D．极差是20
【分析】根据平均数，中位数，众数，极差的概念逐项分析，即可得出答案．
解：A、这组数据的众数是80，故本选项正确；
B、把这些数从小到大排列为60，80，80，80，90，90，则中位数是＝80，故本选项正确；
C、平均数是：（90+80+90+80+60+80）＝80，故本选项正确；
D、极差是90﹣60＝30，故本选项错误；
故选：D．
7．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】把代入方程组得，于是得到结论．
解：把代入得，
∴m﹣n＝4，
故选：D．
8．已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2﹣x2y1的值为（　　）
A．0
B．﹣8
C．﹣10
D．10
【分析】根据反比例函数的图象关于原点对称得出：x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，将x1y2﹣x2y1化简，即可求解．
解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y＝上的点，
∴x1?y1＝x2?y2＝4①，
∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴x1＝﹣x2，y1＝﹣y2②，
∴原式＝﹣x2y2+x1y1＝4﹣4＝0．
故选：A．
9．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①②⑤
C．②③④
D．①②④⑤
【分析】①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y＝kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；
③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知矛盾；
④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y＝﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选：B．
10．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC?tanB＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】由DE＝2，OE＝3可知AO＝OD＝OE+ED＝5，可得AE＝8，连接BD、CD，可证∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，∠DBA＝∠DCA＝90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段的比．
解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴＝，＝，
由AD为直径可知∠DBA＝∠DCA＝90°，
∵DE＝2，OE＝3，
∴AO＝OD＝OE+ED＝5，AE＝8，
tanC?tanB＝tan∠ADB?tan∠ADC＝＝＝＝＝＝4．
故选：C．
二、填空题（每空3分，共21分）
11．截止5月1日7时，全球新冠肺炎累计确诊超过325万人，累计死亡的人数达到23.3万人，23.3万人这个数用科学记数法可表示为　2.33×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：23.3万＝23.3×10000＝2.33×105．
故答案为：2.33×105．
12．若式子有意义，则x的取值范围为　x≥2且x≠3　．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：若式子有意义，则应满足，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
13．从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是　　．
【分析】所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式△＝b2﹣4ac的值大于0，然后解不等式求出k的取值范围，从而得到k的值，再计算出概率即可．
解：△＝b2﹣4ac＝1﹣4k＞0，
解得k＜，
所以，满足k的数值有：﹣2，﹣1，0共3个，
故概率为．
14．关于x的方程+1无解，则a的值是　1或2　．
【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得a的值．
解：方程两边同乘（x﹣2），得ax＝4+x﹣2，
（a﹣1）x＝2，
∵关于x的方程+1无解，
∴x﹣2＝0，a﹣1＝0，
解得：x＝2，a＝1，
把x＝2代入（a﹣1）x＝2，得：（a﹣1）×2＝2，
解得：a＝2，
综上，a＝1或2；
故答案为：1或2．
15．矩形纸片ABCD，AB＝7，BC＝4，在矩形边上有一点P，且DP＝3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF＝　4或　．
【分析】如图1，当点P在CD上时，由折叠的性质得到四边形PFBE是正方形，EF过点C，根据勾股定理即可得到结果；如图2当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB于Q，根据勾股定理得到PB的长，推出△ABP∽△EFQ，列比例式即可得到结果．
解：如图1，当点P在CD上时，
∵PD＝3，CD＝AB＝7，
∴CP＝4，
∵EF垂直平分PB，
∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，
∴EF＝4；
如图2，当点P在AD上时，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵PD＝3，AD＝4，
∴AP＝1，
∴PB＝＝5，
∵EF垂直平分PB，
∴∠1＝∠2，
∵∠A＝∠EQF，
∴△ABP∽△EFQ，
∴＝，即＝
解得EF＝．
综上所述：EF长为4或．
16．若一个圆锥的底面积为4πcm2，高为4cm，则该圆锥的侧面展开图中圆心角为　120°　．
【分析】根据圆锥底面积求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得母线长，根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．
解：∵圆锥的底面积为4πcm2，
∴圆锥的底面半径为2cm，
∴底面周长为4π，
∵高为4cm，
∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm，
设侧面展开图的圆心角是n°，
根据题意得：＝4π，
解得：n＝120．
故答案为：120°．
17．如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A2020的坐标为　（0，42020）　．
【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2020坐标即可．
解：∵直线l的解析式为：y＝x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…，
∴A2020纵坐标为：42020，
∴A2020（0，42020）．
故答案为：（0，42020）．
三、解答题（共69分）
18．（1）计算：|﹣2|+20100﹣（﹣）﹣1+3tan30°
（2）因式分解：a3﹣4a2b+4ab2
【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
解：（1）原式＝2﹣+1﹣（﹣3）+3×
＝2﹣+1+3+
＝6；
（2）原式＝a（a2﹣4ab+4b2）
＝a（a﹣2b）2．
19．解方程：2（x+1）2＝3（x+1）
【分析】移项，提取公因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：移项得：2（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（2x+2﹣3）＝0，
∴x+1＝0，2x﹣1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝．
20．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．
【分析】（1）连接BD，因AD⊥AB，所以BD是直径．证明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于点G．由（1）中结论∠D＝∠2＝∠3，分别把这三个角转化到直角三角形中，根据，求相关线段的长．
【解答】证明：（1）如图，连接BD．
∵AD⊥AB，D在圆O上，
∴∠DAB＝90°，
∴DB是⊙O的直径．
∴∠1+∠2+∠D＝90°．
又∵AE＝AF，
∴BE＝BF，∠2＝∠3．
∵AB＝AC，
∴∠D＝∠C＝∠2＝∠3．
∴∠1+∠2+∠3＝90°．
即OB⊥BF于B．
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）作AG⊥BC于点G．
∵∠D＝∠2＝∠3，
∴．
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°，AD＝4，，
∴，．
在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，AB＝3，，
∴．
∵AB＝AC，
∴．
21．某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行抽样调查，随机调查了九年级部分学生每天完成作业所用的时间，并把统计结果制作成如图所示的频数分布直方图（时间取整数，图中从左至右依次为第一、二、三、四、五组）和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题．
（1）本次调查的学生人数为　60　人；
（2）补全频数分布直方图；
（3）根据图形提供的信息判断，下列结论正确的是　ACD　（只填所有正确结论的代号）；
A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内
B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数在第三组内
C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°
D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15
（4）学生每天完成作业时间不超过120分钟，视为课业负担适中．根据以上调查，估计该校九年级560名学生中，课业负担适中的学生约有多少人？
【分析】（1）根据完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%．可求出抽查的学生人数；
（2）根据总人数，现有人数为补上那12人，画图即可；
（3）根据中位数、众数、频率的意义对各选项依次进行判断即可解答；
（4）先求出60人里学生每天完成课外作业时间在120分钟以下的人的比例，再按比例估算全校的人数．
解：（1）6÷10%＝60（人）．
（2）补全的频数分布直方图如图所示：
（3）A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内，正确；
B．由图（1）知，学生完成作业所用时间的众数不在第三组内，错误；
C．图（2）中，90～120数据组所在扇形的圆心角为108°．正确；
D．图（1）中，落在第五组内数据的频率为0.15，正确．
故答案为：60；ACD．
（4）＝＝60%，即样本中，完成作业时间不超过120分钟的学生占60%．
∴560×60%＝336．
答：九年级学生中，课业负担适中的学生约为336人．
22．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设慢车行驶的时间x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．
（1）求慢车和快车的速度；
（2）求线段BC所表示的y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）第一列快车出发后又有一列快车（与第一列快车速度相同）从甲地出发，与慢车同时到达各自的目的地．请直接写出第二列快车出发后经过多少小时与慢车相遇，相遇时他们距甲地的距离．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出快车和慢车的速度；
（2）分别求出B、C两点的坐标，再运用待定系数法解答即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
解：（1）慢车的速度为：900÷12＝75（km/h），
快车的速度为：900÷4﹣75＝150（km/h）．
（2），6×75＝450，
∴B、C两点的纵坐标为B（4，0）、C（6，450），
设BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝225x﹣900（4≤x≤6）．
（3）设第二列快车出发后经过x小时与慢车相遇，根据题意得：
150x+75（6+x）＝900，解得x＝2，
即第二列快车出发后经过2小时与慢车相遇，
相遇时他们距甲地的距离为：150×2＝300（km），
答：第二列快车出发后，经过2小时与慢车相遇，相遇时他们距甲地的距离为300km．
23．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝1，CE＝，求的值．
【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF＝S△DEF，则易得S△ABC＝4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到＝（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，设AE＝x，则EM＝x，CE＝4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到＝＝，解出x后计算出CM＝，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH＝4：7，设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x﹣1，BH＝3﹣（7x﹣1）＝4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x＝，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值．
解：（1）如图①，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF＝S△DEF，
∵S四边形ECBF＝3S△EDF，
∴S△ABC＝4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴＝（）2，即（）2＝，
∴AE＝；
（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，
∴AE＝EM，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF＝∠MFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴AE＝EM＝MF＝AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，
设AE＝x，则EM＝x，CE＝4﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴＝＝，即＝＝，解得x＝，CM＝，
在Rt△ACM中，AM＝＝＝，
∵S菱形AEMF＝EF?AM＝AE?CM，
∴EF＝2×＝；
（3）如图③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH＝CE：FH，即1：NH＝：FH，
∴FH：NH＝4：7，
设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x﹣1，BH＝3﹣（7x﹣1）＝4﹣7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC＝FH：AC，即（4﹣7x）：3＝4x：4，解得x＝，
∴FH＝4x＝，BH＝4﹣7x＝，
在Rt△BFH中，BF＝＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣2＝3，
∴＝．
24．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，可设D点的横坐标，根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标，即可得到DE的长，以DE为底，D点横坐标为高即可得到△CDE的面积，从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，可求出B点的坐标，进而能得到直线BC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长，从而根据：①AP＝CP、②AC＝AP、③CP＝AC，三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标．
解：（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，﹣1），
则有：，
解得；
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣1．
（2）∵A（2，0），C（0，﹣1），
∴直线AC：y＝x﹣1；
设D（x，0），则E（x，x﹣1），
故DE＝0﹣（x﹣1）＝1﹣x；
故△DCE的面积：S＝DE×|xD|＝×（1﹣x）×x＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
因此当x＝1，
即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为．
（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（﹣1，0），
可求得直线BC的解析式为：y＝﹣x﹣1；
设P（x，﹣x﹣1），因为A（2，0），C（0，﹣1），则有：
AP2＝（x﹣2）2+（﹣x﹣1）2＝2x2﹣2x+5，
AC2＝5，CP2＝x2+（﹣x﹣1+1）2＝2x2；
①如图1，
当AP＝CP时，AP2＝CP2，有：
2x2﹣2x+5＝2x2，解得x＝2.5，
故P1（2.5，﹣3.5）；
②如图2，
当AP＝AC时，AP2＝AC2，有：
2x2﹣2x+5＝5，解得x＝0（舍去），x＝1，
故P2（1，﹣2）；
③如图3，
当CP＝AC时，CP2＝AC2，有：
2x2＝5，解得x＝±，
故P3（，﹣﹣1），P4（﹣，﹣1）；
综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，﹣3.5），P2（1，﹣2），
P3（，﹣﹣1），P4（﹣，﹣1）．